2022-2023学年山东省滨州市阳信县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省滨州市阳信县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，四个图标分别是剑桥大学、北京大学、浙江大学和北京理工大学的校徽的重要组成部分，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.有两个事件，事件(1)：购买1张福利彩票，中奖；事件(2)：掷一枚六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上一面的点数不大于6.下列判断正确的是( )
A. (1)(2)都是随机事件B. (1)(2)都是必然事件
C. (1)是必然事件，(2)是随机事件D. (1)是随机事件，(2)是必然事件
3.已知α为锐角，且sin(90°−α)=12，则α的度数是( )
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
4.函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k−1=0的根的情况是( )
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定
5.如图，A1B1是线段AB在投影面P上的正投影，AB=20cm，∠ABB1=70°，则投影A1B1的长为( )
A. 20sin70°cm
B. 20cs70°cm
C. 20tan70°cm
D. 20sin70∘cm
6.如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O(0,0)，A(4,3)，B(3,0).以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，则点C的坐标为( )
A. (−1,−1)
B. (−43,−1)
C. (−1,−43)
D. (−2,−1)
7.由二次函数y=2(x−3)2+1，可知( )
A. 其图象的开口向下B. 其图象的对称轴为直线x=−3
C. 其最小值为1D. 当x<3时，y随x的增大而增大
8.如图，小明在8：30测得某树的影长为16m，13：00时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则这棵树的高度为( )
A. 10mB. 8mC. 6mD. 4m
9.如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，若∠D=55°，则∠BOC的度数是( )
A. 35°
B. 55°
C. 60°
D. 70°
10.冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物，已知该款吉祥物在某电商平台上2月4日的销售量为5000个，2月5日和2月6日的总销售量是22500个.若2月5日和6日较前一天的增长率均为x，则x满足的方程是( )
A. 5000(1+x)2=22500
B. 5000(1−x)2=22500
C. 5000+5000(1+x)+5000(1+x)2=22500
D. 5000(1+x)+5000(1+x)2=22500
11.函数y=kx和y=−kx+2(k≠0)在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
12.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：
①ac<0；
②3a+c=0；
③4ac−b2<0；
④当x>−1时，y随x的增大而减小．
其中正确的有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
13.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小明同学的健康码(绿码)示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为 cm2．
14.若点P(m,2)与点Q(3,n)关于原点对称，则(m−n)2022= ______ ．
15.如图，点A在反比例函数y1=18x(x>0)的图象上，过点A作AB⊥x轴，垂足为B，交反比例函数y2=6x(x>0)的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则△APC的面积为 ．
16.已知二次函数y=−x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程−x2+2x+m=0的解为_______________．
17.如图，在平面直角坐标系中，点光源位于P(2,2)处，木杆AB两端的坐标分别为(0,1)，(3,1).则木杆AB在x轴上的影长CD为______．
18.如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC=2 3，则图中阴影部分的面积是______．
三、解答题：本题共6小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
(1)计算：(2022−π)0+(−12)−3−| 8−2|+4sin45°；
(2)用公式法解方程：2x2−3x+1=0．
(3)对于实数a，b，定义运算“
”如下：ab=(a+b)2−(a−b)2.若(m+2)(m−3)=24，求m的值．
20.(本小题10分)
为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》(分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲).比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八(1)班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八(2)班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．
(1)八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是______；
