2022-2023学年山东省滨州市阳信县七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省滨州市阳信县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省滨州市阳信县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数− 3，0.21，π2，227，39，0.20202中，无理数的个数为(    )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 如图，下列条件中，不能判断AD//BC的是(    )
A. ∠BAD+∠ABC=180°
B. ∠1=∠2
C. ∠ABC+∠BCD=180°
D. ∠3=∠4
3. 为了解我校八年级2100名学生对“创建全国文明校园”知识的了解情况，学校组织了相关知识测试，并从中随机抽取了100名学生的成绩进行统计分析，下列说法正确的是(    )
A. 2100名学生是总体 B. 我校八年级每名学生的测试成绩是个体
C. 样本容量是2100 D. 被抽取的100名学生是样本
4. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为(−1,3)、(−4,1)、(−2,1)，将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是(1,2)，则点A1，C1的坐标分别是  (    )
A. A1(4,4)，C1(3,2)
B. A1(3,3)，C1(2,1)
C. A1(4,3)，C1(2,3)
D. A1(3,4)，C1(2,2)
5. 下列不等式变形中，一定正确的是(    )
A. 若ac>bc，则a>b
B. 若a>b，则ac2>bc2
C. 若ac2>bc2，则a>b
D. 若a>0，b>0，且1a>1b，则a>b
6. 将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1的度数为(    )

A. 52° B. 62° C. 64° D. 42°
7. 已知点P(2x+6,x−4)在第四象限，则实数x的取值范围在数轴上表示正确的为(    )
A. B.
C. D.
8. 在平面直角坐标系中，若点A(−2x,x−6)到x轴、y轴的距离相等，则x的值是(    )
A. 2 B. −6 C. −2 D. 2或−6
9. 若n边形的内角和与外角和相加为1800°，则这个n边形从一个顶点出发能做条角线．(    )
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
10. 如图，已知AM//BN，∠A=64°，点P是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C、D，下列结论：①∠ACB=∠CBN；②∠CBD=58°；③当∠ACB=∠ABD时，∠ABC=29°；④当点P运动时，∠APB：∠ADB=2：1的数量关系不变.其中正确结论有个(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 81的平方根是______ ，立方根为本身的数有______ ．
12. 请写出方程5x+y=11的所有正整数解______ ．
13. 已知△ABC三边长分别为a，b，c，则|a+b−c|−|a−b−c|= ______ ．
14. 若不等式组x−2<3x−6x 15. 如图，AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，若△ABC的面积是16，则△ABE的面积是______ ．


16. 如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°.


17. A(a,0)，B(2,3)是平面直角坐标系中的两点，线段AB长度的最小值为______ ．
18. 定义[x]为不大于x的最大整数，如[2]=2，[ 3]=1，[4.1]=4，则满足[ n]=5，则n的最大整数为______．
三、解答题（本大题共6小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题10.0分)
(1)3−8+| 3−2|−(−1)2023+|− 3|；
(2)解不等式组2x−35≤2x+13(x+1)≤2(4−x)并将它的解集在数轴上表示出来．
20. (本小题10.0分)
2023年5月30日，神舟十六号载人飞船成功发射，与空间站组合体完成自主快速交会对接.这次历史性的事件标志着中国航天已迈入全球领先行列.某中学准备调查七年级900名学生对中国航天知识的了解程度．
(1)在确定调查方式时，校团委设计了以下四种方案：
方案①：调查七年级部分女生，方案②：调查七年级部分男生，方案③：调查学校航天兴趣小组全体成员，方案④：从七年级20个班中，随机调查一定数量的学生.请问最具代表性的一个方案是______ ；
(2)团委采用了最具代表性的调查方案，并利用收集到的数据绘制出两幅不完整的统计图(如图①、图②所示)，请你根据图中信息，将两个统计图补充完整；
(3)在扇形统计图中，“比较了解”所在扇形的圆心角的度数是______ ；
(4)根据信息，估计该校七年级约有多少名学生比较了解中国航天知识．


