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2023-2024学年四川省达州外国语学校高一上学期11月月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年四川省达州外国语学校高一上学期11月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，作图题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由交集运算可得.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：C.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.
【详解】命题“，”的否定是:，,
故选：B
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】首先解不等式，再根据集合的包含关系判断充分必要条件.
【详解】
解得：或
“”“或”，但反过来不成立，
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题考查命题以集合形式时，判断充分不必要条件，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.
4．函数的定义域是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数对定义域的要求,可得关于的不等式,解不等式即可.
【详解】函数
根据对数对定义域要求可知,
解不等式可得,即
故选:D
【点睛】本题考查了对数函数定义域的求法,指数不等式的解法,属于基础题.
5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，，
因此.
故选：A.
6．已知的大致图象如图所示，则函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的大致图象，得到，再结合指数函数的图象和图象的变换，即可求解.
【详解】根据函数的大致图象，可得，
所以函数的图象，可由函数的图象向下平移（其中）个单位长度得到，
结合指数函数的图象，可得函数的图象大致为选项A中的图象.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，指数函数的图象，以及函数的图象的变换的综合应用，着重考查数形结合思想的应用，属于基础题.
7．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍.（当较小时，）
A．1.27B．1.26C．1.23D．1.22
【答案】B
【分析】把已知数据代入公式计算．
【详解】由题意，,
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．
8．定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据函数的单调性和奇偶性的综合运用求出和的解，再分解为或，两种情况分别求解即可.
【详解】因为定义在上的偶函数在区间上单调递减，
所以在上单调增，
又，
所以可化为
可得，解得：或，
同理可得的解：，
由可得或，
解得：或，
则不等式的解集为，
故选：A.
二、多选题
9．下列函数在定义域上是奇函数且在区间单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据奇偶性的定义和单调性可得答案.
【详解】对A，，，定义域关于原点对称，
，是奇函数，且其为反比例函数，在单调递减，A正确；
对B，，定义域为，，不是奇函数，B错误；
对C，，定义域为，，是奇函数，且在单调递减，C正确；
对D,，由，知，，不满足在区间单调递减，故D错误.
故选：AC
10．已知实数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.
【详解】选项A：因为，所以，故A 正确；
选项B：因为，，
所以，故B正确；
选项C：因为，
所以，所以，故C正确；
选项D： ，取，
故D错误；
故选：ABC.
11．已知都是正实数，且.则下列不等式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于已知条件的等式，求解相关解析式最值的题型，有的可以直接利用基本不等式求解，如A项；有的需要常值代换，构造积为定值求解，如B项；有的需要将条件等式两边平方再用基本不等式求解，如C项；有的需将所求解析式取平方后求解，如D项.
【详解】对于A选项，因都是正实数，且，由基本不等式可得，当且仅当时等式成立，故A项正确；
对于B选项，因，则，即当且仅当时等式成立，故B项错误；
对于C选项，因当且仅当时等式成立，故C项正确；
对于D选项，由因，故有，当且仅当时等式成立，
故D项正确.
故选：ACD.
12．定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增B．
C．在上单调递减D．若正数满足，则
【答案】ABD
【分析】根据函数的单调性判断、的单调性判断AC，根据单调性比较大小判断B，根据单调性解不等式判断D.
【详解】对于任意，，
所以，所以在上单调递增，故选项A正确；
因为的定义域为，所以，
所以为奇函数，所以，由在上单调递增，
所以，故选项B正确；
对于任意，
，
因为，，所以，所以，
所以在上单调递增，故选项C错误；
，即，
又，所以，
因为在上单调递增，所以，
解得，即，故选项D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．函数的图像过定点 .
【答案】
【分析】由对数函数的性质直接得答案.
【详解】令得，，
所以函数过定点，
故答案为：.
14．已知，则 .
【答案】
【分析】换元令再代入求解即可.
【详解】令，则，故.
故答案为：
15．已知是上的减函数，那么的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题设可得不等式组，解之得，应填答案．
点睛：解答本题的关键是借助题设条件，建立不等式（组），容易出错的是忽视第三个不等式的建立，因为函数的单调递减很容易想到不等式组中第一与第二个，但第三个不等式更为必要，尤其是其中的等号也会考虑不到而致错．
16．正数a，b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】将不等式变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出，从而得到，从而得到不等式，求出实数m的取值范围.
【详解】，变形为，
其中，则，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
其中，
故，
所以，解得：.
故答案为：.
