2023-2024学年广西防城港市八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西防城港市八年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如果分式xx−1有意义，那么x的取值范围是( )
A. x>1B. x≠0C. x≠1D. x<1
3.下列三条线段能组成三角形的是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 5，6，11D. 3，4，8
4.一种细胞的直径约为0.0000032米，将0.0000032用科学记数法表示为( )
A. 3.2×10−6B. 3.2×106C. 32×10−5D. 0.32×10−7
5.如图，若△ABE≌△ACD，且AC=6，AD=4，则EC的长为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.下列运算正确的是( )
A. x3+x3=x6B. (3x3)2=6x6C. x6÷x3=x2D. x⋅x2=x3
7.用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是( )
A. (SAS)B. (SSS)C. (ASA)D. (AAS)
8.一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
9.如果把分式x+y2xy中的x和y都扩大2倍，那么分式的值( )
A. 不变B. 缩小到原来的二分之一
C. 扩大2倍D. 扩大4倍
10.如图，将直尺与含30°角的直角三角尺摆放在一起，若∠ACD=10°，则∠ABE的度数是( )
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
11.如图，在△ABC中，已知点D、E分别为BC、AD的中点，且△ABC的面积等于8cm2，则△AEC的面积等于( )
A. 4cm2
B. 3cm2
C. 2cm2
D. 1cm2
12.如果代数式a+b=4，ab=2，那么ba+ab的值等于( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
13.若分式x+1x值为0，则x的值为______．
14.如图，建高层建筑需要用塔吊来吊建筑材料，塔吊的上部是三角形结构，其中的数学原理是______．
15.因式分解：ax2−ay2=________．
16.已知点A(a,−1)，B(2,b)，若点A、B关于y轴对称，则a+b的值为______．
17.等腰三角形的一个内角为70°，另外两个内角的度数为______．
18.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC+PE的和最小时，∠ACP=______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
计算：2−1×(1−3)+( 2023−1)0．
20.(本小题6分)
解方程x1−x=2xx−1−1．
21.(本小题10分)
先化简再求值(x−y)2+(y+x)(y−x)，其中x=−1，y=−2．
22.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，A(1,2)，B(3,1)，C(−2,−1)．
(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)写出点A1，B1，C1的坐标(直接写答案)：A1______，B1______，C1______．
23.(本小题10分)
如图，∠BAD=∠CAE，∠B=∠D，AC=AE．
(1)求证：BC=DE；
(2)若∠C=35°，∠D=60°，求∠DAE的度数．
24.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，连接AE．
(1)求证：AE是∠BAC的角平分线；
(2)若DE=2，求BC的长．
25.(本小题10分)
某校购买了A、B两种型号水性笔，已知A型号的水性笔的单价比B型号水性笔的单价多1.5元，且用8000元购买A型号水性笔的数量与用5000元购买B型号水性笔的数量相同．
(1)求A、B两种型号水性笔的单价各是多少元．
(2)根据该校需求，学校还需要增加购买一些水性笔，增加购买B型号水性笔数量是A型号水性笔数量的2倍，若总费用不超过7200元，则增加购买A型号水性笔的数量最多是多少支？
26.(本小题10分)
如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．

(1)t秒后，点P的运动路程AP与点Q的运动路程B ______；(填“相等”或“不相等”)
(2)求证：△ABQ≌△CAP；
(3)①当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，求∠QMC的度数；
②如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，∠QMC的度数发生变化吗？若变化，请直接写出它的度数．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：C选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
A，B，D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故选：C．
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2.【答案】C
【解析】解：由题意，得x−1≠0，
解得x≠1，
故选：C．
先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、1+2=3，不能组成三角形，故A不符合题意；
B、2+3>4，能组成三角形，故B符合题意；
C、5+6=11，不能组成三角形，故C不符合题意；
D、3+4<8，不能组成三角形，故D不符合题意．
故选：B．
在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．
4.【答案】A
【解析】解：0.0000032=3.2×10−6．
故选：A．
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5.【答案】B
【解析】解：∵△ABE≌△ACF，
∴AC=AB=6，
∴EC=AC−AE=6−4=2，
故选：B．
