2022-2023学年山东省菏泽市单县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省菏泽市单县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数y=1 x+1+(x−2)0的自变量x的取值范围是( )
A. x≥−1B. x>2C. x>−1且x≠2D. x≠−1且x≠2
2.天虹商场一月份鞋帽专柜的营业额为100万元，三月份鞋帽专柜的营业额为150万元．设一到三月每月平均增长率为x，则下列方程正确的是( )
A. 100(1+2x)=150
B. 100(1+x)2=150
C. 100(1+x)+100(1+x)2=150
D. 100+100(1+x)+100(1+x)2=150
3.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x−2=0有不相等实数根，则k的取值范围是( )
A. k>12B. k≥12C. k>12且k≠1D. k≥12且k≠1
4.下列图形中阴影部分面积相等的是( )
A. ①②B. ②③C. ①④D. ③④
5.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0)的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，已知△ABC∽△DEF，AB：DE=1：2，则下列等式一定成立的是( )
A. BCDF=12B. ∠A的度数∠D的度数=12
C. △ABC的面积△DEF的面积=12D. △ABC的周长△DEF的周长=12
7.如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE=2，∠ABC=22.5°，则CF的长度为( )
A. 2
B. 2 2
C. 2 3
D. 4
8.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，AD//BC，BC=12AD，AC与BD交于点E，AC⊥BD，则tan∠BAC的值是( )
A. 14B. 24C. 22D. 13
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.已知关于x的方程x2−x−2=0的两个根为x1、x2，则x1+x2−x1x2= ______ ．
10.布袋中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外没有任何其他区别，小红从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是______．
11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2.以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 (结果保留π)．
12.如图，点B是双曲线y=kx(k≠0)上的一点，点A在x轴上，且AB=2，OB⊥AB，若∠BAO=60°，则k=______．
13.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为13.点A、B、E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为______．
14.定义：[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的特征数，下面给出特征数为[m,1−m,2−m]的二次函数的一些结论：①当m=1时，函数图象的对称轴是y轴；②当m=2时，函数图象过原点；③当m>0时，函数有最小值；④如果m<0，当x>12时，y随x的增大而减小.其中所有正确结论的序号是______ ．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
15.计算：3tan30°+cs245°−2sin60°．
16.已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
(1)求证：AC与⊙O相切；
(2)当BD=2，sinC=12时，求⊙O的半径．
四、解答题：本题共8小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2−12x+k=0的两根，求k的值．
18.(本小题6分)
如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，∠B=∠ACD=90°，AC平分∠BAD．
(1)证明：△ABC∽△ACD；
(2)若AB=4，AC=5，求CD的长．
19.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sinB=23，AD=4．
(1)求BC的长；
(2)求tan∠DAE的值．
20.(本小题7分)
如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是多少海里？(结果精确到个位，参考数据： 2≈1.4， 3≈1.7， 6≈2.4)
21.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1的图象与反比例函数y2的图象交于第二、四象限内的A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是(m,−4)，连接AO，AO=5，sin∠AOC=35．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接OB，求△AOB的面积；
(3)根据图象直接写出当y122.(本小题10分)
某网店销售一款市场上畅销的蒸蛋器，进价为每个40元，在销售过程中发现，这款蒸蛋器销售单价为60元时，每星期卖出100个.如果调整销售单价，每涨价1元，每星期少卖出2个，现网店决定提价销售，设销售单价为x元，每星期销售量为y个．
