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2022-2023学年广西贵港市港北六中八年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年广西贵港市港北六中八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足( )
A. −88C. x<8D. x>8
2.下列各数中，是无理数的是( )
A. −5B. 1.50505C. − 2D. 813
3.下列说法中，正确的是( )
A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B. 一个非零数的立方根与这个数同号
C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D. 一个数的立方根是非负数
4.实数 a2的平方根为( )
A. aB. ±aC. ± aD. ± |a|
5.若关于x的不等式2−m−x>0的正整数解共有3个，则m的取值范围是( )
A. −1≤m<0B. −16.下列命题是真命题的是( )
A. 相等的角是对顶角
B. 若实数a，b满足a2=b2，则a=b
C. 若实数a，b满足a<0，b<0，则ab<0
D. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
7.不等式组x+5<5x+1x−m>1的解集是x>1，则m的取值范围是( )
A. m≥1B. m≤1C. m≥0D. m≤0
8.篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2012−2013赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是( )
A. 2x+(32−x)≥48B. 2x−(32−x)≥48
C. 2x+(32−x)≤48D. 2x≥48
9.已知min{ x,x2,x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x=9，min{ x,x2,x}=min{ 9,92,9}=3﹒当min{ x,x2,x}=116时，则x的值为( )
A. 116B. 18C. 14D. 12
10.如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠A=60°，则∠BFC=( )
A. 118°
B. 119°
C. 120°
D. 121°
11.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为( )
A. 90°
B. 95°
C. 100°
D. 105°
12.如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E=∠F=90°，BE=CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC=∠FAB.有下列结论：①∠B=∠C；②ED=FD；③AC=BE；④△ACN≌△ABM.其中正确结论的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.当 x+3有意义时，x的取值范围是______．
14.比较大小：|−2|______30.(选填>，=，<)
15.等腰三角形ABC中，AB=5，BC=2，则AC的长为______．
16.不等式5x−2≤3x+1的非负整数解为______．
17.已知实数a、b满足 a−3+|b−1|=0，则b a的值为______．
18.若关于x的方程2x−1=axx−1+1无解，则a的值是______．
三、计算题：本大题共2小题，共17分。
19.(1)计算：(2022− 22)0+ 13+|3− 12|+12−2；
(2)解方程：3x−3=1−3x3−x．
20.对于任意有理数a、b、c、d，规定abcd=ad−bc，已知xy−14=5．
(1)用含x的代数式表示y；
(2)若y+3x≥k的正整数解只有3个，求k的取值范围．
四、解答题：本题共6小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题5分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°．
(1)尺规作图：求作AB边的垂直平分线分别交AB，AC于点D和点E；(保留作图痕迹，不要求写出作图过程)
(2)直接写出△BCE的形状．
22.(本小题8分)
有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．
(1)结合数轴可知：−a ______−b(用“>、=或<”填空)；
(2)结合数轴化简|1−a|−|−b+1|+|b−a|．
23.(本小题8分)
为全力保障人民群众身体健康和生命安全，我区开展新一轮全员核酸检测第一天甲、乙两支核酸检测队共32人在某乡镇进行核酸采样，当天采样13840人．已知甲检测队平均每人每天采样420人，乙检测队平均每人每天采样440人．
(1)求甲、乙两支检测队各有多少人？
(2)根据计划安排，第二天需抽取甲、乙两支核酸检测队若干人共同完成对A、B、C三所学校共8640名师生的核酸采样任务，已知甲检测队抽取8人，则乙检测队需至少抽取多少人才能保证当天完成任务？
24.(本小题8分)
如图，AE平分∠BAC，∠CAE=∠CEA．
(1)AB与CD有怎样的位置关系？为什么？
(2)若∠C=50°，求∠CEA的度数．
25.(本小题10分)
已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．
(1)求证：△AEB≌△CDA；
(2)求∠EPQ的度数；
(3)若BQ⊥AD于Q，PQ=7，PE=3，求BE的长．
26.(本小题10分)
材料：如何将双重二次根式 a±2 b(a>0,b>0,a±2 b>0)化简呢？如能找到两个数m，n(m>0,n>0)，使得( m)2+( n)2=a，即m+n=a，且使 m⋅ n= b，即m⋅n=b，那么a±2 b=( m)2+( n)2±2 m⋅ n=( m± n)2∴ a±2 b=| m± n|，双重二次根式得以化简．
例如化简： 3±2 2因为3=1+2且2=1×2∴3±2 2=( 1)2+( 2)2±2 1× 2∴ 3±2 2=|1± 2|.