根据全等三角形的对应边相等解答即可．
本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A.x3+x3=2x3，故此选项不合题意；
B.(3x3)2=9x6，故此选项不合题意；
C.x6÷x3=x3，故此选项不合题意；
D.x⋅x2=x3，故此选项符合题意．
故选：D．
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：作图的步骤：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点D、C；
②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点D′；
③以D′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点C′；
④过点C′作射线O′B′．
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；
作图完毕．
在△O′C′D′和△OCD中
O′C′=OCO′D′=ODC′D′=CD,
∴△O′C′D′≌△OCD(SSS)，
∴∠AOB=∠A′O′B′，
显然运用的判定方法是SSS．
故选：B．
本题我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．
本题考查了全等三角形的判定与性质．
8.【答案】D
【解析】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，(n−2)⋅180°=2×360°，
解得n=6．
故选：D．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°与外角和定理列出方程求解即可．
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°.掌握边形的内角和公式与外角和定理是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：将分式x+y2xy中的x和y都扩大2倍，得：
2x+2y2⋅(2x)⋅(2y)=2(x+y)4⋅(2xy)=12⋅x+y2xy，
∴x和y都扩大2倍后，分式的值缩小为原来的12，
故选：B．
根据要求对分式变形，然后根据分式的基本性质进行约分，观察分式的前后变化．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
10.【答案】B
【解析】解：如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=10°，∠F=30°，
∴∠BEF=∠1+∠F=40°，
∵AB/​/CD，
∴∠2=∠BEF=40°，
故选：B．
先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．
11.【答案】C
【解析】解：∵点D为BC的中点，且△ABC的面积等于8cm2，
∴S△ACD=12S△ABC=12×8=4(cm2)，
∵E为AD的中点，
∴S△AEC=12S△ACD=12×4=2(cm2)，
故选：C．
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形求出△ACD的面积，即可求出△AEC的面积．
本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键．
12.【答案】A
【解析】解：∵a+b=4，ab=2，
∴ba+ab
=b2+a2ab
=(a+b)2−2abab
=42−2×22
=16−42
=122
=6，
故选：A．
将所求式子变形，然后将a+b=4，ab=2代入变形后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
13.【答案】−1
【解析】解：若分式x+1x值为0，
则x+1=0且x≠0，
解得：x=−1．
故答案为：−1．
直接利用分式的值为零则分子为零进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式的值为零则分子为零是解题关键．
14.【答案】三角形具有稳定性
【解析】解：根据三角形具有稳定性，主要是应用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形具有稳定性．
根据三角形具有稳定性解答．
本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．
15.【答案】a(x+y)(x−y)
【解析】解：ax2−ay2=a(x2−y2)=a(x+y)(x−y)．
故答案为：a(x+y)(x−y)．
首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
16.【答案】−3
【解析】解：∵点A(a,−1)，B(2,b)，若点A、B关于y轴对称，
∴a=−2，b=−1，
故a+b=−2−1=−3．
故答案为：−3．
根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．
17.【答案】55°，55°或70°，40°
【解析】解：分情况讨论：
(1)若等腰三角形的顶角为70°时，另外两个内角=(180°−70°)÷2=55°；
(2)若等腰三角形的底角为70°时，它的另外一个底角为70°，顶角为180°−70°−70°=40°．
故填55°，55°或70°，40°．
已知给出了一个内角是70°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还需用三角形内角和定理去验证每种情况是不是都成立．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
18.【答案】30°
【解析】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴PC=PB，
∴PE+PC=PB+PE≥BE，
即BE就是PE+PC的最小值，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCE=60°，
∵BA=BC，AE=EC，
∴BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠EBC=30°，
∵PB=PC，
∴∠PCB=∠PBC=30°，
∴∠ACP=30°，
故答案为：30°．