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）根据指数运算公式直接化简即可；
（2）利用对数运算公式和换底公式化简可得.
【详解】（1）.
（2）
.
18．已知函数
（1）求的值；
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】(1)根据给定函数，先求，再求即可；
(2)根据给定条件按和分段讨论计算作答.
【详解】(1)依题意，，，
所以的值是2；
(2)因，依题意有，解得，或者，无解，于是得，
所以.
19．已知集合，，
(Ⅰ)求，；
(Ⅱ)若，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)
【详解】试题分析：(Ⅰ)两集合的交集为两集合相同的元素构成的集合，并集为所有元素构成的集合，A的补集为全集中除去A中的元素，剩余的元素构成的集合；(Ⅱ)由得到，对集合C是否为空集分两种情况讨论可分别求解m的取值范围
试题解析：(Ⅰ)
……………………6分
(Ⅱ)∵ ∴
①当时，∴ 即
②当时，∴ ∴ ZXXK]
综上所述：的取值范围是 即 ………………12分
【解析】集合运算及子集关系
五、作图题
20．已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）作出函数的草图（不用列表），并指出它的单调递减区间；
（3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）图象见解析，；（3）.
【分析】（1）先分析时，，即可求解出的解析式，然后由奇函数的性质运算即可得解；
（2）作出图象，数形结合即可得函数的单调递减区间；
（3）根据函数的单调性，数形结合即可得关于的不等式，由此可求解出的取值范围.
【详解】（1）∵是定义在R上的奇函数，∴，
又当时，，
当时，
∵满足，；
（2）作出函数的图象如图所示：
由图象可知，函数的单调递减区间为；
（3）在区间上单调递增
由函数的图象可得，解得
的取值范围为.
【点睛】方法点睛：利用函数奇偶性求解函数解析式的方法（已知奇偶性以及的解析式）：
（1）先设，则，根据的解析式求解出；
（2）根据函数的奇偶性，得到与的关系，由此求解出时的解析式；
（3）结合（1）（2）可求解出的解析式.
六、解答题
21．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+x+1．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）当x≥1时，关于x的不等式f（2x）＜4x+2a恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）f（x）的最小值为1（2）（0，+∞）
【分析】（1）根据绝对值的意义，将绝对值符号去掉，分段研究函数的单调性，从而求得函数的最小值；
（2）当x≥1时，2x≥2，所以f（2x）＜4x+2a即为3•2x﹣2＜4x+2a，即2a＞3•2x﹣2﹣4x，利用换元，令t＝2x，t≥2，式子可转化为2a＞﹣t2+3t﹣2，利用最值求得结果.
【详解】（1）当x时，f（x）＝3x﹣2，f（x）递增，可得f（x）≥1；
当x时，f（x）＝4﹣x，f（x）递减，可得f（x），
则f（x）的最小值为1；
（2）当x≥1时，关于x的不等式f（2x）＜4x+2a恒成立，
可得2x≥2，f（2x）＜4x+2a即为3•2x﹣2＜4x+2a，
即2a＞3•2x﹣2﹣4x，令t＝2x，t≥2，可得2a＞﹣t2+3t﹣2，
设g（t）＝﹣t2+3t﹣2，t≥2，可得g（t）在[2，+∞）递减，g（t）的最大值为g（2）＝﹣4+6﹣2＝0，
可得2a＞0，即a＞0，
则a的取值范围是（0，+∞）．
【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有含有绝对值的式子，去掉绝对值符号研究函数的单调性求得其最值，恒成立问题向最值靠拢，属于简单题目.
22．已知函数是偶函数．
(1)求实数的值；
(2)设， 若函数与的图象有且仅有一个公共点， 求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由偶函数得对恒成立，结合对数运算性质化简可求解；
（2）化简，则，令，则命题等价于有且只有一个正根，结合判别式与韦达定理求解即可
【详解】（1）∵为偶函数，∴对任意，有，
∴对恒成立．
∴对恒成立，
∴对恒成立，∴．
（2）由（1）知，，
∴由题意知有且只有一个实数根．
令，则关于t的方程（*）有且只有一个正根．
若，则，不合题意，舍去；
若，则方程（*）的两根异号或方程有两相等正根．
方程（*）有两相等正根等价于，解得．
方程（*）的两根异号等价于，解得．
综上所述，实数a的取值范围是．
一、单选题
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由交集运算可得.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：C.
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据特称命题的否定为全称命题即可求解.
【详解】命题“，”的否定是:，,
故选：B
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】首先解不等式，再根据集合的包含关系判断充分必要条件.