21. (本小题12.0分)
(1)观察发现：
材料：解方程组x+y=4①3(x+y)+y=14②
将①整体代入②，得3×4+y=14，
解得y=2，
把y=2代入①，得x=2，
所以x=2y=2
这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请直接写出方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②的解为______ ．
(2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组2x−3y−2=0①2x−3y+57+2y=9②；
(3)拓展运用：若关于x，y的二元一次方程组2x+y=−3m+2x+2y=7的解满足x+y>−56，请求满足条件的m的所有正整数值．
22. (本小题10.0分)
已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1=∠2，∠3=∠C，
(1)求证：AB//MN．
(2)若∠C=42°，∠MDN=24°，求∠ANM的度数．

23. (本小题10.0分)
习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气.”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
(1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
24. (本小题14.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(a,0)、B(0,b)、C(c,0)是坐标轴上的点，且|b−2c|与 c−2互为相反数．
(1)求B、C的坐标；
(2)点Q在坐标轴上，且S△BCQ=S△BOC，求Q的坐标；
(3)点A是x轴负半轴上的一动点(在运动过程中，AC始终大于BC.)，作射线AB，CP是△ABC的外角∠BCx的角平分线，CP交射线AB于点P.下列结论：①∠ABC−∠BAC∠P为定值；②∠ABC+∠BAC∠P为定值.请选择你认为正确的结论，并证明它，如果你认为都不正确，也请说明理由．


答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：− 3，π2，39均为无限不循环小数，它们是无理数；
0.21，227，0.20202均为分数，它们是有理数；
综上，无理数共3个，
故选：C．
整数和分数统称为有理数；无理数即无限不循环小数；据此进行判断即可．
本题主要考查无理数的识别，熟练掌握实数的相关概念是解题的关键．

2.【答案】C 
【解析】解：A、∵∠BAD+∠ABC=180°，∴AD//BC，不符合题意；
B、∵∠1=∠2，∴AD//BC，不符合题意；
C、∵∠ABC+∠BCD=180°，∴AB//CD，符合题意；
D、∠3=∠4，∴AD//BC，不符合题意．
故选：C．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
本题考查的是平行线的判定，熟知内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．

3.【答案】B 
【解析】解：A.2100名学生的测试成绩是总体，原说法错误，故本选项不符合题意；
B.我校八年级每名学生的测试成绩是个体，说法正确，故本选项符合题意；
C.样本容量是100，原说法错误，故本选项不符合题意；
D.被抽取的100名学生的测试成绩是样本，原说法错误，故本选项不符合题意．
故选：B．
分别根据总体，样本容量，样本，个体的定义逐一判断即可．
本题考查统计知识的总体，样本，个体等相关知识点，要明确其定义．易错易混点：学生易对总体和个体的意义理解不清而错选．

4.【答案】A 
【解析】解：由点B(−4,1)的对应点B1的坐标是(1,2)知，需将△ABC向右移5个单位、上移1个单位，
则点A(−1,3)的对应点A1的坐标为(4,4)、点C(−2,1)的对应点C1的坐标为(3,2)，
故选A．
根据点B(−4,1)的对应点B1的坐标是(1,2)知，需将△ABC向右移5个单位、上移1个单位，据此根据平移的定义和性质解答可得．
本题主要考查坐标与图形的变化−平移，解题的关键是根据对应点的坐标得出平移的方向和距离及平移的定义和性质．

5.【答案】C 
【解析】解：A.当c<0，不等号的方向改变．故此选项错误；
B.当c=0时，符号为等号，故此选项错误；
C.不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变，正确；
D.分母越大，分数值越小，故此选项错误．
故选：C．
根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案．
此题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：
(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

6.【答案】A 
【解析】解：∵∠GEF=∠FEC=64°，
∴∠BEG=180°−64°×2=52°，
∵AD//BC，
∴∠1=∠BEG=52°．
故选：A．
根据翻折变换的性质求出∠GEF的度数，从而求出∠GEB的度数，再根据平行线的性质求出∠1的度数．
本题考查的是图形翻折变换的性质及平行线的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：∵点P(2x+6,x−4)在第四象限，
∴2x+6>0x−4<0，
解得−3 解集在数轴上的表示为：

