四川省成都市蓉城名校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题

这是一份四川省成都市蓉城名校2023-2024学年高一下学期期末联考数学试题，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.在中，，，，则( )
A. B. 16C. 32D.
4.一个水平放置的平面图形OABC按斜二测画法得到的直观图如图所示.已知，，则平面图形OABC的面积为( )
A. 3B. 6C. D.
5.把函数的图象向左平移个单位长度，再把横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是( )
A. 函数的最小正周期
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数是奇函数
D. 函数在区间上的最大值为
6.某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗透、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量单位：小时降雨量的等级划分如下：
在一次降雨过程中，用一个侧棱的三棱柱容器收集的24小时的雨水如图所示，当侧面水平放置时，水面恰好过AC，BC，，的中点.则这24小时的降雨量的等级是( )
A. 小雨B. 中雨C. 大雨D. 暴雨
7.如图，圆锥PO的底面直径和高均为12，过PO上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，我们称该圆柱为圆锥的内接圆柱.则该圆锥的内接圆柱侧面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在中，，，点P满足，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知m，n是两条不同的直线，是平面，若，，则m，n的关系可能为( )
A. 平行B. 垂直C. 相交D. 异面
10.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论正确的是( )
A. 若，则角
B. 存在A，B，C，使成立
C. 若，则为等腰或直角三角形
D. 若，，，则有两解
11.如图，在正方体中，E为棱AB上的动点，平面，F为垂足，下列结论正确的是( )
A. B. 三棱锥的体积为定值
C. D. 与AC所成的角为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，为共线向量，且，，则__________.
13.在中，D，E分别为AC，BC的中点，AE交BD于点若，，，则__________.
14.降维类比和升维类比主要应用于立体几何的学习，将空间三维问题降为平面二维或者直线一维问题就是降维类比.平面几何中多边形的外接圆，即找到一点，使得它到多边形各个顶点的距离相等.这个点就是外接圆的圆心，距离就是外接圆的半径.若这样的点存在，则这个多边形有外接圆，若这样的点不存在，则这个多边形没有外接圆.事实上我们知道，三角形一定有外接圆，如果只求外接圆的半径，我们可通过正弦定理来求，我们也可以关注九年义教初中《几何》第三册第94页例2的结论：三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商.借助求三角形外接圆的方法解决问题：若等腰梯形ABCD的上下底边长分别为6和8，高为1，这个等腰梯形的外接圆半径为__________;轴截面是旋转体的重要载体，圆台的轴截面中包含了旋转体中的所有元素：高、母线长、底面圆的半径，通过研究其轴截面，可将空间问题转化为平面问题.观察图象，通过类比，我们可以找到一般圆台的外接球问题的研究方法，正棱台可以看作由圆台切割得到。研究问题：如图，正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知是棱长为2的正方体.
求三棱锥的体积;
若N是的中点，M是的中点，证明：平面
16.本小题15分
已知向量，满足，，，且在上的投影向量为
求，及的值;
若，求的值.
17.本小题15分
记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且
求A及
若点D在边BC上，且，，求的面积.
18.本小题17分
在平行四边形ABCD中，，，，E，F分别为AB，AD的中点，将三角形ADE沿DE翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥
求证：平面
求证：平面平面
求EC与平面ACD所成角的正弦值.
19.本小题17分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1，三个内角都小于的内部有一点P，连接PA，PB，PC，求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题，具体的做法如图2，将绕点C顺时针旋转，得到，连接PD，BE，则BE的长即为所求，此时与三个顶点连线恰好三等分费马点P的周角.同时小组成员研究教材发现：已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量
已知平面内点，，把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标;
在中，，，，借助研究成果，直接写出的最小值;
已知点，，，求的费马点P的坐标.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题.
依题意，根据二倍角的余弦公式化简即可.
【解答】
解：因为
，
故选
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了向量加减运算，是基础题.
根据向量加减运算可得结果.
【解答】
解：
，
故选
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
根据题意得到，再根据数量积和向量的减法法则即可求解．
【解答】
解：由，，，
则，所以，
所以
故选：
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查斜二测画法，属于基础题.
根据斜二测画法得到平面图形，即可得解.
【解答】
解：画出梯形 OABC的原图，如图所示：
在直观图中，，，
得，
则在原图中，，，
四边形OABC是直角梯形，故，
故选
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三角函数的图象与性质，考查三角函数的图象变换，属于中档题.
根据三角函数的图象与性质及图象变换逐项计算判断即可.
【解答】
解：依题有，函数的最小正周期，A错误;
当时，则，而在区间上单调递减，B正确;
，
函数是偶函数，C错误;
作草图，可知函数在区间上的最大值为0，D错误.
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查函数的实际问题，考查转化能力，属于基础题．
设三棱锥的体积为V，然后求出容器水的体积，再得出液面的高，可得结论.
【解答】
解：设三棱锥的体积为V，
按侧面水平放置时液面以上部分的体积为，故水的体积为，
设按底面ABC放置时液面的高为h，则，得，
则这24小时的降雨量的等级是暴雨，
故选
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了空间几何体圆柱的侧面积计算，属于基础题.
设，易得，再计算圆柱的侧面积，利用基本不等式可得其最大值.
【解答】
解：设，
圆柱的底面圆半径为r，则，即，
，
当且仅当时等号成立，
故选
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了向量的运算和向量的数量积，是基础题.
取BC中点为D，，点P满足，由，可得t的值.
【解答】
解：因为，，所以，
取BC中点为D，，点P满足，
则点P在直线BC上，所以，
由，则，
所以，所以，
故选
9.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查直线和直线的关系，属于基础题．
若m与n相交，得到m与有交点，这与题设矛盾，得到答案.
【解答】
解：因为，，则m与n可能平行，异面和垂直，若m与n相交，，则，，所以，即直线m与平面有公共点，这与矛盾，故选
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查了利用正弦定理，余弦定理解三角形，属于中档题.
A中，，化为，求角A，
B中，分类讨论，A，B，C都不等于，可得，
A，B，C有一个等于，无意义，
C中，，则或，
D中，由正弦定理得，求角B即可判断；
【解答】
解：对于A，，，，
， A正确；
对于B，当，， 时，，
则，
当A，B，C，有一个为时，无意义，故B错误；
对于C，若，
①，即，则为等腰三角形，
②，即，则为直角三角形，
综上，若，则为等腰或直角三角形，C正确；
对于D，由，解得，
因为，所以，或，则有两解，D正确，
故选项为
11.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查正方体的结构特征，三棱锥的体积，异面直线所成的角，三垂线定理的运用，属于中档题.
取中点O，运用三垂线定理得，可得F在线段的垂直平分线上，即可判断A；
因为三棱锥即为三棱锥，对于三棱锥的底面积和高都为定值，可判断B；
利用线面垂直证明判断C，利用平移法判断
【解答】
解：对于A，取中点O，连接DO、FO，因为四边形为正方形，
所以，又因为平面，平面，，
，DO、平面DOF，平面DOF，而平面DOF，
所以，因为O为中点，
所以，故A正确；
对于B，三棱锥即为三棱锥，因为的面积为定值，
E点到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，
即三棱锥的体积为定值，故B正确；
对于C，因为，，、平面，
所以，故C正确；
对于D，将平移到，易知与AC所成的角为，所以D错误.
12.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题.
根据向量共线的坐标运算性质求解方程即可.
【解答】
解：因为，为共线向量，所以，解得，
故填
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量的数量积以及线性运算，属于基础题.
先根据线性运算将，用，表示，再利用数量积公式即可求解.
【解答】
解：由题意得，
，所以
，所以
所以，
所以，
故答案为
14.【答案】5 ；
【解析】【分析】
本题考查了圆台、棱台的结构特征和球的体积，是中档题.
根据圆台、棱台的结构特征求解即可.
【解答】
解：等腰梯形ABCD与三角形ABC的外接圆为同一圆，
由平面几何知识求出，，
根据结论，外接圆半径等于
设正三棱台上下底面所在圆面的半径分别为r，，
所以，，即，，
题中所给正三棱台补成圆台后上底圆直径为6，下底圆直径为8，高为1，
轴截面梯形为前面几何问题，则外接球半径为5，
所以外接球体积为
15.【答案】解：四面体由正方体截去四个直角锥而得，
故；
，M分别是，的中点，
在中，，
面ABCD，面ABCD，
平面
【解析】本题考查了线面平行的判定和棱锥的体积，是基础题.
由四面体由正方体截去四个直角锥而得，计算即可；
由中位线得，由线面平行的判定即可得证.
16.【答案】解：由题意得，即，因为|，，所以，得，，因为<，，所以<，，因为|，，与的夹角为，所以
由，得，即，得，解得
【解析】本题考查向量的数量积运算，向量的模，向量的数量积与向量的垂直关系，投影向量，属于中档题.
由题意得，即，因为|，，所以，得，，即可得向量和的夹角，再利用数量积公式即可得的值;
由题意可得，代入求解即可.
17.【答案】解：，
，
，
，
，
又，，
，，，
，
由正弦定理得，，所以
，，
，
即，
化简有，解得，

