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2023-2024学年广西贵港市港北六中九年级（上）月考数学试卷（9月份）(含解析)
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这是一份2023-2024学年广西贵港市港北六中九年级（上）月考数学试卷（9月份）(含解析)，共13页。试卷主要包含了已知＝，将抛物线y＝﹣2等内容，欢迎下载使用。
1．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A．＝B．2a＝3bC．＝D．3a＝2b
2．下列关系式中表示y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．y＝2x+1C．D．
3．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m≥6B．m＞6C．m≤6D．m＜6
4．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．m＝2B．m＝4C．m＝±2D．m＝﹣2
5．将抛物线y＝﹣2（x+1）2+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+4）2+1B．y＝﹣2（x﹣2）2+1
C．y＝﹣2（x+4）2+5D．y＝﹣2（x﹣2）2+5
6．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0B．k≤0C．k≠1且k≠0D．k≤1且k≠0
7．如图，直线a∥b∥c，直线AC和DF被直线a，b，c所截，如果截得线段AB＝3，BC＝
6，EF＝5，那么线段DE的长为（ ）
A．10B．C．D．
8．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．则下列选项不成立的是（ ）
A．∠D＝∠BB．∠E＝∠CC．D．
9．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有（ ）
①＝；②＝；③＝；④＝．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝9，则EF的长为（ ）
A．1B．1.5C．3D．4.5
11．如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB＝2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（ ）
A．30B．27C．14D．32
12．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD•ACD．＝
二.填空题（每题2分，共12分）
13．若，则＝ ．
14．设a为一元二次方程2x2+3x﹣2022＝0的一个实数根，则2﹣9a﹣6a2＝ ．
15．若双曲线的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是 ．
16．已知点C是线段AB上的黄金分割点，且AC＞BC，如果AB＝2cm，那么线段BC的长度为 cm．
17．如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为 ．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为 ．
三.解答题
19．解方程：
（1）x2﹣2x＝2x+1
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）
20．如图，在矩形ABCD中，M是BC上的一点，连接AM，DE⊥AM于点E．
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）若，AD＝8，BM＝3，求EM的长．
21．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0，x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点，AE⊥x轴于点E，BC⊥x轴于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出kx+b＞（x＞0）时的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
22．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
23．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
24．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他站在距离树12m的地方，调整三角板DEF的位置，设法使斜边DF保持水平，并且直角边DE与树顶点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝20cm，测得斜边DF离地面的高度为1.5m，求树的高度．
25．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
26．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝8，AB＝12．求EF的长．
参考答案
一.选择题（每小题3分，共36分）
1．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A．＝B．2a＝3bC．＝D．3a＝2b
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
解：由＝得，3a＝2b，
A、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
B、由等式性质可得2a＝3b，错误；
C、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
D、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
2．下列关系式中表示y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．y＝2x+1C．D．
【分析】根据反比例函数的定义判断即可．
解：A．y＝，是反比例函数，故A符合题意；
B．y＝2x+1，是一次函数，故B不符合题意；
C．y＝x2，是二次函数，故C不符合题意；
D．y＝，是一次函数，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
3．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m≥6B．m＞6C．m≤6D．m＜6
【分析】由于反比例函数的图象在第二、四象限，根据反比例函数的性质可推知比例系数m﹣6＜0，据此即可求出m的取值范围．
解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴m﹣6＜0，
∴m＜6．
故选：D．
【点评】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是知道：对与y＝，