(2)试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率．
21.(本小题10分)
如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C在点B的北偏西60°方向上.MN是否穿过原始森林保护区？为什么？(参考数据： 3≈1.732)
22.(本小题10分)
我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．某市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种空气净化器，其进价时200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低5元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．
(1)求出月销售量y(单位：台)与售价x(单位：元/台)之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)当售价x定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(单位：元)最大？最大利润是多少？
23.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE=CB，∠BCD=∠CAE，延长AE交BC的延长线于点F．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求证：CE=CF；
(3)若BD=1，CD= 2，求弦AC的长．
24.(本小题10分)
如图，函数y=−x2+bx+c的图象经过点A(m,0)，B(0,n)两点，m，n分别是方程x2−2x−3=0的两个实数根，且m(1)求m，n的值以及函数的解析式；
(2)设抛物线y=−x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD.求证：△BCD∽△OBA；
(3)对于(1)中所求的函数y=−x2+bx+c，当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解：A、看起来像轴对称图形但不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
2.【答案】D
【解析】解：事件(1)：购买1张福利彩票，中奖，这是随机事件；
事件(2)：掷一枚六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上一面的点数不大于6，这是必然事件；
故选：D．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵α为锐角，且sin(90°−α)=12，
∴90°−α=30°，
则α的度数是：60°．
故选：C．
直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
4.【答案】C
【解析】解：根据图象可得k<0，b<0，
所以b2>0，−4k>0，
因为Δ=b2−4(k−1)=b2−4k+4>0，
所以Δ>0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
先利用一次函数的性质得k<0，b<0，再计算判别式的值得到Δ=b2−4(k−1)，于是可判断Δ>0，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．
5.【答案】A
【解析】解：如图，过点A作AH⊥BB1于点H，则四边形AHB1A1是矩形，
∴AH=A1B1，
在Rt△ABH中，AH=AB⋅sin70°=20⋅sin70°(cm)，
∴A1B1=AH=20sin70°(cm)．
故选：A．
如图，过点A作AH⊥BB1于点H，则四边形AHB1A1是矩形，解直角三角形求出AH，可得结论．
本题考查平行投影，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6.【答案】B
【解析】解：∵以点O为位似中心，位似比为13，且A (4,3)，
∴A点的对应点C的坐标为(−13×4,−13×3)，即(−43,−1)．
故选B．
根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以−13即可．
本题考查位似图形及相关概念，以及位似中的坐标变化．
7.【答案】C
【解析】解：由二次函数y=2(x−3)2+1，可知：
A：a>0，其图象的开口向上，故此选项错误；
B.其图象的对称轴为直线x=3，故此选项错误；
C.其最小值为1，故此选项正确；
D.当x<3时，y随x的增大而减小，故此选项错误．
故选：C．
根据二次函数的性质，由a的值得出开口方向，再得出最值、对称轴和增减性，分别分析即可．
此题主要考查了二次函数的性质，同学们应根据题意熟练地应用二次函数性质．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意，作△EFC；
树高为CD，且∠ECF=90°，ED=16，FD=4；
在直角△EFC中，CD是斜边上的高，
∴Rt△EDC∽Rt△FDC，
∴EDDC=DCFD；
即DC2=ED⋅FD，
代入数据可得DC2=64，
∴DC=8．
故选：B．
根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得EDDC=DCFD，即DC2=ED⋅FD，代入数据可得答案．
本题考查相似三角形的应用，关键是通过投影的知识结合三角形的相似的知识正确进行计算．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
根据圆周角定理得到∠ACB=90°，∠B=∠D=55°，利用互余计算出∠BAC，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．
【解答】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠B=∠D=55°，
∴∠BAC=90°−55°=35°，
∴∠BOC=2∠BAC=2×35°=70°．
故选：D．
10.【答案】D
【解析】解：2月5日和6日较前一天的增长率均为x，x满足的方程是(1+x)+5000(1+x)2=22500
故选：D．