(1)请直接写出y(个)与x(元)之间的函数关系式；
(2)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润是2400元？
(3)当销售单价是多少元时，该网店每星期的销售利润最大？最大利润是多少元？
23.(本小题10分)
已知：如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，AB=8cm，BC=6cm.点P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为2cm/s，同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s.过点P作PM⊥AD于点M，连接PQ，设运动时间为t(s)(0(1)写出四边形PQAM的面积为S(cm2)与时间t(s)的函数关系式；
(2)是否存在某一时刻t，使S四边形PQAM：S矩形ABCD=9：50？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(3)当t为何值时，△APQ与△ABC相似．
24.(本小题10分)
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA=2，OC=6，连接AC和BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标；
(3)点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE.求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意可得：x+1>0x−2≠0，
解得：x>−1且x≠2，
故选：C．
根据二次根式成立的条件，分式成立的条件，零指数幂的概念列不等式组求解．
本题考查分式成立的条件，二次根式成立的条件及零指数幂的概念，掌握分式的分母不能为零，二次根式的被开方数为非负数，a0=1(a≠0)是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：设二、三两个月每月的平均增长率是x．
根据题意得：100(1+x)2=150，
故选：B．
可设每月营业额平均增长率为x，则二月份的营业额是100(1+x)，三月份的营业额是100(1+x)(1+x)，则可以得到方程即可．
本题考查数量平均变化率问题．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×(1±x)，再经过第二次调整就是a(1±x)(1±x)=a(1±x)2.增长用“+”，下降用“−”．
3.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的定义，及一元二次方程根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
根据判别式的意义得到△=22−4(k−1)×(−2)>0，然后解不等式即可．
【解答】
解：∵关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x−2=0有不相等实数根，
∴△=22−4(k−1)×(−2)>0，
解得k>12；
且k−1≠0，即k≠1，
∴k>12且k≠1．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：①中直线y=x+2与坐标轴的交点为(0,2)、(2,0)．
∴三角形的底边长和高都为2
则三角形的面积为12×2×2=2；
②中三角形的底边长为1，当x=1时，y=3
∴三角形的高为3
则面积为12×1×3=32；
③中三角形的高为1，底边长正好为抛物线与x轴两交点之间的距离
∴底边长=|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2=2
则面积为12×2×1=1；
④设A的坐标是(x,y)，
代入解析式得：xy=2，
则面积为12×2=1
∴阴影部分面积相等的是③④．
故选：D．
根据二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质，求出4个阴影部分的面积，然后进行比较即可得出结论．
本题综合考查二次函数、一次函数、反比例函数、正比例函数的性质，是一道难度中等的题目．
5.【答案】C
【解析】解：由二次函数y=ax2+bx+c的图象可知，a>0，b<0，c<0，
则一次函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限，
反比例函数y=cx的图象在二四象限，
故选：C．
根据二次函数y=ax2+bx+c的图象，可以判断a、b、c的正负情况，从而可以判断一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx的图象分别在哪几个象限，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象、二次函数的图象，解题的关键是明确它们各自图象的特点，利用数形结合的思想解答问题．
6.【答案】D
【解析】解：∵△ABC∽△DEF，
∴BCEF=12，A不一定成立；
∠A的度数∠D的度数=1，B不成立；
△ABC的面积△DEF的面积=14，C不成立；
△ABC的周长△DEF的周长=12，D成立，
故选：D．
根据相似三角形的性质判断即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等、相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，
∴AC=CD，AE=DE=2，
∴∠COD=2∠ABC=45°，
∴△OED是等腰直角三角形，
∴OE=ED=2，