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 a±2 b的形式，且能找到m，n(m>0,n>0)使得m+n=a，且m⋅n=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空： 5±2 6=______， 12±2 35=______；
(2)化简： 9±6 2；
(3)计算： 3− 5+ 2± 3．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：依题意得：|x|<8
∴−8故选：A．
根据到原点的距离小于8，即绝对值小于8.显然是介于−8和8之间．
本题考查的是数轴的对称性，在数轴上以原点为中心，两边关于原点对称．
2.【答案】C
【解析】解：A.−5是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C.− 2是无理数，故本选项符合题意；
D.813是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…(两个1之间依次多一个0)，等有这样规律的数．
3.【答案】B
【解析】解：A、一个数的立方根有1个，故该选项不符合题意；
B、一个非零数的立方根与这个数同号，故该选项符合题意；
C、负数有立方根，但负数没有平方根，故该选项不符合题意；
D、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，故该选项不符合题意；
故选：B．
根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0判断即可．
本题考查了立方根，掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵当a为任意实数时， a2=|a|，
而|a|的平方根为± |a|．
∴实数 a2的平方根为± |a|．
故选：D．
首先根据算术平方根的定义可以求得 a2=|a|，再利用绝对值的定义可以化简|a|即可得到结果．
此题主要考查了平方根的性质，注意此题首先利用了 a2=|a|，然后要注意区分平方根、算术平方根的概念．
5.【答案】C
【解析】解：解不等式2−m−x>0得：x<2−m，
根据题意得：3<2−m≤4，
解得：−2≤m<−1．
故选：C．
首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式只有3个正整数解，即可得到一个关于m的不等式组求得m的范围．
本题考查了一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据x的取值范围正确确定2−m的范围是解题的关键．在解不等式时要根据不等式的基本性质．
6.【答案】D
【解析】解：A、相等的角是对顶角，是假命题，例如，角平分线把角分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；
B、若实数a，b满足a2=b2，则a=b，是假命题，应为a=b或a=−b，故本选项错误；
C、若实数a，b满足a<0，b<0，则ab<0，是假命题，应为ab>0，故本选项错误；
D、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是真命题，故本选项正确．
故选：D．
根据对顶角的定义，有理数的性质，角平分线的性质对各选项分析判断即可得解．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.【答案】D
【解析】解：不等式整理得：x>1x>m+1，
由不等式组的解集为x>1，得到m+1≤1，
解得：m≤0，
故选：D．
表示出不等式组中两不等式的解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可．
此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是表示出胜场得分和输场得分．
这个队在将要举行的比赛中胜x场，则要输(32−x)场，胜场得分(2x)分，输场得分(32−x)分，根据胜场得分+输场得分≥48可得不等式．
【解答】
解：这个队在将要举行的比赛中胜x场，则要输(32−x)场，由题意得：
2x+(32−x)≥48，
故选A．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．本题分别计算 x=116，x2=116，x=116的x值，找到满足条件的x值即可．
【解答】
解：当 x=116时，x=1256，x< x，不合题意；
当x2=116时，x=±14，当x=−14时，x当x=116时，x2=1256，x2故选：C．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．
根据角平分线的定义可得出∠CBF=12∠ABC、∠BCF=∠ACB，再根据内角和定理结合∠A=60°即可求出∠BFC的度数．
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，
∴∠CBF=12∠ABC，∠BCF=12∠ACB，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=120°，
∴∠BFC=180°−(∠CBF+∠BCF)=180°−12(∠ABC+∠ACB)=120°．
故选C．
11.【答案】D
【解析】【分析】
由CD=AC，∠A=50°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD=BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．
【解答】