【详解】
解得：或
“”“或”，但反过来不成立，
“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题考查命题以集合形式时，判断充分不必要条件，意在考查基本的判断方法，属于基础题型.
4．函数的定义域是（ ）
A． B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数对定义域的要求,可得关于的不等式,解不等式即可.
【详解】函数
根据对数对定义域要求可知,
解不等式可得,即
故选:D
【点睛】本题考查了对数函数定义域的求法,指数不等式的解法,属于基础题.
5．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与、的大小关系，由此可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，，
因此.
故选：A.
6．已知的大致图象如图所示，则函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的大致图象，得到，再结合指数函数的图象和图象的变换，即可求解.
【详解】根据函数的大致图象，可得，
所以函数的图象，可由函数的图象向下平移（其中）个单位长度得到，
结合指数函数的图象，可得函数的图象大致为选项A中的图象.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，指数函数的图象，以及函数的图象的变换的综合应用，着重考查数形结合思想的应用，属于基础题.
7．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的（ ）倍.（当较小时，）
A．1.27B．1.26C．1.23D．1.22
【答案】B
【分析】把已知数据代入公式计算．
【详解】由题意，,
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查数学新文化，考查阅读理解能力．解题关键是在新环境中抽象出数学知识，用数学的思想解决问题．
8．定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据函数的单调性和奇偶性的综合运用求出和的解，再分解为或，两种情况分别求解即可.
【详解】因为定义在上的偶函数在区间上单调递减，
所以在上单调增，
又，
所以可化为
可得，解得：或，
同理可得的解：，
由可得或，
解得：或，
则不等式的解集为，
故选：A.
二、多选题
9．下列函数在定义域上是奇函数且在区间单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据奇偶性的定义和单调性可得答案.
【详解】对A，，，定义域关于原点对称，
，是奇函数，且其为反比例函数，在单调递减，A正确；
对B，，定义域为，，不是奇函数，B错误；
对C，，定义域为，，是奇函数，且在单调递减，C正确；
对D,，由，知，，不满足在区间单调递减，故D错误.
故选：AC
10．已知实数，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】利用不等式性质及特殊值逐项分析即可.
【详解】选项A：因为，所以，故A 正确；
选项B：因为，，
所以，故B正确；
选项C：因为，
所以，所以，故C正确；
选项D： ，取，
故D错误；
故选：ABC.
11．已知都是正实数，且.则下列不等式成立的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于已知条件的等式，求解相关解析式最值的题型，有的可以直接利用基本不等式求解，如A项；有的需要常值代换，构造积为定值求解，如B项；有的需要将条件等式两边平方再用基本不等式求解，如C项；有的需将所求解析式取平方后求解，如D项.
【详解】对于A选项，因都是正实数，且，由基本不等式可得，当且仅当时等式成立，故A项正确；
对于B选项，因，则，即当且仅当时等式成立，故B项错误；
对于C选项，因当且仅当时等式成立，故C项正确；
对于D选项，由因，故有，当且仅当时等式成立，
故D项正确.
故选：ACD.
12．定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上单调递增B．
C．在上单调递减D．若正数满足，则
【答案】ABD
【分析】根据函数的单调性判断、的单调性判断AC，根据单调性比较大小判断B，根据单调性解不等式判断D.
【详解】对于任意，，
所以，所以在上单调递增，故选项A正确；
因为的定义域为，所以，
所以为奇函数，所以，由在上单调递增，
所以，故选项B正确；
对于任意，
，
因为，，所以，所以，
所以在上单调递增，故选项C错误；
，即，
又，所以，
因为在上单调递增，所以，
解得，即，故选项D正确.
故选：ABD
三、填空题
13．函数的图像过定点 .
【答案】
【分析】由对数函数的性质直接得答案.
【详解】令得，，
所以函数过定点，
故答案为：.
14．已知，则 .
【答案】
【分析】换元令再代入求解即可.
【详解】令，则，故.
故答案为：
15．已知是上的减函数，那么的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题设可得不等式组，解之得，应填答案．
点睛：解答本题的关键是借助题设条件，建立不等式（组），容易出错的是忽视第三个不等式的建立，因为函数的单调递减很容易想到不等式组中第一与第二个，但第三个不等式更为必要，尤其是其中的等号也会考虑不到而致错．
16．正数a，b满足，若不等式对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】将不等式变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出，从而得到，从而得到不等式，求出实数m的取值范围.
【详解】，变形为，
其中，则，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
其中，
故，
所以，解得：.
