2023-2024学年四川省达州外国语学校高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年四川省达州外国语学校高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.cs5π6=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
2.在△OMN中，ON−MN+MO=( )
A. 0B. 2MOC. 2OMD. 0
3.判断下列各命题的真假：①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③零向量是没有方向的；④向量就是有向线段.其中假命题的个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
4.将函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数g(x)的图象，则g(π3)=( )
A. 1B. 32C. 12D. −12
5.已知向量a=(3,0)，b=(−1,1)，c=(1,k)，若(a+b)//c，则实数k的值为( )
A. −2B. −1C. 12D. 2
6.如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间x(秒)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2则有( )
A. ω=2π15，A=3
B. ω=2π15，A=5
C. ω=15π2，A=5
D. ω=15π2，A=3
7.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若|AC|=3，|AB|=4，则AP⋅CD的值为( )
A. −3B. −1312C. 1312D. 112
8.将函数f(x)=sinx的图象先向右平移π3个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在(π2,3π2)上没有零点，则ω的取值范围是( )
A. (0,29]∪[23,89]B. (0,89]C. (0,29)∪[89,1]D. (0,1]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,1),b=(−2,0)，则下列结论正确的是( )
A. |a|=|b|B. a与b的夹角为34π
C. (a+b)⊥aD. b在a上的投影向量是(−1,−1)
10.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象的任意一条对称轴与其相邻的零点之间的距离为π4，若将曲线y=f(x)的图象向左平移π6个单位得到的图象关于y轴对称，则( )
A. ω=2
B. φ=π3
C. 直线x=2π3为曲线y=f(x)的一条对称轴
D. 若f(x)在(−a,a)单调递增，则011.定义：a，b两个向量的叉乘a×b=|a|⋅|b|⋅sin〈a,b〉，则以下说法正确的是( )
A. 若a×b=0，则a//b
B. λ(a×b)=(λa)×b
C. 若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于AB×AD
D. 若a×b= 3，a⋅b=1，则|a+b|的最小值为 7
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知a=(1,2)，a−b=(−2,−2)，则|2b|= ______
13.已知tanα=−13，则sinα+3csα5sinα+3csα= ______．
14.已知平面向量a=(2,1)，b=(t,−3)，若向量a与b的夹角为钝角，则t的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a与b的夹角θ=3π4，且|a|=3，|b|=2 2．
(1)求a⋅b，|a+b|；
(2)求a与a+b的夹角的余弦值．
16.(本小题15分)
如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，AE=23AD，AB=a，AC=b．
(1)用a，b分别表示向量AE，BF；
(2)求证：B，E，F三点共线．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)= 3sinxcsx−cs2x+12,x∈R．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)将函数f(x)的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得到y=g(x)的图象，求g(x)在区间[π3,5π6]上的值域．
18.(本小题17分)
如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象，其中ω>0，0<φ<π.其中B为图象最高点，C，D为图象与x轴的交点，且△BCD为等腰直角三角形，|CD|=2，_____.(从下面三个条件中任选一个，补充在横线处并解答)
①f(x+12)=f(−x+12)；
②f(x−12)是奇函数；
③f(0)= 22．
注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)设g(x)=f(2πx+12)，不等式msin2x−g(x)≤4−6m对于∀x∈R恒成立，求m的取值范围．