【解析】本题考查了正弦定理、三角形面积公式和三角恒等变换，是中档题.
由三角恒等变换得，可得，再由正弦定理可得c的值；
易得，两边平方得b的值，再由三角形面积公式可得结果.
18.【答案】解：取AC中点H，连接FH，HB，
，，，，
，，
四边形EBHF为平行四边形，
，平面ABC，平面ABC，
平面
为直二面角，，，
为二面角的平面角，，，
平面AED，，
平面AED，平面ACD，
平面平面
连接FC，易得为等腰直角三角形，F为斜边AD上的中点，
，
由知，，
平面ACD，CE在平面ACD的射影为CF，
为EC与平面ACD所成角，在中，
【解析】本题考查空间线面平行的判定及面面垂直的判定，考查线面所成角，考查学生空间想象能力，中等题．
取AC中点H，连接FH，HB，由条件即可得，根据线面平行的判定可得平面
由条件可得为二面角的平面角，进一步可得平面AED，，从而可得平面AED，进而可得平面平面
连接FC，易得为等腰直角三角形，F为斜边AD上的中点，结合可得平面ACD，CE在平面ACD的射影为CF，可得为EC与平面ACD所成角，进一步可求得EC与平面ACD所成角的正弦值.
19.【答案】解：，绕着点A顺时针旋转，即逆时针旋转，代入公式，
，
，
点P的坐标为
由费马点的求法知：CA绕着点C顺时针旋转，与CE重合，，
为等边三角形，连接BE，的最小值为BE，由勾股定理易得
，绕着点B顺时针旋转得到，代入公式，
，
，
，
中，BC与AC关于y轴对称，
旋转后BD与AE也关于y轴对称，由图形的对称性知费马点P必在y轴上，设，
，P，D，三点共线，，，
，，，
可以求出

【解析】本题考查平面向量的坐标运算和向量的几何运用，属于难题；
，绕着点A顺时针旋转，即逆时针旋转，代入公式，即可求解；
由费马点的求法知：CA绕着点C顺时针旋转，与CE重合，，为等边三角形，连接BE，的最小值为BE，即可求解；
，绕着点B顺时针旋转得到，代入公式，可得，
又中，BC与AC关于y轴对称，即可求解.24小时降雨量精确到
降雨等级
小雨
中雨
大雨
暴雨