解：∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠ADC=∠A=50°，
根据题意得：MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B，
∴∠B=12∠ADC=25°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=105°，
故选D．
12.【答案】C
【解析】解：∵∠EAC=∠FAB，
∴∠EAC+∠BAC=∠FAB+∠BAC，
即∠EAB=∠CAF，
在△ABE和△ACF，
∠E=∠F ∠EAB=∠FAC BE=CF ，
∴△ABE≌△ACF(AAS)，
∴∠B=∠C，AC=AB，AE=AF，
故①正确；
∵∠E=90°，
∴AB>BE，
∴AC>BE，
故③错误；
如图，连接AD，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=AD AE=AF ，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴∠DAE=∠DAF，
∵ED⊥AE，FD⊥AF，
∴ED=FD，
故②正确；
在△ACN和△ABM，
∠BAC=∠CAB AC=BC ∠C=∠B ，
∴△ACN≌△ABM(ASA)(故④正确)；
综上所述，正确的结论是①②④，共有3个．
故选：C．
只要证明△ABE≌△ACF，Rt△ADE≌Rt△ADF，△ACN≌△ABM，根据全等三角形的性质即可判断．
本题考查了全等三角形的判定和性质，学会利用三次全等解决问题，属于中考常考题型．
13.【答案】x≥−3
【解析】解：由题意得：x+3≥0，
解得：x≥−3，
故答案为：x≥−3．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
14.【答案】>
【解析】解：∵|−2|=2，30=1，
2>1，
即：|−2|>30，
故答案为：>．
将所给出两数字进行化简后再比较即可．
本题考查了有关实数的大小比较，解题关键在于将原数字进行正确的化简．
15.【答案】5
【解析】解：根据题意得5−2即3因为三角形ABC是等腰三角形，
所以AC=5．
故答案为：5．
根据三角形三边的关系得到3本题考查了三角形三边的关系：三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
16.【答案】0，1
【解析】解：5x−2≤3x+1，
5x−3x≤1+2，
2x≤3，
x≤32，
∴该不等式的非负整数解为：0，1，
故答案为：0，1．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
17.【答案】 33
【解析】解：∵实数a、b满足 a−3+|b−1|=0，
∴a−3=0，b−1=0，
∴a=3，b=1，
∴b a=1 3= 33，
故答案为： 33．
先根据算术平方根和绝对值的非负性得出a−3=0且b−1=0，求出a、b的值，再代入求出答案即可．
本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，二次根式的化简求值等知识点，能求出a、b的值是解此题的关键．
18.【答案】−1或2．
【解析】解：2x−1=axx−1+1，
去分母，得2=ax+x−1．
移项，得ax+x=2+1．
合并同类项，得(a+1)x=3．
∵关于x的方程2x−1=axx−1+1无解，
∴a+1=0或3a+1=1．
∴a=−1或a=2．
故答案为：−1或2．
根据分式方程的解的定义解决此题．
本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=1+13 3+ 12−3+4
=1+13 3+2 3−3+4
=2+73 3；
(2)3x−3=1−3x3−x，
方程两边都乘x−3，得3=x−3+3x，
解得：x=32，
检验：当x=32时，x−3≠0，
所以x=32是原分式方程的解，
即分式方程的解是x=32．
【解析】(1)先根据零指数幂，算术平方根，绝对值和负整数指数幂进行计算，再算加减即可；
(2)方程两边都乘x−3得出3=x−3+3x，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算，解分式方程等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解(1)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(2)的关键．
20.【答案】解：(1)∵xy−14=5，
∴4x+y=5，
∴y=−4x+5；
(2)∵y+3x≥k的正整数解只有3个，
∴−4x+5+3x≥k，即x≤−k+5的正整数解只有3个，
∴3≤−k+5<4
∴1【解析】(1)先根据新运算得出方程4x+y=5，求出y=−4x+5．
(2)把y=−4x+5代入y+3x≥k得到关于x的不等式，解不等式得到x≤−k+5，根据题意3≤−k+5<4，解得1本题考查了解一元一次不等式的整数解，有理数的混合运算，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，直线DE即为所求．
(2)∵DE为线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠BAC=∠ABE=36°，
∴∠BEC=∠BAC+∠ABE=72°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=12×(180°−36°)=72°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴△BCE为等腰三角形．