故答案为：.
四、解答题
17．计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）根据指数运算公式直接化简即可；
（2）利用对数运算公式和换底公式化简可得.
【详解】（1）.
（2）
.
18．已知函数
（1）求的值；
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】(1)根据给定函数，先求，再求即可；
(2)根据给定条件按和分段讨论计算作答.
【详解】(1)依题意，，，
所以的值是2；
(2)因，依题意有，解得，或者，无解，于是得，
所以.
19．已知集合，，
(Ⅰ)求，；
(Ⅱ)若，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)，(Ⅱ)
【详解】试题分析：(Ⅰ)两集合的交集为两集合相同的元素构成的集合，并集为所有元素构成的集合，A的补集为全集中除去A中的元素，剩余的元素构成的集合；(Ⅱ)由得到，对集合C是否为空集分两种情况讨论可分别求解m的取值范围
试题解析：(Ⅰ)
……………………6分
(Ⅱ)∵ ∴
①当时，∴ 即
②当时，∴ ∴ ZXXK]
综上所述：的取值范围是 即 ………………12分
【解析】集合运算及子集关系
五、作图题
20．已知是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）作出函数的草图（不用列表），并指出它的单调递减区间；
（3）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）图象见解析，；（3）.
【分析】（1）先分析时，，即可求解出的解析式，然后由奇函数的性质运算即可得解；
（2）作出图象，数形结合即可得函数的单调递减区间；
（3）根据函数的单调性，数形结合即可得关于的不等式，由此可求解出的取值范围.
【详解】（1）∵是定义在R上的奇函数，∴，
又当时，，
当时，
∵满足，；
（2）作出函数的图象如图所示：
由图象可知，函数的单调递减区间为；
（3）在区间上单调递增
由函数的图象可得，解得
的取值范围为.
【点睛】方法点睛：利用函数奇偶性求解函数解析式的方法（已知奇偶性以及的解析式）：
（1）先设，则，根据的解析式求解出；
（2）根据函数的奇偶性，得到与的关系，由此求解出时的解析式；
（3）结合（1）（2）可求解出的解析式.
六、解答题
21．已知函数f（x）＝|2x﹣3|+x+1．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）当x≥1时，关于x的不等式f（2x）＜4x+2a恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）f（x）的最小值为1（2）（0，+∞）
【分析】（1）根据绝对值的意义，将绝对值符号去掉，分段研究函数的单调性，从而求得函数的最小值；
（2）当x≥1时，2x≥2，所以f（2x）＜4x+2a即为3•2x﹣2＜4x+2a，即2a＞3•2x﹣2﹣4x，利用换元，令t＝2x，t≥2，式子可转化为2a＞﹣t2+3t﹣2，利用最值求得结果.
【详解】（1）当x时，f（x）＝3x﹣2，f（x）递增，可得f（x）≥1；
当x时，f（x）＝4﹣x，f（x）递减，可得f（x），
则f（x）的最小值为1；
（2）当x≥1时，关于x的不等式f（2x）＜4x+2a恒成立，
可得2x≥2，f（2x）＜4x+2a即为3•2x﹣2＜4x+2a，
即2a＞3•2x﹣2﹣4x，令t＝2x，t≥2，可得2a＞﹣t2+3t﹣2，
设g（t）＝﹣t2+3t﹣2，t≥2，可得g（t）在[2，+∞）递减，g（t）的最大值为g（2）＝﹣4+6﹣2＝0，
可得2a＞0，即a＞0，
则a的取值范围是（0，+∞）．
【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有含有绝对值的式子，去掉绝对值符号研究函数的单调性求得其最值，恒成立问题向最值靠拢，属于简单题目.
22．已知函数是偶函数．
(1)求实数的值；
(2)设， 若函数与的图象有且仅有一个公共点， 求实数的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）由偶函数得对恒成立，结合对数运算性质化简可求解；
（2）化简，则，令，则命题等价于有且只有一个正根，结合判别式与韦达定理求解即可
【详解】（1）∵为偶函数，∴对任意，有，
∴对恒成立．
∴对恒成立，
∴对恒成立，∴．
（2）由（1）知，，
∴由题意知有且只有一个实数根．
令，则关于t的方程（*）有且只有一个正根．
若，则，不合题意，舍去；
若，则方程（*）的两根异号或方程有两相等正根．
方程（*）有两相等正根等价于，解得．
方程（*）的两根异号等价于，解得．
综上所述，实数a的取值范围是．
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