∴OD= 22+22=2 2，
∵直线l切⊙O于点C，
∴BC⊥CF，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴CF=OC，
∵OC=OD=2 2，
∴CF=2 2，
故选：B．
根据垂径定理求得AC=CD，AE=DE=2，即可得到∠COD=2∠ABC=45°，则△OED是等腰直角三角形，得出OD= 22+22=2 2，根据切线的性质得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，进而即可求得CF=OC=OD=2 2．
本题考查了垂径定理，等弧所对的圆心角和圆周角的关系，切线的性质，勾股定理的应用，求得CF=OC=OD是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵AD//BC，∠DAB=90°，
∴∠ABC=180°−∠DAB=90°，∠BAC+∠EAD=90°，
∵AC⊥BD，
∴∠AED=90°，
∴∠ADB+∠EAD=90°，
∴∠BAC=∠ADB，∠ABC=∠DAB=900，
∴△ABC∽△DAB，
∴ABDA=BCAB，
∵BC=12AD，
∴AD=2BC，
∴AB2=BC×AD=BC×2BC=2BC2，
∴AB= 2BC，
在Rt△ABC中，tan∠BAC=BCAB=BC 2BC= 22；
故选：C．
证明△ABC∽△DAB，得出ABDA=BCAB，由AD=2BC，得出AB2=BC×AD=BC×2BC=2BC2，因此AB= 2BC，在Rt△ABC中，由三角函数定义即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质以及解直角三角形的应用等知识；熟练掌握解直角三角形，证明三角形相似是解题的关键．
9.【答案】3
【解析】解：∵x1、x2为关于x的方程x2−x−2=0的两个根，
∴x1+x2=−−11=1，x1x2=−21=−2，
∴x1+x2−x1x2=1−(−2)=3．
故答案为：3．
根据根与系数的关系找出x1+x2=1，x1x2=−2，将其代入x1+x2−x1x2中即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系找出x1+x2=1，x1x2=−2.本题属于基础题，难度不大，解决该类型题目时，只需能熟练的运用根与系数的关系即可．
10.【答案】47
【解析】解：∵布袋中装有4个红球和3个黑球，
∴从中任意摸出一个球，则摸出红球的概率是44+3=47，
故答案为47．
让红球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
11.【答案】23π− 3
【解析】【分析】
连接CE，由扇形CBE面积−三角形CBE面积求解．本题考查扇形的面积与解直角三角形，解题关键是判断出三角形CBE为等边三角形与扇形面积的计算．
【解答】解：连接CE，
∵∠A=30°，
∴∠B=90°−∠A=60°，
∵CE=CB，
∴△CBE为等边三角形，
∴∠ECB=60°，BE=BC=2，
∴S扇形CBE=22×60π360=23π
∵S△BCE= 34BC2= 3，
∴阴影部分的面积为23π− 3．
故答案为：23π− 3．
12.【答案】3 3
【解析】解：∵AB=2，0A⊥OB，∠ABO=60°，
∴OA=AB÷cs60°=4，
作BD⊥OA于点D，
∴AD=AB×cs60°=1，
BD=AB×sin60°= 3，
∴OD=OA−AD=3，
∴点B的坐标为(3, 3)，
∵B是双曲线y=kx上一点，
∴k=xy=3 3．
故答案为：3 3．
利用60°余弦值可求得OA的长，作BD⊥OA于点D，利用60°的余弦值可求得AD长，利用60°正弦值可求得BD长，OA−AD即为点A的横坐标，那么k等于点B的横纵坐标的积．
解决本题的关键是利用相应的特殊的三角函数值得到点B的坐标；反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积．
13.【答案】(3,2)
【解析】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为13．
∴BCEF=OBOE=13，
而BE=EF=6，
∴BC6=OBOB+6=13，
∴BC=2，OB=3，
∴C(3,2)．
故答案为(3,2)
先利用位似的性质得到BC6=OBOB+6=13，然后利用比例性质求出BC和OB即可得到C点坐标．
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
14.【答案】①②③
【解析】解：由特征数的定义可得：特征数为[m,1−m,2−m]的二次函数的表达式为y=mx2+(1−m)x+2−m．
∵此抛物线的的对称轴为直线x=−b2a=−1−m2m=m−12m，
∴当m=1时，对称轴为直线x=0，即y轴．故①正确；
∵当m=2时，此二次函数表达式为y=2x2−x，令x=0，则y=0，
∴函数图象过原点，故②正确；
∵当m>0时，二次函数图象开口向上，函数有最小值，故③正确；
∵m<0，
∴对称轴x=m−12m=12−12m，抛物线开口向下，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．
即x>12−12m时，y随x的增大而减小．
故④错误．
故答案为：①②③．
根据特征数的定义，写出二次函数的表达式为y=mx2+(1−m)x+2−m.①写出对称轴方程后把m=1代入即可判断；②把m=2代入即可判断；③根据开口方向即可判断；④根据对称轴，开口方向，增减性即可判断．
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是牢记二次函数的对称轴、增减性规律，这是进一步研究二次函数的性质的基础．
15.【答案】解：3tan30°+cs245°−2sin60°
=3× 33+( 22)2−2× 32
= 3+12− 3
=12．
【解析】根据特殊角的三角函数值，即可解答．