【解析】(1)按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可．
(2)根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，则∠BAC=∠ABE，进而可得∠BEC的度数，结合等腰三角形的性质可得∠ACB的度数，即可得出答案．
本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和作图步骤，以及等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键．
22.【答案】>
【解析】解：(1)∵a<0，b>0，
∴−a>−b；
故答案为：>；
(2)∵a<−1，0∴1−a>0，−b+1>0，b−a>0，
|1−a|−|−b+1|+|b−a|，
=1−a−(−b+1)+b−a，
=2b−2a．
(1)由a<0，b>0，即可判断−a，−b的大小；
(2)由绝对值的概念，即可化简．
本题考查有理数的大小比较，绝对值的概念，数轴的概念，关键是掌握有理数的大小比较方法，绝对值的意义，数轴的三要素．
23.【答案】解：(1)设甲检测队有x人，乙检测队有y人，
由题意得：x+y=32420x+440y=13840，
解得：x=12y=20，
答：甲检测队有12人，乙检测队有20人；
(2)设乙检测队需至少抽取z人才能保证当天完成任务，
由题意得：8×420+440z≥8640，
解得：z≥12，
答：乙检测队需至少抽取12人才能保证当天完成任务．
【解析】(1)设甲检测队有x人，乙检测队有y人，由题意“甲、乙两支核酸检测队共32人在某乡镇进行核酸采样，当天采样13840人．已知甲检测队平均每人每天采样420人，乙检测队平均每人每天采样440人”，列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设乙检测队需至少抽取z人才能保证当天完成任务，由题意“甲、乙两支核酸检测队若干人共同完成对A、B、C三所学校共8640名师生的核酸采样任务，已知甲检测队抽取8人”，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，解答的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：(1)AB//CD，理由如下：
证明：因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE=∠CAE，
因为∠CAE=∠CEA，
所以∠BAE=∠CEA，
所以AB//CD；
(2)因为∠C=50°，
所以∠CAE+∠CEA=180°−∠C=130°，
因为∠CAE=∠CEA，
所以∠CEA=∠CAE=12×130°=65°．
【解析】(1)根据角平分线的定义得出∠BAE=∠CAE，求出∠BAE=∠CEA，再根据平行线的判定定理得出即可；
(2)根据三角形内角和定理得出∠CAE+∠CEA=180°−∠C=130°，再根据∠CAE=∠CEA求出答案即可．
本题考查了平行线的判定和角平分线的定义，解决本题的关键是平行线的判定的灵活运用．
25.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，
在△AEB和△CDA中，
AB=CA∠BAE=∠CAE=CD，
∴△AEB≌△CDA(SAS)．
(2)解：∵△AEB≌△CDA，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠EPQ=180°−∠BPQ=120°，
∴∠EPQ的度数是120°．
(3)解：∵BQ⊥AD于Q，PQ=7，PE=3，
∴∠PQB=90°，
∴∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=2×7=14，
∴BE=BP+PE=14+3=17，
∴BE的长是17．
【解析】(1)由△ABC是等边三角形，得AB=CA，∠BAE=∠C=60°，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△AEB≌△CDA；
(2)由△AEB≌△CDA，得∠ABE=∠CAD，则∠BPQ=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=60°，所以∠EPQ=180°−∠BPQ=120°；
(3)由∠PQB=90°，∠BPQ=60°，得∠PBQ=30°，而PQ=7，PE=3，所以BP=2PQ=14，BE=BP+PE=17．
此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
26.【答案】 3± 2 7± 5
【解析】解：(1) 5±2 6= ( 3± 2)2= 3± 2， 12± 2 35= ( 7± 5)2= 7± 5，
故答案为： 3± 2， 7± 5；
(2) 9±6 2= 9±2 18= ( 6± 3)2= 6± 3；
(3) 3− 5+ 2+ 3
= 3−2 54+ 2+2 34
= ( 52− 12)2+ ( 32+ 12)2
= 52− 12+ 32+ 12
= 10+ 62，
同理可得 3− 5+ 2− 3= 10+ 6−2 22．
(1)仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；
(2)把6 2变形成2 18，仿照阅读材料的方法可得答案；
(3)将 5变形成2 54， 3变形成2 34，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意，能仿照阅读材料将被开方数变形乘完全平方．
1.在数轴上与原点的距离小于8的点对应的x满足( )
A. −8
2.下列各数中，是无理数的是( )
A. −5B. 1.50505C. − 2D. 813