故选：C．
根据第四象限内点的坐标特点列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，并在数轴上表示出来即可．
本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来的方法：“>”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“<”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．

8.【答案】D 
【解析】解：∵点A(−2x,x−6)到两坐标轴的距离相等，
∴|−2x|=|x−6|，
即−2x=x−6或−2x=6−x，
解得x=2或x=−6．
故选：D．
根据点A(−2x,x−6)到两条坐标轴的距离相等，列出方程求解即可．
本题考查了坐标与图形的性质，根据点到两坐标轴的距离相等列出方程是解题的关键．

9.【答案】A 
【解析】解：依题意得：(n−2)×180°+360°=1800°，
解得：n=10，
∴这个多边形为十边形，
∴从十边形的一个顶点出发能做(10−3)=7条对角线．
故选：A．
首先根据n边形的内角和与外角和相加为1800°得(n−2)×180°+360°=1800°，由此解出n=10，然后再根据从n边形的一个顶点出发可以做(n−3)条对角线即可得出答案．
此题主要考查了n边形的内角和、外角和、对角线等，理解n边形的内角和为(n−2)×180°；外角和为360°，从一个顶点出发可以做(n−3)条对角线是解答此题的关键．

10.【答案】D 
【解析】解：∵AM//BN，
∴∠ACB=∠CBN，故①正确；
∵AM//BN，∠A=64°，
∴∠ABN=180°−∠A=116°，
∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，
∴∠CBP=∠ABC=12∠ABP，∠DBP=∠DBN=12∠PBN，
∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=12∠ABN=58°，故②正确；
∵AM//BN，
∴∠ACB=∠CBN，
又∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC=∠DBN，
又∠CBP=∠ABC，∠DBP=∠DBN，
∴∠DBP=∠DBN=∠CBP=∠ABC=14∠ABN=29°，故③正确；
∵AM//BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
又∠DBN=12∠PBN，
∴∠APB=2∠ADB，
∴∠APB：∠ADB=2：1，故④正确．
故选：D．
直接利用平行线的性质判断①；先求出∠ABN的度数，然后利用角平分线的定义可得∠CBD=∠CBP+∠DBP=12∠ABN，即可判断②；利用平行线的性质和∠ACB=∠ABD可证∠ABC=∠DBN，然后结合角平分线定义可得∠DBP=∠DBN=∠CBP=∠ABC=14∠ABN=29°，即可判断③；利用平行线的性质可得∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，结合∠DBN=12∠PBN可得∠APB=2∠ADB，即可判断④．
本题考查了平行线的性质，角平分的定义等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键．

11.【答案】±3  ±1，0 
【解析】解：∵92=81，
∴ 81=9，
∵(±3)2=9，
∴9的平方根是±3，
即 81的平方根是±3；
∵13=1，(−1)3=−1，03=0，
∴1的立方根是1，−1的立方根是−1，0的立方根是0，
即立方根为本身的数有±1，0，
故答案为：±3；±1，0．
运用平方根和立方根知识进行求解．
此题考查了平方根和立方根知识的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．

12.【答案】x=1y=6，x=2y=1 
【解析】解：5x+y=11，
y=11−5x，
当x=1时，y=11−5=6，
当x=2时，y=11−10=1，
当x=3时，y=11−15=−4(y不是正整数)，
所以方程5x+y=11的所有正整数解是x=1y=6，x=2y=1．
故答案为：x=1y=6，x=2y=1．
先根据5x+y=11求出y=11−5x，再求出方程的正整数解即可．
本题考查了解二元一次方程，能根据x、y是正整数求出y=11−5x的正整数解是解此题的关键．