当k＞0时，函数图象位于一、三象限；
当k＜0时，函数图象位于二、四象限．
4．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．m＝2B．m＝4C．m＝±2D．m＝﹣2
【分析】根据一元二次方程的定义可得m2﹣2＝2且m﹣2≠0，即可求解．
解：∵方程是一元二次方程，
∴m2﹣2＝2且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
5．将抛物线y＝﹣2（x+1）2+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+4）2+1B．y＝﹣2（x﹣2）2+1
C．y＝﹣2（x+4）2+5D．y＝﹣2（x﹣2）2+5
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
解：∵抛物线y＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3），
∴向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标是（2，1）．
∴所得抛物线解析式是y＝﹣2（x﹣2）2+1．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0B．k≤0C．k≠1且k≠0D．k≤1且k≠0
【分析】根据根的判别式结合一元二次方程的定义即可求解．
解：由题意：Δ＝22﹣4k≥0且k≠0，
∴k≤1且k≠0，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义与根的判别式，解题关键是掌握当Δ≥0时，方程才有实数根．
7．如图，直线a∥b∥c，直线AC和DF被直线a，b，c所截，如果截得线段AB＝3，BC＝
6，EF＝5，那么线段DE的长为（ ）
A．10B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
解：∵直线a∥b∥c，
∴＝，
∵AB＝3，BC＝6，EF＝5，
∴＝，
∴DE＝．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
8．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．则下列选项不成立的是（ ）
A．∠D＝∠BB．∠E＝∠CC．D．
【分析】根据∠DAB＝∠CAE，可以得到∠DAE＝∠BAC，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得△ADE∽△ABC，本题得以解决．
解：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴当添加条件∠D＝∠B时，则△ADE∽△ABC，故选项A不符合题意；
当添加条件∠E＝∠C时，则△ADE∽△ABC，故选项B不符合题意；
当添加条件时，则△ADE∽△ABC，故选项C不符合题意；
当添加条件时，则△ADE和△ABC不一定相似，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答．
9．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有（ ）
①＝；②＝；③＝；④＝．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，
∴＝，故①正确；
∴＝，即＝，故②正确；
∴＝，故③错误；
∴＝，即＝，故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．
10．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝9，则EF的长为（ ）
A．1B．1.5C．3D．4.5
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长．
解：∵∠AFB＝90°，D为AB的中点，
∴DF＝AB＝3，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝4.5，
∴EF＝DE﹣DF＝1.5，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
11．如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB＝2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（ ）
A．30B．27C．14D．32
【分析】用相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及面积的和差求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，CD∥AB，BC∥AB，
∴△BEF∽△AED，
∵，
∴，
∴，
∵△BEF的面积为4，
∴S△AED＝25，
∴S四边形ABFD＝S△AED﹣S△BEF＝21，
∵AB＝CD，，
∴，
∵AB∥CD，
∴△BEF∽△CDF，
∴，
∴S△CDF＝9，
∴S平行四边形ABCD＝S四边形ABFD+S△CDF＝21+9＝30，
故选：A．
【点评】此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质，解本题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
12．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD•ACD．＝
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2＝AD•AC，∴＝，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、＝不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
二.填空题（每题2分，共12分）
13．若，则＝ ．
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可．
解：由可设y＝3k，x＝7k，k是非零整数，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
14．设a为一元二次方程2x2+3x﹣2022＝0的一个实数根，则2﹣9a﹣6a2＝ ﹣6064 ．
【分析】根据已知得2a2+3a＝2022，再将所求式子变形后整体代入即可．
解：∵a为一元二次方程2x2+3x﹣2022＝0的一个实数根，
∴2a2+3a﹣2022＝0，
∴2a2+3a＝2022，
∴2﹣9a﹣6a2，
＝2﹣3（3a+2a2）
＝2﹣3×2022
＝2﹣6066
＝﹣6064，
故答案为：﹣6064．
【点评】本题考查一元二次方程的解及求代数式的值，解题的关键将已知和所求式子适当变形，再应用整体思想解决问题．
15．若双曲线的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是 k＜ ．
【分析】由反比例函数图象的位置在第二、四象限，可以得出2k﹣1＜0，然后解这个不等式就可以求出k的取值范围．
解：∵双曲线的图象经过第二、四象限，
∴2k﹣1＜0，
∴k＜，
故答案为：k＜．