19.(本小题17分)
如图有一块半径为1，圆心角为π2的扇形铁皮AOB，P是圆弧AB上一点(不包括A，B)，点M，N分别半径OA，OB上．
(1)若四边形PMON为矩形，求其面积最大值；
(2)若△PBN和△PMA均为直角三角形，求它们面积之和的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数求值，是基本知识的考查．
直接利用诱导公式化简求值即可．
【解答】
解：cs5π6=−csπ6=− 32，
故选：D．
2.【答案】A
【解析】解：在△OMN中，
ON−MN+MO=ON+NM+MO=OM+MO=0．
故选：A．
根据平面向量的加减法运算计算即可．
本题考查平面向量的加减法运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：对于①：因为零向量的方向是任意的且零向量与任何向量共线，
故当a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的，故为假命题；
对于②：两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故为真命题；
对于③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故为假命题；
对于④：向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段，故为假命题；
综上，①③④为假命题，共有3个．
故选：B．
根据零向量的定义及共线向量的定义判断即可．
本题考查向量的基本概念，属基础题．
4.【答案】B
【解析】解：将函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位长度后，得到函数g(x)的图象，
可得g(x)=sin(2x−π3)，
则g(π3)=sin(2×π3−π3)=sinπ3= 32．
故选：B．
由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求函数g(x)的解析式，即可求解．
本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：向量a=(3,0)，b=(−1,1)，则a+b=(2,1)，又c=(1,k)，(a+b)//c，
因此2k=1，解得k=12，
所以实数k的值为12．
故选：C．
根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，向量共线的坐标表示列式作答．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∵水轮的半径为3，水轮圆心O距离水面2m，
A=3，k=2，
又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，
∴T=15=2πω，
∴ω=2π15．
故选：A．
先根据h的最大和最小值求得A和k，利用周期求得ω．
本题以实际问题为载体，考查三角函数模型的构建，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是构建三角函数式，利用待定系数法求得．
7.【答案】C
【解析】解：在△ABC中，因为AD=2DB，
所以AB=32AD，
所以AP=mAC+12AB=mAC+34AD，
又因为C，P，D三点共线，
所以m+34=1，
即m=14，
所以AP=14AC+12AB，
又CD=AD−AC=23AB−AC，
又∠BAC=π3，|AC|=3，|AB|=4，
所以AP⋅CD=(14AC+12AB)⋅(23AB−AC)
=13AB2−14AC2−13AB⋅AC
=13×16−14×9−13×4×3×12
=1312，
故选：C．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的线性运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的线性运算，属基础题．
8.【答案】A
【解析】解：将函数f(x)=sinx的图象先向右平移π3个单位长度，得到y=sin(x−π3)，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍，纵坐标不变，
得到函数g(x)=sin(ωx−π3)，
由函数g(x)在(π2,3π2)上没有零点，则T2≥3π2−π2，则T≥2π，
由2πω≥2π，可得0<ω≤1，
假设函数g(x)在(π2,3π2)上有零点，
则ωx−π3=kπ,k∈Z，则x=kπω+π3ω,k∈Z，
由π2−13,k∈Z，
又0<ω≤1，则ω∈(29,23)∪(89,1],
则由函数g(x)在(π2,3π2)上没有零点，且0<ω≤1，可得ω∈(0,29]∪[23,89]．
故选：A．
先由三角函数图象平移规则求得函数g(x)=sin(ωx−π3)，再利用正弦曲线的零点即可求得ω的取值范围．
本题主要考查了三角函数图象变换，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：已知向量a=(1,1),b=(−2,0)，
对于选项A，|a|= 2，|b|=2，
即选项A错误；
对于选项B，a⋅b=1×(−2)+1×0=−2，
则cs=a⋅b|a||b|=−2 2×2=− 22，
即a，b的夹角为3π4，