连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC=∠PCB=30°，即可解决问题．
本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
19.【答案】解：2−1×(1−3)+( 2023−1)0
=12×(−2)+1
=−1+1
=0．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂，然后计算乘法，最后计算加法，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
20.【答案】解：原方程去分母得：x=−2x−(1−x)，
整理得：x=−2x−1+x，
解得：x=−12，
检验：将x=−12代入(1−x)得1+12=32≠0，
故原方程的解为x=−12．
【解析】利用解分式方程的步骤解方程即可．
本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
21.【答案】解：(x−y)2+(y+x)(y−x)
=x2−2xy+y2+y2−x2
=−2xy+2y2，
当x=−1，y=−2时，原式=−2xy+2y2
=−2×(−1)×(−2)+2×(−2)2
=−4+2×4
=−4+8
=4．
【解析】先利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
22.【答案】(1)如图所示；
(2)(−1,2)，(−3,1)，(2,−1)．
【解析】解：(1)见答案；
(2)由图可知，A1(−1,2)，B1(−3,1)，C1(2,−1)，
故答案为：(−1,2)，(−3,1)，(2,−1)．
【分析】(1)作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
(2)根据各点在坐标系中的位置写出各点坐标即可．
本题考查的是作图−轴对称变换，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
∠BAC=∠DAE∠B=∠DAC=AE，
∴△ABC≌△ADE(AAS)，
∴BC=DE．
(2)解：∵△ABC≌△ADE，∠C=35°，∠D=60°，
∴∠C=∠E=35°，
∴∠DAE=180°−∠D−∠E=180°−60°−35°=85°，
∴∠DAE的度数是85°．
【解析】(1)由∠BAD=∠CAE，推导出∠BAC=∠DAE，而∠B=∠D，AC=AE，即可根据“AAS”证明△ABC≌△ADE，得BC=DE；
(2)由全等三角形的性质得∠C=∠E=35°，则∠DAE=180°−∠D−∠E=85°．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明△ABC≌△ADE是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=90°−∠B=60°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠EAB=∠B=30°，
∴∠CAE=∠CAB−∠EAB=30°，
∴∠CAE=∠EAB=30°，
∴AE是∠BAC的角平分线；
(2)解：由(1)可得：AE是∠BAC的角平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴ED=EC=2，
在Rt△EDB中，∠B=30°，
∴BE=2DE=4，
∴BC=CE+BE=2+4=6，
∴BC的长为6．
【解析】(1)先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CAB=60°，再利用线段垂直平分线的性质可得DA=DB，从而可得∠EAB=∠B=30°，然后利用角的和差关系可得∠CAE=∠EAB=30°，即可解答；
(2)利用(1)的结论和角平分线的性质可得ED=EC=2，然后在Rt△EDB中，利用含30度角的直角三角形的性质求出BE的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设B型号水性笔的单价是x元，则A型号水性笔的单价是(x+1.5)元，
由题意题得：8000x+1.5=5000x，
得：x=2.5，
经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意，
则A种型号水性笔的单价是2.5+1.5=4(元)，
答：A型号水性笔的单价是4元，B型号水性笔的单价是2.5元；
(2)设增加购买A型号水性笔的数量是m支，
依题意得：4m+2.5×2m≤7200，
解得：m≤800，
答：增加购买A型号水性笔的数量最多是800支．
【解析】(1)设B型口罩的单价是x元，则A型口罩的单价是(x+1.5)元，根据数量=总价÷单价，结合“用8000元购买A型口罩的数量与用5000元购买B型口罩的数量相同”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)设增加购买A型口罩的数量是y个，则增加购买B型口罩数量是2y个，根据总价=单价×数量，结合总价不超过7200元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】相等
【解析】(1)解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABQ=∠CAP，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
t秒后，点P的运动路程AP与点Q的运动路程B相等；
故答案为：相等；
(2)证明：在△ABQ与△CAP中，
∵AB=CA∠ABQ=∠CAPAP=BQ，
∴△ABQ≌△CAP(SAS)；
(2)①解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°，
②解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°−∠PAC=180°−60°=120°．
(1)根据等边三角形的性质，即可推理；
(2)利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
(3)①由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=60°；
②由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC=120°．
此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．