【点评】本题考查了反比例函数的图象及其性质，一元一次不等式的解法．
16．已知点C是线段AB上的黄金分割点，且AC＞BC，如果AB＝2cm，那么线段BC的长度为 （3﹣） cm．
【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
解：∵点C是线段AB上的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2cm，
∴AC＝AB＝×2＝（﹣1）cm，
∴BC＝AB﹣AC＝2﹣（﹣1）＝（3﹣）cm，
故答案为：（3﹣）．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为 ∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝ ．
【分析】根据相似三角形对应角相等，可得∠ABC＝∠AED，故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED，即可解题．
解：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED．
同理可得：∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝可以得出△ABC∽△AED；
故答案为：∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝．
【点评】此题考查了相似三角形对应角相等的性质，相似三角形的证明，添加条件∠ABC＝∠AED并求证△ABC∽△AED是解题的关键．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为 9：16 ．
【分析】可证明△DEF∽△BAF，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：DC＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
∴S△DEF：S△BAF＝9：16．
故答案为：9：16．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
三.解答题
19．解方程：
（1）x2﹣2x＝2x+1
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）先移项得到2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝5，
（x﹣2）2＝5，
x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
所以x1＝3，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解一元二次方程．
20．如图，在矩形ABCD中，M是BC上的一点，连接AM，DE⊥AM于点E．
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）若，AD＝8，BM＝3，求EM的长．
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，则∠DAE＝∠AMB＝90°﹣∠BAM，由DE⊥AM于点E，得∠AED＝∠B＝90°，即可证明△ADE∽△MAB；
（2）首先由矩形的性质得到AB＝CD，然后根据相似三角形的性质求出AM和AE得出，进而求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠DAE＝∠AMB＝90°﹣∠BAM，
∵DE⊥AM于点E，
∴∠AED＝∠B＝90°，
∴△ADE∽△MAB；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∴，
∵△ADE∽△MAB
∴，即，
解得AM＝6，AE＝4，
∴EM＝AM﹣AE＝2．
【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键．
21．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0，x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点，AE⊥x轴于点E，BC⊥x轴于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出kx+b＞（x＞0）时的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）把A（1，6）代入可求出m的值，即可得出反比例函数的解析式，根据A、B两点坐标，把B（3，n）代入可求出n值，利用待定系数法即可得出一次函数解析式；
（2）根据A、B坐标，利用图象找出一次函数图象在反比例函数图形上方时x的取值范围即可得答案；
（3）设直线AB交x轴于D，根据一次函数解析式可求出D点坐标，根据S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD即可得答案．
解：（1）将A（1，6）代入得m＝6，
∴反比例函数为，
把B（3，n）代入的，n＝，
∴B（3，2）
将A（1，6）和B（3，2）代入y＝kx+b得
解得，
∴一次函数的表达式是y＝﹣2x+8．
（2）∵A（1，6），B（3，2）
∴观察图象得：kx+b＞（x＞0）时的x的取值范围为1＜x＜3．
（3）设直线AB交x轴于D，
∴y＝0时，﹣2x+8＝0，
解得：x＝4，
∴点D（4，0），
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数综合、利用图象求不等式的解集，待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，分割法求三角形面积，熟练掌握反比例函数图形上点的坐标特征是解题关键．
22．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C．
在△ADF与△DEC中，
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴DE＝＝＝12．
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解决本题的关键是证明△ADF∽△DEC．
23．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【分析】（1）设月平均增长率是x，利用3月份的销售量＝1月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件，利用每天销售该公仔获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出y的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低20元．
解：（1）设月平均增长率是x，
依题意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是20%．
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200，
整理得：y2﹣30y+200＝0，
解得：y1＝10，y2＝20．
又∵要尽量减少库存，