即选项B正确；
对于选项C，(a+b)⋅a=a2+a⋅b=2−2=0，
即(a+b)⊥a，
即选项C正确；
对于选项D，b在a上的投影向量是a⋅b|a|a|a|=−a=(−1,−1)，
即选项D正确．
故选：BCD．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算及平面向量夹角的运算求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算及平面向量夹角的运算，属中档题．
10.【答案】AC
【解析】解：由函数f(x)的图象的任意一条对称轴与其相邻的零点之间的距离为π4，
可得π4=T4=2π4ω，解得ω=2，所以A正确；
又由y=f(x)的图象向左平移π6个单位得到g(x)=2sin(2x+π3+φ)，
因为g(x)的图象关于y轴对称，可得π3+φ=kπ+π2,k∈Z且0<φ<π2，
解得φ=π6，所以B错误；
因为f(x)=2sin(2x+π6)且f(2π3)=2sin(4π3+π6)=−2为最小值，
所以直线x=2π3为曲线y=f(x)的一条对称轴，所以C正确；
令−π2≤2x+π6≤π2，解得−π3≤x≤π6，
要使得函数f(x)在(−a,a)单调递增，则0故选：AC．
根据题意，利用三角函数的图象与性质，求得函数f(x)=2sin(2x+π6)，可判定A正确，B错误；利用f(2π3)=−2为最小值，可判定C正确；令−π2≤2x+π6≤π2，求得−π3≤x≤π6，得出0本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，a×b=|a|⋅|b|⋅sin〈a,b〉=0，
若a，b至少有一个为零向量，则满足a//b；
若a，b均不为零向量，则sin〈a,b〉=0，即a，b同向或反向，即a//b，故A正确，
对于B，λ(a×b)=λ|a|⋅|b|⋅sin〈a,b〉，(λa)×b=|λa|⋅|b|⋅sin〈λa,b〉，
若λ≥0，则 (λa)×b=λ|a|⋅|b|⋅sin〈a,b〉，此时λ(a×b)=(λa)×b；
若λ<0，(λa)×b=−λ|a|⋅|b|⋅sin〈a,b〉，此时λ(a×b)≠(λa)×b，故B错误；
对于C，若四边形ABCD为平行四边形，
则它的面积等于|AB|⋅|AD|⋅sin〈AB,AD〉，即AB×AD−，故C正确；
对于D，a×b=|a|⋅|b|⋅sin〈a,b〉= 3，a⋅b=|a|⋅|b|⋅cs〈a,b〉=1，
两式平方可得：(|a|⋅|b|)2sin2=3，(|a|⋅|b|)2cs2=1，
两式相加得：(|a|⋅|b|)2=4，即|a|⋅|b|=2，
又|a+b|= a2+2a⋅b+b2= |a|2+|b|2+2≥ 2|a|⋅|b|+2= 6，
当且仅当|a|=|b|= 2时等号成立，故|a+b|的最小值为 6，故D错误．
故选：AC．
对于A，根据叉乘定义，判断a，b至少有一个为零向量或sin〈a,b〉=0，即可判断；
对于B，根据叉乘定义，讨论λ≥0和λ<0，即可判断；
对于C，结合平行四边面积即可判断；
对于D，由a×b= 3，a⋅b=1推出|a|⋅|b|=2，结合向量模的计算以及基本不等式即可判断．
本题考查平面向量的数量积与新定义：叉乘的运算，属于中档题．
12.【答案】10
【解析】解：由于a=(1,2)，a−b=(−2,−2)，
故b=a−(a−b)=(3,4)，
所以|2b|= 62+82=10．
故答案为：10．
直接利用向量的坐标运算求出向量的模．
本题考查的知识要点：向量的坐标运算，向量的模，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
13.【答案】2
【解析】解：因为tanα=−13，则sinα+3csα5sinα+3csα=tanα+35tanα+3=−13+3−5×13+3=2．
故答案为：2．
由已知结合同角商的关系进行化简即可求解．
本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
14.【答案】{t|t<32且t≠−6}
【解析】解：∵a=(2,1)，b=(t,−3)，若向量a与b的夹角为钝角，
则2t−3<0t≠−6，即t<32且t≠−6．
∴t的取值范围是{t|t<32且t≠−6}．
故答案为：{t|t<32且t≠−6}．
由题意可得a⋅b<0，且a与b不共线，由此列式求解t的范围．
本题考查利用平面向量数量积求向量的夹角，是基础题．
15.【答案】解：(1)a⋅b=|a|⋅|b|cs=3×2 2×cs3π4=−6，
|a+b|= (a+b)2= a2+2a⋅b+b2= 9+2×(−6)+8= 5．
(2)由题意知，a⋅(a+b)=a2+a⋅b=9+(−6)=3，
设a与a+b的夹角为θ，则csθ=a⋅(a+b)|a|⋅|a+b|=33× 5= 55，
故a与a+b的夹角的余弦值为 55．
【解析】(1)由平面向量数量积的运算法则，可得a⋅b的值；由|a+b|= (a+b)2，再代入相关数据，得解．
(2)先求出a⋅(a+b)=3，设a与a+b的夹角为θ，由csθ=a⋅(a+b)|a|⋅|a+b|，得解．
本题考查平面向量的混合运算，熟练掌握平面向量的加法和数量积的运算法则是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】解：(1)∵AD=12(AB+AC)=12(a+b)，
∴AE=23AD=13(a+b)，∵AF=12AC=12b，
∴BF=AF−AB=−a+12b．