13.【答案】2a−2c 
【解析】解：∵三角形三边的长是a、b、c，
∴a+b−c>0，a−b−c<0，
∴|a+b−c|−|a−b−c|
=a+b−c+(a−b−c)
=a+b−c+a−b−c
=2a−2c．
故答案为：2a−2c．
根据三角形的三边关系去绝对值，再合并同类项化简即可．
此题考查的是三角形的三边关系及绝对值的性质，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．

14.【答案】m≤2 
【解析】解：由x−2<3x−6，得：x>2，
由x ∴m≤2，
故答案为：m≤2．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

15.【答案】4 
【解析】解：∵AD是△ABC的边BC上的中线，BE是△ABD的边AD上的中线，
∴△ABD的面积等于△ADC的面积，△ABE的面积等于△BDE的面积，
∵△ABC的面积是16，
∴△ABD的面积和△ADC的面积都是8，
∴△ABE的面积和△BDE的面积都是4，
故答案为：4．
根据题意和△ABC的面积是16，可以得到△ABE的面积，本题得以解决．
本题考查三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

16.【答案】30 
【解析】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠PBC=∠ABP=20°，∠PCM=∠ACP=50°，
∴∠P=∠PCM−∠PBC=30°．
故答案为：30°．
根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出∠P的度数．
本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

17.【答案】3 
【解析】解：∵A(a,0)，B(2,3)，
∴当a=2时，线段AB长度的值最小，
即线段AB长度的最小值为3，
故答案为：3．
点A在x轴上的动点，点B到x轴的最短距离即为AB长度的最小值，最短距离即为B的纵坐标，此时点A为从B向x轴作垂线的垂足．
本题考查了坐标系中求两点间的距离，熟练掌握上述知识是解题关键．

18.【答案】25 
【解析】解：由题意得：
∵4< n≤5，
∴16 ∴n的最大整数为25．
故答案为：25．
由题意得：4< n≤5，然后利用平方运算，进行计算即可解答．
本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法，用有理数夹逼无理数是关键．

19.【答案】解：(1)原式=−2+2− 3−(−1)+ 3
=−2+2− 3+1+ 3
=1；
(2)由2x−35≤2x+1得：x≥−1，
由3(x+1)≤2(4−x)得：x≤1，
则不等式组的解集为−1≤x≤1，
将解集表示在数轴上如下：
 
【解析】(1)先计算立方根和乘方、去绝对值符号，再计算加减即可；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

20.【答案】方案④  108° 
【解析】解：(1)根据抽样调查的意义和方法，可得方案④具有代表性，
故答案为：方案④；
(2)6÷10%=60，
60−6−18=36(人)，
比较了解占的百分比1860×100%=30%，
了解一点占的百分比1−30%−10%=60%，
补全统计图和扇形图如图所示：


(3)“比较了解”所在的扇形圆心角的度数为：360o×30%=108°，
故答案为：108°；
(4)900×30%=270(人)，
∴该校七年级约有270名学生比较了解中国航天知识．
(1)根据抽样调查的意义和方法，即可得出答案；
(2)用了解程度为“不了解”的人数除以它所占的百分比得到样本容量，用样本容量分别减去其他各组的人数得到了解程度为“了解一点”的人数，即可将条形统计图补充完整；
(3)用了解程度为“比较了解”占的百分比乘以360o得到了解程度为“比较了解”对应的扇形圆心角的度数；
(4)用900乘以“比较了解”所占的百分比得到“比较了解”的人数．
本题考查了抽样调查的意义和方法，条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，明确题意，利用数形结合的思想解答是解决本题的关键．