∴y＝20．
答：售价应降低20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他站在距离树12m的地方，调整三角板DEF的位置，设法使斜边DF保持水平，并且直角边DE与树顶点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝20cm，测得斜边DF离地面的高度为1.5m，求树的高度．
【分析】先判定△DEF∽△DCB，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
解：∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠BCD，DE＝30cm＝0.3m，EF＝20cm＝0.2m，
∴△DEF∽△DCB，
∴，即，
解得：BC＝8（m），
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+8＝9.5（m），
即树的高度为9.5m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，判定出△DEF∽△DCB是解题的关键．
25．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
【分析】（1）利用“两角法”证得这两个三角形相似；
（2）由（1）中相似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度．
【解答】（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC＝∠EFB，∠EBF＝∠FCD＝90°，
∴△BEF∽△CDF；
（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．
∴＝，即＝，
解得：CF＝169．
即：CF的长度是169cm．
【点评】本题考查了相似三角形的应用．此题利用了“相似三角形的对应边成比例”推知所求线段CF与已知线段间的数量关系的．
26．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝8，AB＝12．求EF的长．
【分析】（1）证明△DCA∽△CBA，由相似三角形的性质得出＝，即可得出结论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可知EC＝EA＝EB，推出∠DAC＝∠EAC＝∠ACE即可证明；
（3）由AD∥CE，可得＝＝，进而可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△DCA∽△CBA，
∴＝，
∴AC2＝AB•AD．
（2）证明：∵∠ACB＝90°，E为AB的中点，
∴CE＝AE＝EB，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴AD∥EC．
（3）解：∵AD＝8，AB＝12，
∴AC2＝AB•AD＝8×12＝96．
∴AC＝，
∴CD＝，
∵∠ACB＝90°，E为AB的中点，
∴CE＝AB＝6，
∵AD∥CE，
∴∠ADC+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝90°，
∴DE＝，
∵△ECF∽△DAF，
∴＝＝＝，
∴，
∴．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
1．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A．＝B．2a＝3bC．＝D．3a＝2b
2．下列关系式中表示y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．y＝2x+1C．D．
3．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m≥6B．m＞6C．m≤6D．m＜6
4．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．m＝2B．m＝4C．m＝±2D．m＝﹣2
5．将抛物线y＝﹣2（x+1）2+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+4）2+1B．y＝﹣2（x﹣2）2+1
C．y＝﹣2（x+4）2+5D．y＝﹣2（x﹣2）2+5
6．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0B．k≤0C．k≠1且k≠0D．k≤1且k≠0
7．如图，直线a∥b∥c，直线AC和DF被直线a，b，c所截，如果截得线段AB＝3，BC＝
6，EF＝5，那么线段DE的长为（ ）
A．10B．C．D．
8．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．则下列选项不成立的是（ ）
A．∠D＝∠BB．∠E＝∠CC．D．
9．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有（ ）
①＝；②＝；③＝；④＝．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝9，则EF的长为（ ）
A．1B．1.5C．3D．4.5
11．如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB＝2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（ ）
A．30B．27C．14D．32
12．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD•ACD．＝
二.填空题（每题2分，共12分）
13．若，则＝ ．
14．设a为一元二次方程2x2+3x﹣2022＝0的一个实数根，则2﹣9a﹣6a2＝ ．
15．若双曲线的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是 ．
16．已知点C是线段AB上的黄金分割点，且AC＞BC，如果AB＝2cm，那么线段BC的长度为 cm．
17．如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为 ．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为 ．
三.解答题
19．解方程：
（1）x2﹣2x＝2x+1
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）
20．如图，在矩形ABCD中，M是BC上的一点，连接AM，DE⊥AM于点E．
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）若，AD＝8，BM＝3，求EM的长．
21．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0，x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点，AE⊥x轴于点E，BC⊥x轴于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出kx+b＞（x＞0）时的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