3.下列说法中，正确的是( )
A. 一个数的立方根有两个，它们互为相反数
B. 一个非零数的立方根与这个数同号
C. 如果一个数有立方根，那么它一定有平方根
D. 一个数的立方根是非负数
4.实数 a2的平方根为( )
A. aB. ±aC. ± aD. ± |a|
5.若关于x的不等式2−m−x>0的正整数解共有3个，则m的取值范围是( )
A. −1≤m<0B. −1
A. 相等的角是对顶角
B. 若实数a，b满足a2=b2，则a=b
C. 若实数a，b满足a<0，b<0，则ab<0
D. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
7.不等式组x+5<5x+1x−m>1的解集是x>1，则m的取值范围是( )
A. m≥1B. m≤1C. m≥0D. m≤0
8.篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队预计在2012−2013赛季全部32场比赛中最少得到48分，才有希望进入季后赛．假设这个队在将要举行的比赛中胜x场，要达到目标，x应满足的关系式是( )
A. 2x+(32−x)≥48B. 2x−(32−x)≥48
C. 2x+(32−x)≤48D. 2x≥48
9.已知min{ x,x2,x}表示取三个数中最小的那个数，例如：当x=9，min{ x,x2,x}=min{ 9,92,9}=3﹒当min{ x,x2,x}=116时，则x的值为( )
A. 116B. 18C. 14D. 12
10.如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠A=60°，则∠BFC=( )
A. 118°
B. 119°
C. 120°
D. 121°
11.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
①分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为( )
A. 90°
B. 95°
C. 100°
D. 105°
12.如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，∠E=∠F=90°，BE=CF，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于点N，∠EAC=∠FAB.有下列结论：①∠B=∠C；②ED=FD；③AC=BE；④△ACN≌△ABM.其中正确结论的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.当 x+3有意义时，x的取值范围是______．
14.比较大小：|−2|______30.(选填>，=，<)
15.等腰三角形ABC中，AB=5，BC=2，则AC的长为______．
16.不等式5x−2≤3x+1的非负整数解为______．
17.已知实数a、b满足 a−3+|b−1|=0，则b a的值为______．
18.若关于x的方程2x−1=axx−1+1无解，则a的值是______．
三、计算题：本大题共2小题，共17分。
19.(1)计算：(2022− 22)0+ 13+|3− 12|+12−2；
(2)解方程：3x−3=1−3x3−x．
20.对于任意有理数a、b、c、d，规定abcd=ad−bc，已知xy−14=5．
(1)用含x的代数式表示y；
(2)若y+3x≥k的正整数解只有3个，求k的取值范围．
四、解答题：本题共6小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题5分)
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°．
(1)尺规作图：求作AB边的垂直平分线分别交AB，AC于点D和点E；(保留作图痕迹，不要求写出作图过程)
(2)直接写出△BCE的形状．
22.(本小题8分)
有理数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．
(1)结合数轴可知：−a ______−b(用“>、=或<”填空)；
(2)结合数轴化简|1−a|−|−b+1|+|b−a|．
23.(本小题8分)
为全力保障人民群众身体健康和生命安全，我区开展新一轮全员核酸检测第一天甲、乙两支核酸检测队共32人在某乡镇进行核酸采样，当天采样13840人．已知甲检测队平均每人每天采样420人，乙检测队平均每人每天采样440人．
(1)求甲、乙两支检测队各有多少人？
(2)根据计划安排，第二天需抽取甲、乙两支核酸检测队若干人共同完成对A、B、C三所学校共8640名师生的核酸采样任务，已知甲检测队抽取8人，则乙检测队需至少抽取多少人才能保证当天完成任务？
24.(本小题8分)
如图，AE平分∠BAC，∠CAE=∠CEA．
(1)AB与CD有怎样的位置关系？为什么？
(2)若∠C=50°，求∠CEA的度数．
25.(本小题10分)
已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．
(1)求证：△AEB≌△CDA；
(2)求∠EPQ的度数；
(3)若BQ⊥AD于Q，PQ=7，PE=3，求BE的长．
26.(本小题10分)
材料：如何将双重二次根式 a±2 b(a>0,b>0,a±2 b>0)化简呢？如能找到两个数m，n(m>0,n>0)，使得( m)2+( n)2=a，即m+n=a，且使 m⋅ n= b，即m⋅n=b，那么a±2 b=( m)2+( n)2±2 m⋅ n=( m± n)2∴ a±2 b=| m± n|，双重二次根式得以化简．
例如化简： 3±2 2因为3=1+2且2=1×2∴3±2 2=( 1)2+( 2)2±2 1× 2∴ 3±2 2=|1± 2|.