考查了特殊角的三角函数值，属于识记性题目，基础题．
16.【答案】(1)证明：如图，连接OE．
∵AB=BC且D是BC中点
∴BD⊥AC
∵BE平分∠ABD
∴∠ABE=∠DBE
∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB
∴∠OEB=∠DBE
∴OE/​/BD
∴OE⊥AC
∴AC与⊙O相切．
(2)解：∵BD=2，sinC=12，BD⊥AC
∴BC=4
∴AB=4
设⊙O的半径为r，则AO=4−r
∵AB=BC
∴∠C=∠A
∴sinA=sinC=12．
∵AC与⊙O相切于点E，
∴OE⊥AC
∴sinA=r4−r=12
∴r=43．
【解析】连接OE，通过证明OE/​/BD证明OE⊥AC，得出AC与⊙O相切；通过证明∠C=∠A，解直角三角形AOE求OE的长，即半径的长度．
考查了切线的判定、圆的性质以及解直角三角形的简单应用．
17.【答案】解：若边长3为等腰三角形的腰长，
则3是方程x2−12x+k=0的一个根，
把x=3代入得：9−36+k=0，
解得：k=27，
解方程x2−12x+27=0得：x=3或x=9，
由于长为3，3，9的线段不能构成等腰三角形，故应舍去，
若边长3为等腰三角形的底边，
则方程x2−12x+k=0有两个相等的实根，
则△=144−4k=0，
解得：k=36，
这时方程x2−12x+36=0有两个相等的解为6，且符合题意，
故k=36．
【解析】若边长3为等腰三角形的腰长，把x=3代入方程 x2−12x+k=0，得到关于k的一元一次方程，解之，求原方程的解，并判断是否符合题意，若边长3为等腰三角形的底边，根据判别式△=0，求k，解方程并判断是否符合题意，即可得到答案．
本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，根的判别式，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，正确掌握分类讨论思想，判别式公式，一元二次方程的解法，三角形的三边关系公式，等腰三角形的性质是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠CAD．
∵∠B=∠ACD=90°，
∴△ABC∽△ACD；
(2)解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，AC=5，
∴BC= AC2−AB2=3，
∵△ABC∽△ACD，
∴ABAC=BCCD．
∴45=3CD，
∴CD=154．
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC∽△ACD．
(1)根据AC平分∠BAD，可得∠BAC=∠DAC.进而结合∠B=∠ACD=90°可得结论；
(2)根据勾股定理首先求出BC=3，再根据△ABC∽△ACD，由相似三角形对应边成比例即可解决问题．
19.【答案】解：(1)∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，sinB=23=ADAB，
而AD=4，
∴AB=6，
∴BD= AB2−AD2=2 5，
在Rt△ADC中，∠C=45°，
∴CD=AD=4，
∴BC=BD+CD=2 5+4；
(2)∵AE是BC边上的中线，
∴CE=12BC= 5+2，
∴ED=CE−CD= 5−2，
在Rt△AED中，tan∠DAE=EDAD= 5−24．
【解析】(1)在Rt△ABD中，根据正弦的定义得到sinB=23=ADAB，可计算出AB=6，则根据勾股定理计算出BC=2 5，然后在Rt△ADC中，利用∠C=45°得到CD=4，于是BC=BD+CD=2 5+4；
(2)先根据三角形中线定义得到CE=12BC= 5+2，则ED=CE−CD= 5−2，然后根据正切的定义求解．
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．
20.【答案】解：如图：过点B作BF⊥AC，垂足为F，

由题意得：
∠CAB=180°−70°−50°=60°，∠EBA=∠BAD=50°，AB=1×20=20(海里)，
∵∠CBE=25°，
∴∠CBA=∠CBE+∠EBA=75°，
∴∠C=180°−∠CAB−∠CBA=45°，
在Rt△ABF中，BF=AB⋅sin60°=20× 32=10 3(海里)，
在Rt△CBF中，BC=BFsin45∘=10 3 22=10 6≈24(海里)，
∴灯塔C与码头B的距离约为24海里．
【解析】过点B作BF⊥AC，垂足为F，根据题意可得：∠CAB=60°，∠EBA=∠BAD=50°，AB=20海里，从而可得∠CBA=75°，然后利用三角形内角和定理可得∠C=45°，最后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，再在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
21.【答案】解：(1)过点A作AE⊥x轴于点E
设反比例函数的解析式为y2=kx
∵AE⊥x
∴∠AEO=90°
在Rt△AEO中，AO=5，sin∠AOC=35，
∴AE=3，OE=4，
∴A(−4,3)．
∵点A在反比例函数上
∴k=−12
∴y2=−12x；
(2)∵B(m,−4)在反比例函数y2=−12x的图象上，
∴−4=−12mm=3，
∴B(3,−4)，
设直线AB的解析式为y1=ax+b(a≠0)
将点A(−4,3)，B(3,−4)代入y1=ax+b，得3=−4a+b−4=3a+b
解得a=−1b=−1
∴一次函数解析式为y1=−x−1．
令y1=−x−1中y=0
解得：x=−1
∴C(−1,0)，
∴S△AOB=12×1×(yA−yB)=72；
(3)由函数图象知：当y13．
【解析】(1)过点A作AE⊥x轴于点E，设反比例函数解析式为y=kx.通过解直角三角形求出线段AE、OE的长度，即求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