22．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
23．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
24．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他站在距离树12m的地方，调整三角板DEF的位置，设法使斜边DF保持水平，并且直角边DE与树顶点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝20cm，测得斜边DF离地面的高度为1.5m，求树的高度．
25．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
26．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝8，AB＝12．求EF的长．
参考答案
一.选择题（每小题3分，共36分）
1．已知＝（a≠0，b≠0），下列变形错误的是（ ）
A．＝B．2a＝3bC．＝D．3a＝2b
【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解．
解：由＝得，3a＝2b，
A、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
B、由等式性质可得2a＝3b，错误；
C、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
D、由等式性质可得：3a＝2b，正确；
故选：B．
【点评】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积．
2．下列关系式中表示y是x的反比例函数的是（ ）
A．B．y＝2x+1C．D．
【分析】根据反比例函数的定义判断即可．
解：A．y＝，是反比例函数，故A符合题意；
B．y＝2x+1，是一次函数，故B不符合题意；
C．y＝x2，是二次函数，故C不符合题意；
D．y＝，是一次函数，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．
3．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（ ）
A．m≥6B．m＞6C．m≤6D．m＜6
【分析】由于反比例函数的图象在第二、四象限，根据反比例函数的性质可推知比例系数m﹣6＜0，据此即可求出m的取值范围．
解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴m﹣6＜0，
∴m＜6．
故选：D．
【点评】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是知道：对与y＝，
当k＞0时，函数图象位于一、三象限；
当k＜0时，函数图象位于二、四象限．
4．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．m＝2B．m＝4C．m＝±2D．m＝﹣2
【分析】根据一元二次方程的定义可得m2﹣2＝2且m﹣2≠0，即可求解．
解：∵方程是一元二次方程，
∴m2﹣2＝2且m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
5．将抛物线y＝﹣2（x+1）2+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为（ ）
A．y＝﹣2（x+4）2+1B．y＝﹣2（x﹣2）2+1
C．y＝﹣2（x+4）2+5D．y＝﹣2（x﹣2）2+5
【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
解：∵抛物线y＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3），
∴向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标是（2，1）．
∴所得抛物线解析式是y＝﹣2（x﹣2）2+1．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
6．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞0B．k≤0C．k≠1且k≠0D．k≤1且k≠0
【分析】根据根的判别式结合一元二次方程的定义即可求解．
解：由题意：Δ＝22﹣4k≥0且k≠0，
∴k≤1且k≠0，
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义与根的判别式，解题关键是掌握当Δ≥0时，方程才有实数根．
7．如图，直线a∥b∥c，直线AC和DF被直线a，b，c所截，如果截得线段AB＝3，BC＝
6，EF＝5，那么线段DE的长为（ ）
A．10B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，代入求出即可．
解：∵直线a∥b∥c，
∴＝，
∵AB＝3，BC＝6，EF＝5，
∴＝，
∴DE＝．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
8．如图，∠DAB＝∠CAE，请你再添加一个条件，使得△ADE∽△ABC．则下列选项不成立的是（ ）
A．∠D＝∠BB．∠E＝∠CC．D．
【分析】根据∠DAB＝∠CAE，可以得到∠DAE＝∠BAC，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得△ADE∽△ABC，本题得以解决．
解：∵∠DAB＝∠CAE，
∴∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC，
∴当添加条件∠D＝∠B时，则△ADE∽△ABC，故选项A不符合题意；
当添加条件∠E＝∠C时，则△ADE∽△ABC，故选项B不符合题意；
当添加条件时，则△ADE∽△ABC，故选项C不符合题意；
当添加条件时，则△ADE和△ABC不一定相似，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用三角形相似的判定方法解答．
9．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有（ ）
①＝；②＝；③＝；④＝．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，CD＝AB，AD＝BC，
∴＝，故①正确；
∴＝，即＝，故②正确；
∴＝，故③错误；
∴＝，即＝，故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．
10．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝9，则EF的长为（ ）
A．1B．1.5C．3D．4.5
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长．
解：∵∠AFB＝90°，D为AB的中点，
∴DF＝AB＝3，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝4.5，
∴EF＝DE﹣DF＝1.5，