设2月5日和6日较前一天的增长率均为x，根据题意列出方程即可求解．
本题考查了一元二次方程的应用增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键．
11.【答案】D
【解析】解：在函数y=kx(k≠0)和y=−kx+2(k≠0)中，
当k>0时，函数y=kx(k≠0)的图象位于第一、三象限，函数y=−kx+2的图象位于第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，
当k<0时，函数y=kx(k≠0)的图象位于第二、四象限，函数y=−kx+2的图象位于第一、二、三象限，故选项C错误，
故选：D．
根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
12.【答案】B
【解析】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，
∴a>0，c<0，
∴ac<0，故结论①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴−b2a=1，
∴b=−2a，
∵抛物线经过点(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∴a+2a+c=0，即3a+c=0，故结论②正确；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，即4ac−b2<0，故结论③正确；
④∵抛物线开口向上，且抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，故结论④错误；
故选B．
本题主要考查二次函数的性质，以及二次函数图象与系数的关系．
13.【答案】2.4
【解析】【分析】
经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，可得点落入黑色部分的概率为0.6，根据边长为2cm的正方形的面积为4cm2，进而可以估计黑色部分的总面积．
本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握概率公式．
【解答】
解：∵经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右，
∴点落入黑色部分的概率为0.6，
∵边长为2cm的正方形的面积为4cm2，
设黑色部分的面积为Scm2，
则S4=0.6，
解得S=2.4．
估计黑色部分的总面积约为2.4cm2．
故答案为：2.4．
14.【答案】1
【解析】解：∵点P(m,2)与点Q(3,n)关于原点对称，
∴m=−3，n=−2，
则(m−n)2022
=(−3+2)2022
=(−1)2022
=1．
故答案为：1．
根据关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，求出m，n的值，再求代数式的值即可．
本题考查代数式求值．熟练掌握关于原点对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题的关键．
15.【答案】6
【解析】解：连接OA和OC，如图：
，
∵点P在y轴上，AB/​/y轴，
∴△AOC和△APC面积相等，即S△APC=S△AOC,
∵点A在反比例函数y1=18x(x>0)的图象上，点C在反比例函数y2=6x(x>0)的图象上，AB⊥x轴，
∴S△OAB=12×18=9， S△OBC=12×6=3，
∴S△APC=S△AOC=S△OAB−S△OBC=9−3=6，
∴△APC的面积为6，
故答案为6．
连接OA和OC，利用三角形面积可得△APC的面积等于△AOC的面积，再结合反比例函数中系数k的几何意义，利用S△AOC=S△OAB−S△OBC，可得结果．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键．
16.【答案】x1=4，x2=−2
【解析】【分析】
本题考查二次函数与一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x的一元二次方程−x2+2x+m=0的解．
【解答】
解：由图象可知，
该函数的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是(4,0)，
则该函数与x轴的另一个交点是(−2,0)，
当y=0时，即0=−x2+2x+m时，x1=4，x2=−2，
故关于x的一元二次方程−x2+2x+m=0的解为x1=4，x2=−2，
故答案为x1=4，x2=−2．
17.【答案】6
【解析】解：过P作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，
∵P(2,2)，A(0,1)，B(3,1)．
∴PM=1，PE=2，AB=3，
∵AB/​/CD，
∴ABCD=PMPE
∴3CD=12
∴CD=6，
故答案为：6．
利用中心投影，作PE⊥x轴于E，交AB于M，如图，证明△PAB∽△CPD，然后利用相似比可求出CD的长．
本题考查了中心投影：中心投影的光线特点是从一点出发的投射线．物体与投影面平行时的投影是放大(即位似变换)的关系．
18.【答案】4π3
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴S△BOC=S△AOC，∠AOC=120°，
在△OBC中，OB=OC，∠BOC=120°，BC=2 3，
∴OB=OC=2，
∴S阴影=S扇形AOC=120π×22360=4π3，
故答案为：4π3．
根据等边三角形的性质可得S△AOB=S△AOC，∠AOC=120°，将阴影部分的面积转化为扇形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．
本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=1−8−2 2+2+4× 22=1−8−2 2+2+2 2=−5；
(2)用公式法解方程：2x2−3x+1=0
解：a=2，b=−3，c=1，x=−(−3)± (−3)2−4×2×12×2=3±14，
所以x1=1，x2=12．
(3)根据题意得：[(m+2)+(m−3)]2−[(m+2)−(m−3)]2=24，(2m−1)2−49=0，(2m−1+7)(2m−1−7)=0，2m−1+7=0或2m−1−7=0，
所以m1=−3，m2=4．