由此对于任意一个二次根式只要可以将其化成 a±2 b的形式，且能找到m，n(m>0,n>0)使得m+n=a，且m⋅n=b，那么这个双重二次根式一定可以化简为一个二次根式．
请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：
(1)填空： 5±2 6=______， 12±2 35=______；
(2)化简： 9±6 2；
(3)计算： 3− 5+ 2± 3．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：依题意得：|x|<8
∴−8
根据到原点的距离小于8，即绝对值小于8.显然是介于−8和8之间．
本题考查的是数轴的对称性，在数轴上以原点为中心，两边关于原点对称．
2.【答案】C
【解析】解：A.−5是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；
是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C.− 2是无理数，故本选项符合题意；
D.813是分数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…(两个1之间依次多一个0)，等有这样规律的数．
3.【答案】B
【解析】解：A、一个数的立方根有1个，故该选项不符合题意；
B、一个非零数的立方根与这个数同号，故该选项符合题意；
C、负数有立方根，但负数没有平方根，故该选项不符合题意；
D、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，故该选项不符合题意；
故选：B．
根据正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0判断即可．
本题考查了立方根，掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵当a为任意实数时， a2=|a|，
而|a|的平方根为± |a|．
∴实数 a2的平方根为± |a|．
故选：D．
首先根据算术平方根的定义可以求得 a2=|a|，再利用绝对值的定义可以化简|a|即可得到结果．
此题主要考查了平方根的性质，注意此题首先利用了 a2=|a|，然后要注意区分平方根、算术平方根的概念．
5.【答案】C
【解析】解：解不等式2−m−x>0得：x<2−m，
根据题意得：3<2−m≤4，
解得：−2≤m<−1．
故选：C．
首先解关于x的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式只有3个正整数解，即可得到一个关于m的不等式组求得m的范围．
本题考查了一元一次不等式的整数解，此题比较简单，根据x的取值范围正确确定2−m的范围是解题的关键．在解不等式时要根据不等式的基本性质．
6.【答案】D
【解析】解：A、相等的角是对顶角，是假命题，例如，角平分线把角分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；
B、若实数a，b满足a2=b2，则a=b，是假命题，应为a=b或a=−b，故本选项错误；
C、若实数a，b满足a<0，b<0，则ab<0，是假命题，应为ab>0，故本选项错误；
D、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是真命题，故本选项正确．
故选：D．
根据对顶角的定义，有理数的性质，角平分线的性质对各选项分析判断即可得解．
本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
7.【答案】D
【解析】解：不等式整理得：x>1x>m+1，
由不等式组的解集为x>1，得到m+1≤1，
解得：m≤0，
故选：D．
表示出不等式组中两不等式的解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可．
此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式组取解集的方法是解本题的关键．
8.【答案】A
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是表示出胜场得分和输场得分．
这个队在将要举行的比赛中胜x场，则要输(32−x)场，胜场得分(2x)分，输场得分(32−x)分，根据胜场得分+输场得分≥48可得不等式．
【解答】
解：这个队在将要举行的比赛中胜x场，则要输(32−x)场，由题意得：
2x+(32−x)≥48，
故选A．
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．本题分别计算 x=116，x2=116，x=116的x值，找到满足条件的x值即可．
【解答】
解：当 x=116时，x=1256，x< x，不合题意；
当x2=116时，x=±14，当x=−14时，x
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角形内角和定理，根据角平分线的定义结合三角形内角和定理求出角的度数是解题的关键．
根据角平分线的定义可得出∠CBF=12∠ABC、∠BCF=∠ACB，再根据内角和定理结合∠A=60°即可求出∠BFC的度数．
【解答】解：∵∠ABC、∠ACB的平分线BE、CD相交于点F，
∴∠CBF=12∠ABC，∠BCF=12∠ACB，
∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=120°，
∴∠BFC=180°−(∠CBF+∠BCF)=180°−12(∠ABC+∠ACB)=120°．