故选：B．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
11．如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB＝2：3，△BEF的面积为4，则▱ABCD的面积为（ ）
A．30B．27C．14D．32
【分析】用相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及面积的和差求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，CD∥AB，BC∥AB，
∴△BEF∽△AED，
∵，
∴，
∴，
∵△BEF的面积为4，
∴S△AED＝25，
∴S四边形ABFD＝S△AED﹣S△BEF＝21，
∵AB＝CD，，
∴，
∵AB∥CD，
∴△BEF∽△CDF，
∴，
∴S△CDF＝9，
∴S平行四边形ABCD＝S四边形ABFD+S△CDF＝21+9＝30，
故选：A．
【点评】此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质，解本题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
12．下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACBB．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD•ACD．＝
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2＝AD•AC，∴＝，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、＝不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
二.填空题（每题2分，共12分）
13．若，则＝ ．
【分析】根据比例的基本性质变形，代入求值即可．
解：由可设y＝3k，x＝7k，k是非零整数，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了比例的基本性质，准确利用性质变形是解题的关键．
14．设a为一元二次方程2x2+3x﹣2022＝0的一个实数根，则2﹣9a﹣6a2＝ ﹣6064 ．
【分析】根据已知得2a2+3a＝2022，再将所求式子变形后整体代入即可．
解：∵a为一元二次方程2x2+3x﹣2022＝0的一个实数根，
∴2a2+3a﹣2022＝0，
∴2a2+3a＝2022，
∴2﹣9a﹣6a2，
＝2﹣3（3a+2a2）
＝2﹣3×2022
＝2﹣6066
＝﹣6064，
故答案为：﹣6064．
【点评】本题考查一元二次方程的解及求代数式的值，解题的关键将已知和所求式子适当变形，再应用整体思想解决问题．
15．若双曲线的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是 k＜ ．
【分析】由反比例函数图象的位置在第二、四象限，可以得出2k﹣1＜0，然后解这个不等式就可以求出k的取值范围．
解：∵双曲线的图象经过第二、四象限，
∴2k﹣1＜0，
∴k＜，
故答案为：k＜．
【点评】本题考查了反比例函数的图象及其性质，一元一次不等式的解法．
16．已知点C是线段AB上的黄金分割点，且AC＞BC，如果AB＝2cm，那么线段BC的长度为 （3﹣） cm．
【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答．
解：∵点C是线段AB上的黄金分割点，且AC＞BC，AB＝2cm，
∴AC＝AB＝×2＝（﹣1）cm，
∴BC＝AB﹣AC＝2﹣（﹣1）＝（3﹣）cm，
故答案为：（3﹣）．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为 ∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝ ．
【分析】根据相似三角形对应角相等，可得∠ABC＝∠AED，故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED，即可解题．
解：∵∠ABC＝∠AED，∠A＝∠A，
∴△ABC∽△AED，
故添加条件∠ABC＝∠AED即可求得△ABC∽△AED．
同理可得：∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝可以得出△ABC∽△AED；
故答案为：∠ADE＝∠C 或∠AED＝∠B或＝．
【点评】此题考查了相似三角形对应角相等的性质，相似三角形的证明，添加条件∠ABC＝∠AED并求证△ABC∽△AED是解题的关键．
18．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为 9：16 ．
【分析】可证明△DEF∽△BAF，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：DC＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
∴S△DEF：S△BAF＝9：16．
故答案为：9：16．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
三.解答题
19．解方程：
（1）x2﹣2x＝2x+1
（2）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）
【分析】（1）利用配方法解方程；
（2）先移项得到2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）x2﹣4x＝1，
x2﹣4x+4＝5，
（x﹣2）2＝5，
x﹣2＝±，
所以x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0，
（x﹣3）（2﹣3x）＝0，
x﹣3＝0或2﹣3x＝0，
所以x1＝3，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解一元二次方程．
20．如图，在矩形ABCD中，M是BC上的一点，连接AM，DE⊥AM于点E．
（1）求证：△ADE∽△MAB；
（2）若，AD＝8，BM＝3，求EM的长．
【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，则∠DAE＝∠AMB＝90°﹣∠BAM，由DE⊥AM于点E，得∠AED＝∠B＝90°，即可证明△ADE∽△MAB；
（2）首先由矩形的性质得到AB＝CD，然后根据相似三角形的性质求出AM和AE得出，进而求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠DAE＝∠AMB＝90°﹣∠BAM，
∵DE⊥AM于点E，
∴∠AED＝∠B＝90°，
∴△ADE∽△MAB；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，
∴，
∵△ADE∽△MAB
∴，即，
解得AM＝6，AE＝4，
∴EM＝AM﹣AE＝2．
【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键．