m的值为−3或4．
【解析】(1)根据零指数幂，负整数指数幂，特殊的三角函数值进行计算即可求解；
(2)用公式法解一元二次方程，即可求解；
(3)根据新定义列出一元二次方程，解方程即可求解．
本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，掌握零指数幂，负整数指数幂，特殊的三角函数值以及解一元二次方程的步骤是解题的关键．
20.【答案】(1)13
(2)树状图如图所示：
共有9种可能，八(1)班和八(2)班抽中不同歌曲的概率=69=23．
【解析】解：(1)因为有A，B，C3种等可能结果，
所以八(1)班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是13；
故答案为13．
(2)见答案
【分析】
(1)直接根据概率公式计算可得；
(2)画树状图得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
21.【答案】解：不会，理由如下：
如图，过C作CH⊥AB于H，设CH=x，
由已知有∠EAC=45°，∠FBC=60°，
则∠CAH=45°，∠CBA=30°，
在Rt△ACH中，AH=CH=x，
在Rt△HBC中，tan∠HBC=CHHB，
∴HB=CHtan30∘=x 33= 3x，
∵AH+HB=AB，
∴x+ 3x=600，
解得x=6001+ 3≈220(米)>200(米)．
∴MN不会穿过森林保护区．
【解析】过点C作CH⊥AB，H是垂足．AH与BH都可以根据三角函数用CH表示出来．根据AB的长，得到一个关于CH的方程，解出CH的长．从而判断出这条公路会不会穿过原始森林保护区．
本题主要考查解直角三角形的应用，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
22.【答案】解：(1)根据题中条件销售价每降低5元，月销售量就可多售出50台，
则月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式：y=200+50⋅400−x5=−10x+4200；
供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台，
则x≥300−10x+4200≥450，
解得：300≤x≤375．
∴售价x的范围为：300≤x≤375，
∴y与x之间的函数关系式为：y=−10x+4200(300≤x≤375)；
(2)W=(x−200)(−10x+4200)，
=−10(x−310)2+121000．
∵x=310在300≤x≤375内，
∴当x=310时，最大值为121000，
即售价定为310元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w最大，最大利润是121000元．
【解析】(1)根据题中条件销售价每降低5元，月销售量就可多售出50台，即可列出函数关系式；根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售列不等式组可得x的取值范围；
(2)根据“总利润=每台利润×每月的销售量”列出函数解析式，配方成顶点式可得函数的最值．
本题主要考查二次函数的应用，根据题意得出实际销售量关于售价x的关系式，由利润的相等关系得出总利润的相等关系及二次函数的性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAD+∠ABC=90°，
∵CE=CB，
∴∠CAE=∠CAB，
∵∠BCD=∠CAE，
∴∠CAB=∠BCD，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O的切线；
(2)∵∠BAC=∠CAE，∠ACB=∠ACF=90°，AC=AC，
∴△ABC≌△AFC(ASA)，
∴CB=CF，
又∵CB=CE，
∴CE=CF；
(3)∵∠BCD=∠CAD，∠ADC=∠CDB，
∴△DCB∽△DAC，
∴CDBD=ADCD=ACBC，
∴ 21=AD 2=ACBC，
∴DA=2，
∴AB=AD−BD=2−1=1，
设BC=a，AC= 2a，由勾股定理可得：a2+( 2a)2=12，
解得：a= 33，
∴AC= 63．
【解析】本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
(1)连接OC，可证得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即结论得证；
(2)证明△ABC≌△AFC可得CB=CF，又CB=CE，则CE=CF；
(3)证明△CBD∽△ACD，可求出DA的长，得出AB长，设BC=a，AC= 2a，则由勾股定理可得AC的长．
24.【答案】(1)解：∵m，n分别是方程x2−2x−3=0的两个实数根，且m用因式分解法解方程：(x+1)(x−3)=0，
∴x1=−1，x2=3，
∴m=−1，n=3，
∴A(−1,0)，B(0,3)，
把A(−1,0)，B(0,3)代入得，
−1−b+c=0c=3，
解得：b=2c=3，
∴函数解析式为y=−x2+2x+3．
(2)证明：令y=−x2+2x+3=0，即x2−2x−3=0，
解得x1=−1，x2=3，
∴抛物线y=−x2+2x+3与x轴的交点为A(−1,0)，C(3,0)，
∴OA=1，OC=3，
∴对称轴为x=−1+32=1，D(1,4)，
∴BC= 32+32=3 2，BD= 12+12= 2，DC= 42+22=2 5，
∵CD2=DB2+CB2，
∴△BCD是直角三角形，且∠DBC=90°，
∴∠AOB=∠DBC，
在Rt△AOB和Rt△DBC中，
AOBD=1 2= 22，OBBC=33 2= 22，
∴AOBD=OBBC，
∴△BCD∽△OBA；
(3)解：抛物线y=−x2+2x+3的对称轴为x=1，顶点为D(1,4)，
在0≤x≤3范围内，
当x=1时，y最大值=4
当x=3时，y最小值=0．
【解析】(1)解一元二次方程，求得A(−1,0)，B(0,3)，进而待定系数法求解析式即可求解；
(2)根据二次函数的性质得出D(1,4)，勾股定理得出BC，BD，CD，勾股定理的逆定理得出△BCD是直角三角形，进而根据对应边成比例，且∠AOB=∠DBC，即可得证；
(3)根据函数图象直接求解即可．
本题考查了二次函数综合运用，勾股定理及其逆定理，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．