故选C．
11.【答案】D
【解析】【分析】
由CD=AC，∠A=50°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ADC的度数，又由题意可得：MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得：CD=BD，则可求得∠B的度数，继而求得答案．
【解答】
解：∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠ADC=∠A=50°，
根据题意得：MN是线段BC的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴∠BCD=∠B，
∴∠B=12∠ADC=25°，
∴∠ACB=180°−∠A−∠B=105°，
故选D．
12.【答案】C
【解析】解：∵∠EAC=∠FAB，
∴∠EAC+∠BAC=∠FAB+∠BAC，
即∠EAB=∠CAF，
在△ABE和△ACF，
∠E=∠F ∠EAB=∠FAC BE=CF ，
∴△ABE≌△ACF(AAS)，
∴∠B=∠C，AC=AB，AE=AF，
故①正确；
∵∠E=90°，
∴AB>BE，
∴AC>BE，
故③错误；
如图，连接AD，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
AD=AD AE=AF ，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，
∴∠DAE=∠DAF，
∵ED⊥AE，FD⊥AF，
∴ED=FD，
故②正确；
在△ACN和△ABM，
∠BAC=∠CAB AC=BC ∠C=∠B ，
∴△ACN≌△ABM(ASA)(故④正确)；
综上所述，正确的结论是①②④，共有3个．
故选：C．
只要证明△ABE≌△ACF，Rt△ADE≌Rt△ADF，△ACN≌△ABM，根据全等三角形的性质即可判断．
本题考查了全等三角形的判定和性质，学会利用三次全等解决问题，属于中考常考题型．
13.【答案】x≥−3
【解析】解：由题意得：x+3≥0，
解得：x≥−3，
故答案为：x≥−3．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
14.【答案】>
【解析】解：∵|−2|=2，30=1，
2>1，
即：|−2|>30，
故答案为：>．
将所给出两数字进行化简后再比较即可．
本题考查了有关实数的大小比较，解题关键在于将原数字进行正确的化简．
15.【答案】5
【解析】解：根据题意得5−2
所以AC=5．
故答案为：5．
根据三角形三边的关系得到3
16.【答案】0，1
【解析】解：5x−2≤3x+1，
5x−3x≤1+2，
2x≤3，
x≤32，
∴该不等式的非负整数解为：0，1，
故答案为：0，1．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
17.【答案】 33
【解析】解：∵实数a、b满足 a−3+|b−1|=0，
∴a−3=0，b−1=0，
∴a=3，b=1，
∴b a=1 3= 33，
故答案为： 33．
先根据算术平方根和绝对值的非负性得出a−3=0且b−1=0，求出a、b的值，再代入求出答案即可．
本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，二次根式的化简求值等知识点，能求出a、b的值是解此题的关键．
18.【答案】−1或2．
【解析】解：2x−1=axx−1+1，
去分母，得2=ax+x−1．
移项，得ax+x=2+1．
合并同类项，得(a+1)x=3．
∵关于x的方程2x−1=axx−1+1无解，
∴a+1=0或3a+1=1．
∴a=−1或a=2．
故答案为：−1或2．
根据分式方程的解的定义解决此题．
本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=1+13 3+ 12−3+4
=1+13 3+2 3−3+4
=2+73 3；
(2)3x−3=1−3x3−x，
方程两边都乘x−3，得3=x−3+3x，
解得：x=32，
检验：当x=32时，x−3≠0，
所以x=32是原分式方程的解，
即分式方程的解是x=32．
【解析】(1)先根据零指数幂，算术平方根，绝对值和负整数指数幂进行计算，再算加减即可；
(2)方程两边都乘x−3得出3=x−3+3x，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算，解分式方程等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解(1)的关键，能把分式方程转化成整式方程是解(2)的关键．
20.【答案】解：(1)∵xy−14=5，
∴4x+y=5，
∴y=−4x+5；
(2)∵y+3x≥k的正整数解只有3个，
∴−4x+5+3x≥k，即x≤−k+5的正整数解只有3个，
∴3≤−k+5<4
∴1
(2)把y=−4x+5代入y+3x≥k得到关于x的不等式，解不等式得到x≤−k+5，根据题意3≤−k+5<4，解得1
21.【答案】解：(1)如图，直线DE即为所求．
(2)∵DE为线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠BAC=∠ABE=36°，
∴∠BEC=∠BAC+∠ABE=72°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=12×(180°−36°)=72°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴△BCE为等腰三角形．