21．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0，x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点，AE⊥x轴于点E，BC⊥x轴于点C．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出kx+b＞（x＞0）时的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
【分析】（1）把A（1，6）代入可求出m的值，即可得出反比例函数的解析式，根据A、B两点坐标，把B（3，n）代入可求出n值，利用待定系数法即可得出一次函数解析式；
（2）根据A、B坐标，利用图象找出一次函数图象在反比例函数图形上方时x的取值范围即可得答案；
（3）设直线AB交x轴于D，根据一次函数解析式可求出D点坐标，根据S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD即可得答案．
解：（1）将A（1，6）代入得m＝6，
∴反比例函数为，
把B（3，n）代入的，n＝，
∴B（3，2）
将A（1，6）和B（3，2）代入y＝kx+b得
解得，
∴一次函数的表达式是y＝﹣2x+8．
（2）∵A（1，6），B（3，2）
∴观察图象得：kx+b＞（x＞0）时的x的取值范围为1＜x＜3．
（3）设直线AB交x轴于D，
∴y＝0时，﹣2x+8＝0，
解得：x＝4，
∴点D（4，0），
∴S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD＝．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数综合、利用图象求不等式的解集，待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，分割法求三角形面积，熟练掌握反比例函数图形上点的坐标特征是解题关键．
22．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．
【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C．
在△ADF与△DEC中，
∴△ADF∽△DEC．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴DE＝＝＝12．
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴∠EAD＝90°，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解决本题的关键是证明△ADF∽△DEC．
23．2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
【分析】（1）设月平均增长率是x，利用3月份的销售量＝1月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件，利用每天销售该公仔获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出y的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低20元．
解：（1）设月平均增长率是x，
依题意得：5（1+x）2＝7.2，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是20%．
（2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为（100﹣y﹣60）元，每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（100﹣y﹣60）（20+2y）＝1200，
整理得：y2﹣30y+200＝0，
解得：y1＝10，y2＝20．
又∵要尽量减少库存，
∴y＝20．
答：售价应降低20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他站在距离树12m的地方，调整三角板DEF的位置，设法使斜边DF保持水平，并且直角边DE与树顶点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝30cm，EF＝20cm，测得斜边DF离地面的高度为1.5m，求树的高度．
【分析】先判定△DEF∽△DCB，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出BC的长，再加上AC即可得解．
解：∵∠D＝∠D，∠DEF＝∠BCD，DE＝30cm＝0.3m，EF＝20cm＝0.2m，
∴△DEF∽△DCB，
∴，即，
解得：BC＝8（m），
∵AC＝1.5m，
∴AB＝AC+BC＝1.5+8＝9.5（m），
即树的高度为9.5m．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，判定出△DEF∽△DCB是解题的关键．
25．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．
（1）求证：△BEF∽△CDF；
（2）求CF的长．
【分析】（1）利用“两角法”证得这两个三角形相似；
（2）由（1）中相似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度．
【解答】（1）证明：如图，在矩形ABCD中：∠DFC＝∠EFB，∠EBF＝∠FCD＝90°，
∴△BEF∽△CDF；
（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．
∴＝，即＝，
解得：CF＝169．
即：CF的长度是169cm．
【点评】本题考查了相似三角形的应用．此题利用了“相似三角形的对应边成比例”推知所求线段CF与已知线段间的数量关系的．
26．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3）若AD＝8，AB＝12．求EF的长．
【分析】（1）证明△DCA∽△CBA，由相似三角形的性质得出＝，即可得出结论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可知EC＝EA＝EB，推出∠DAC＝∠EAC＝∠ACE即可证明；
（3）由AD∥CE，可得＝＝，进而可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△DCA∽△CBA，
∴＝，
∴AC2＝AB•AD．
（2）证明：∵∠ACB＝90°，E为AB的中点，
∴CE＝AE＝EB，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠DAC＝∠EAC，
∴∠DAC＝∠ECA，
∴AD∥EC．
（3）解：∵AD＝8，AB＝12，
∴AC2＝AB•AD＝8×12＝96．
∴AC＝，
∴CD＝，
∵∠ACB＝90°，E为AB的中点，
∴CE＝AB＝6，
∵AD∥CE，
∴∠ADC+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝90°，
∴DE＝，
∵△ECF∽△DAF，
∴＝＝＝，
∴，
∴．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
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