(2)由点B在反比例函数图象上可求出点B的坐标，设直线AB的解析式为y=ax+b，由点A、B的坐标利用待定系数法求出直线AB的解析式，令该解析式中y=0即可求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可得出结论；
(3)根据函数图象可以直接得到答案．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：(1)求出点A的坐标；(2)求出直线AB的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
22.【答案】解：(1)由题意，得：y=100−2(x−60)=−2x+220(60≤x≤110)；
(2)由题意可得：(−2x+220)(x−40)=2400，
解得：x=70或x=80，
答：当销售价为70元或80元时，每星期的销售利润恰为2400元；
(3)设该网店每星期的销售利润为w元，由题意可得
w=(−2x+220)(x−40)=−2x2+300x−8800=−2(x−75)2+2450，
∵−2<0，
∴当x=75时，w有最大值，最大值为2450元，
答：每件定价为75元时利润最大，最大利润为2450元．
【解析】(1)依据每个星期的销售利润=每件的利润×销售的件数列方程求解即可；
(2)根据销售利润为2400元列出关于x的一元二次方程，从而可求得售价；
(3)利用配方法可求得抛物线的最大值以及此时自变量的取值．
本题主要考查的是二次函数的应用，根据题意列出y与x的函数关系式是解题的关键．
23.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴S矩形ABCD=AB⋅BC=8×6=48，
∵PM⊥AD，CD⊥AD，
∴PM//CD，
∴△APM∽△ACD，
∴AMAD=PMCD=APAC，即AM6=PM8=2t10，
解得AM=65t，PM=85t，
∴S△APM=12AM⋅PM=12×65t×85t=2425t2．
∴S△APQ=12AM⋅AQ=12×65t×(8−2t)=65t(4−t)，
∴S四边形PQAM=2425t2+65t(4−t)=−625t2+245t；
(2)存在t=2，使S四边形PQAM=950S矩形ABCD．
如图1，

∵S四边形PQAM=950S矩形ABCD，
∴2425t2+65t(4−t)=950×48，
整理，可得t2−20t+36=0，
解得t=2或t=18(舍去)，
∴存在t=2，使S四边形PQAM=950S矩形ABCD．
(3)当t=229或179时，△APQ与△ABC相似．
①当△APQ∽△ACB，
∴AQAB=APAC，即8−2t8=2t10，
解得t=229．
②如图3，当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，
∴PQBC=APAB，即PQAP=BCAB，

∵tan∠PAQ=BCAB=34，
∴PQAP=34，即PQ2t=34，
∴PQ=32t，
∵BQ=2t，
∴AQ=8−2t，
在Rt△APQ中，AP2+PQ2=AQ2，
∴(2t)2+(32t)2=(8−2t)2，
解得t=179或t=−16(舍去)．
综上，可得：当t=229或179时，△APQ与△ABC相似．
【解析】(1)首先求出矩形ABCD的面积，证明△APM∽△ACD，求出AM=65t，PM=85t，得出△APM和△APQ的面积，相加即可；
(2)根据S四边形PQAM：S矩形ABCD=9：50列出方程，解之即可；
(3)分△APQ∽△ACB，△APQ∽△ABC两种情况，分别求解．
本题考查相似形综合题、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
24.【答案】解：(1)∵OA=2，OC=6，
∴A(−2,0)，C(0,−6)，
将A(−2,0)，C(0,−6)代入y=x2+bx+c，
得4−2b+c=0c=−6，
解得，b=−1，c=−6，
∴抛物线的解析式为：y=x2−x−6；
(2)在y=x2−x−6中，
对称轴为直线x=12，
∵点A与点B关于对称轴x=12对称，
∴如图1，可设BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，
而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，
在y=x2−x−6中，
当y=0时，x1=−2，x2=3，
∴点B的坐标为(3,0)，
设直线BC的解析式为y=kx−6，
将点B(3,0)代入，
得，k=2，
∴直线BC的解析式为y=2x−6，
当x=12时，y=−5，
∴点D的坐标为(12,−5)；
(3)如图2，连接OE，
设点E(a,a2−a−6)，
S△BCE=S△OCE+S△OBE−S△OBC
=12×6a+12×3(−a2+a+6)−12×3×6
=−32a2+92a
=−32(a−32)2+278，
根据二次函数的图象及性质可知，当a=32时，△BCE的面积有最大值278，
此时点E坐标为(32,−214).
【解析】(1)先求出点A，C的坐标，再将其代入y=x2+bx+c即可；
(2)先确定BC交对称轴于点D，由两点之间线段最短可知，此时AD+CD有最小值，而AC的长度是定值，故此时△ACD的周长取最小值，求出直线BC的解析式，再求出其与对称轴的交点即可；
(3)如图2，连接OE，设点E(a,a2−a−6)，由式子S△BCE=S△OCE+S△OBE−S△OBC即可求出△BCE的面积S与a的函数关系式，由二次函数的图象及性质可求出△BCE的面积最大值，并可写出此时点E坐标．
本题考查了待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质，函数的思想求极值等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用二次函数的图象及性质．