【解析】(1)按照线段垂直平分线的作图步骤作图即可．
(2)根据线段垂直平分线的性质可得AE=BE，则∠BAC=∠ABE，进而可得∠BEC的度数，结合等腰三角形的性质可得∠ACB的度数，即可得出答案．
本题考查尺规作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质和作图步骤，以及等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键．
22.【答案】>
【解析】解：(1)∵a<0，b>0，
∴−a>−b；
故答案为：>；
(2)∵a<−1，0
|1−a|−|−b+1|+|b−a|，
=1−a−(−b+1)+b−a，
=2b−2a．
(1)由a<0，b>0，即可判断−a，−b的大小；
(2)由绝对值的概念，即可化简．
本题考查有理数的大小比较，绝对值的概念，数轴的概念，关键是掌握有理数的大小比较方法，绝对值的意义，数轴的三要素．
23.【答案】解：(1)设甲检测队有x人，乙检测队有y人，
由题意得：x+y=32420x+440y=13840，
解得：x=12y=20，
答：甲检测队有12人，乙检测队有20人；
(2)设乙检测队需至少抽取z人才能保证当天完成任务，
由题意得：8×420+440z≥8640，
解得：z≥12，
答：乙检测队需至少抽取12人才能保证当天完成任务．
【解析】(1)设甲检测队有x人，乙检测队有y人，由题意“甲、乙两支核酸检测队共32人在某乡镇进行核酸采样，当天采样13840人．已知甲检测队平均每人每天采样420人，乙检测队平均每人每天采样440人”，列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设乙检测队需至少抽取z人才能保证当天完成任务，由题意“甲、乙两支核酸检测队若干人共同完成对A、B、C三所学校共8640名师生的核酸采样任务，已知甲检测队抽取8人”，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，解答的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】解：(1)AB//CD，理由如下：
证明：因为AE平分∠BAC，
所以∠BAE=∠CAE，
因为∠CAE=∠CEA，
所以∠BAE=∠CEA，
所以AB//CD；
(2)因为∠C=50°，
所以∠CAE+∠CEA=180°−∠C=130°，
因为∠CAE=∠CEA，
所以∠CEA=∠CAE=12×130°=65°．
【解析】(1)根据角平分线的定义得出∠BAE=∠CAE，求出∠BAE=∠CEA，再根据平行线的判定定理得出即可；
(2)根据三角形内角和定理得出∠CAE+∠CEA=180°−∠C=130°，再根据∠CAE=∠CEA求出答案即可．
本题考查了平行线的判定和角平分线的定义，解决本题的关键是平行线的判定的灵活运用．
25.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=CA，∠BAE=∠C=60°，
在△AEB和△CDA中，
AB=CA∠BAE=∠CAE=CD，
∴△AEB≌△CDA(SAS)．
(2)解：∵△AEB≌△CDA，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠EPQ=180°−∠BPQ=120°，
∴∠EPQ的度数是120°．
(3)解：∵BQ⊥AD于Q，PQ=7，PE=3，
∴∠PQB=90°，
∴∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=2×7=14，
∴BE=BP+PE=14+3=17，
∴BE的长是17．
【解析】(1)由△ABC是等边三角形，得AB=CA，∠BAE=∠C=60°，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△AEB≌△CDA；
(2)由△AEB≌△CDA，得∠ABE=∠CAD，则∠BPQ=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=60°，所以∠EPQ=180°−∠BPQ=120°；
(3)由∠PQB=90°，∠BPQ=60°，得∠PBQ=30°，而PQ=7，PE=3，所以BP=2PQ=14，BE=BP+PE=17．
此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形的两个锐角互余、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
26.【答案】 3± 2 7± 5
【解析】解：(1) 5±2 6= ( 3± 2)2= 3± 2， 12± 2 35= ( 7± 5)2= 7± 5，
故答案为： 3± 2， 7± 5；
(2) 9±6 2= 9±2 18= ( 6± 3)2= 6± 3；
(3) 3− 5+ 2+ 3
= 3−2 54+ 2+2 34
= ( 52− 12)2+ ( 32+ 12)2
= 52− 12+ 32+ 12
= 10+ 62，
同理可得 3− 5+ 2− 3= 10+ 6−2 22．
(1)仿照阅读材料，把被开方数变形成完全平方式，即可得答案；
(2)把6 2变形成2 18，仿照阅读材料的方法可得答案；
(3)将 5变形成2 54， 3变形成2 34，再把被开方数变形成完全平方式，即可算得答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是读懂题意，能仿照阅读材料将被开方数变形乘完全平方．
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