21.【答案】x=0y=−1 
【解析】解：(1)由①得：x−y=1③，
将③代入②得：4×1−y=5，
解得：y=−1，
将y=−1代入①得：x−(−1)−1=0，
解得：x=0，
∴方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②的解为x=0y=−1．
故答案为：x=0y=−1；
(2)由①得：2x−3y+5=7③，
将③代入②得：77+2y=9，
解得：y=4，
将y=4代入①得：2x−3×4−2=0，
解得：x=7，
∴方程组2x−3y−2=0①2x−3y+57+2y=9②的解为x=7y=4；
(3)2x+y=−3m+2①x+2y=7②，
(①+②)÷3得：x+y=−m+3，
∵x+y>−56，
∴−m+3>−56，
解得：m<236，
又∵m为正整数，
∴m的值为1或2或3．
(1)由①可得出x−y=1，将其代入②可求出y值，将y值代入①可求出x值，进而可得出原方程组的解；
(2)由①可得出2x−3y+5=7，将其代入②可求出y值，将y值代入①可求出x值，进而可得出原方程组的解；
(3)利用(①+②)÷3，可得出x+y=−m+3，结合x+y>−56，可得出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其内所有正整数值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟读给出的材料，掌握“整体代入法”解方程组的方法及步骤是解题的关键．

22.【答案】(1)证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴EF//MD，
∴∠2=∠MDC，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠MDC，
∴MN//CD，
∴∠AMN=∠C，
又∵∠3=∠C，
∴∠AMN=∠3，
∴AB//MN．
(2)解：∵EF⊥AC，∠C=42°，
∴∠2=90°−∠C=90°−42°=48°，
∵EF//MD，
∴∠MDC=∠2=48°，
∵∠MDN=24°，
∴∠ADC=∠MDN+MDC=24°+48°=72°，
∵MN//CD，
∴∠ANM=∠ADC=72°． 
【解析】(1)根据垂直于同一直线的两直线平行得出EF//MD，根据平行线的性质得出∠2=∠MDC，等量代换得出∠1=∠MDC，则MN//CD，进而得出∠AMN=∠C，等量代换得出∠AMN=∠3，即可得证；
(2)根据三角形内角和定理得出∠2=48°，根据平行线的性质得出∠MDC=∠2=48°，结合已知条件得出∠ADC=72°，根据平行线的性质即可求解．
本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．

23.【答案】解：(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：2x+y=1003x+2y=165，
解得：x=35y=30．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，
根据题意得：35m+30(100−m)≤3200，
解得：m≤40，
∴m的最大值为40．
答：该校最多可以购买甲种书40本． 
【解析】(1)设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设该校购买甲种书m本，则购买乙种书(100−m)本，利用总价=单价×数量，结合总价不超过3200元，可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

24.【答案】解：(1)|b−2c|与 c−2互为相反数，
∴|b−2c|+ c−2=0，
又∵|b−2c|≥0， c−2≥0，
∴|b−2c|=0， c−2=0，
解得c=2，b=4，
∴B(0,4)、C(2,0)；
(2)∵B(0,4)、C(2,0)，
∴OB=4，OC=2，
当点Q位于x轴上时，设Q点坐标为(x,0)，
由S△BCQ=S△BOC可得12×4|2−x|=12×2×4，
解得x=0或x=4，
∴Q点坐标为(0,0)或(4,0)，
当点Q位于y轴上时，设Q点坐标为(0,y)，
由S△BCQ=S△BOC可得12×2|y−4|=12×2×4，
解得y=0或y=8，
∴Q点坐标为(0,0)或(0,8)，
综上，Q点坐标为(0,0)或(4,0)或(0,8)；
(3)结论①正确，∠ABC−∠BAC∠P为定值2，理由如下：

由题意可得∠ABC=∠P+∠BCP，∠BAC=∠PCD−∠P
又∵CP是△ABC的外角∠BCD的角平分线，
∴∠PCD=∠BCP，
∴∠ABC−∠BAC∠P=(∠P+∠BCP)−(∠PCD−∠P)∠P=∠P+∠BCP−∠PCD+∠P∠P=2． 
【解析】(1)结合算术平方根和绝对值的非负性确定b，c的值，从而求得点的坐标；
(2)分点Q在x轴和y轴两种情况，根据三角形的面积公式列方程求解；
(3)根据三角形外角的性质结合角平分线的概念分析求解．
本题考查坐标与图形，三角形外角的性质及角平分线的概念，掌握平面直角坐标系内点的坐标特征，运用方程思想求解是关键．