证明：(2)由(1)知BF=−a+12b，BE=AE−AB=−23a+13b=23(−a+12b)，
∴BE=23BF.∴BE与BF共线．
又BE，BF有公共点B，所以B，E，F三点共线．
【解析】(1)由AD=12(AB+AC)=12(a+b)，得到AE=23AD=13(a+b)，由AF=12AC=12b，得到BF=AF−AB=−a+12b．
(2)由(1)知BF=−a+12b，BE=AE−AB=−23a+13b=23(−a+12b)，得到BE=23BF即可．
本题考查了向量的线性运算和共线向量的等价条件，主要运用了向量的数乘运算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)已知f(x)=f(x)= 3sinxcsx−cs2x+12= 32sin2x−1+cs2x2+12=sin(2x−π6)，x∈R，
根据正弦函数的单调性，令：−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ(k∈Z)；
整理得：−π6+kπ≤x≤π3+kπ(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ](k∈Z)．
(2)由(1)知f(x)=sin(2x−π6)，故g(x)=sin(x−π6)；
由x∈[π3,5π6]，得x−π6∈[π6,2π3]，
所以g(x)的值域为[12,1]．
【解析】(1)首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果；
(2)利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数g(x)的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的平移变换和伸缩变换，三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)∵△BCD为等腰直角三角形，|CD|=2，∴A=1，
且T2=2，∴T=2π|ω|=4，又ω>0，∴ω=π2.则f(x)=sin(π2x+φ)．
选①由f(x+12)=f(−x+12)，得函数f(x)的图像关于直线x=12对称，
则π2×12+φ=π2+kπ(k∈Z)，∴φ=π4+kπ(k∈Z)，
∵0<φ<π，∴φ=π4．
故函数f(x)的解析式为f(x)=sin(π2x+π4)．
选②∵f(x−12)=sin(π2x−π4+φ)是奇函数，
∴−π4+φ=kπ(k∈Z)，∴φ=π4+kπ(k∈Z)，
∵0<φ<π，∴φ=π4．
故函数f(x)的解析式为f(x)=sin(π2x+π4)．
选③则f(0)=sinφ= 22，结合图像和0<φ<π，可得φ=π4．
故函数f(x)的解析式为f(x)=sin(π2x+π4)．
(2)由(1)，得g(x)=f(2πx+12)=sin(x+π2)=csx，
∴msin2x−g(x)≤4−6m⇔msin2x−csx−4+6m≤0，
∴mcs2x+csx−7m+4≥0对于∀x∈R恒成立．
令t=csx∈[−1,1]，则mt2+t−7m+4≥0对∀t∈[−1,1]恒成立，
∴m≤−t+4t2−7对∀t∈[−1,1]恒成立．
∵t2−7t+4=(t+4)2−8(t+4)+9t+4=t+4+9t+4−8，
令n=t+4∈[3,5]，则y=n+9n−8在n∈[3,5]时单调递增，
∴y∈[−2,−65]，∴t2−7t+4∈[−2,−65]，
∴−t+4t2−7∈[12,56]，∴m≤12，
故m的取值范围为(−∞,12]．
【解析】(1)根据已知条件求出A与ω的值，选①根据正弦型图像的对称轴可求得φ的值；选②根据正弦型图像的奇偶性可求得φ的值；选③通过代入法结合图像可求得φ的值，再求出f(x)的解析式．
(2)由(1)得g(x)=csx，将问题转化为mcs2x+csx−7m+4≥0对于∀x∈R恒成立，令t=csx∈[−1,1]，则mt2+t−7m+4≥0对∀t∈[−1,1]恒成立，再结合基本不等式求解即可．
本题考查了利用待定系数法求函数的解析式，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想和函数思想，属中档题．
19.【答案】解：(1)连接OP，如图，令∠AOP=θ(0<θ<π2)，

因四边形PMON为矩形，则OM=OPcsθ=csθ，PM=OPsinθ=sinθ，
于是得矩形PMON的面积SPMON=OM⋅PM=csθ⋅sinθ=12sin2θ，
而0<2θ<π，
则当2θ=π2，即θ=π4时，sin2θ取最大值1，
所以SPMON的最大值为12，
所以矩形PMON面积最大值为12；
(2)由(1)知，PN=OM=csθ，ON=PM=sinθ，
则BN=1−sinθ，AM=1−csθ，Rt△PBN和Rt△PMA的面积和：S=S△PBN+S△PMA=12PN⋅BN+12PM⋅AM=12×csθ×(1−sinθ)+12×sinθ×(1−csθ)=12(sinθ+csθ)−sinθcsθ，
令sinθ+csθ=t，即t= 2sin(θ+π4)，
而π4<θ+π4<3π4，则1则S=f(t)=12t−12(t2−1)=−12t2+12t+12=−12(t−12)2+58，
显然f(t)在(1, 2]上单调递减，
当t= 2，即θ=π4时，f(t)min=f( 2)= 2−12，
而f(1)=12，因此， 2−12≤S<12，
所以Rt△PBN和Rt△PMA的面积和的取值范围是[ 2−12,12)．
【解析】(1)连接OP，令∠AOP=θ(0<θ<π2)，用θ表示出矩形PMON的面积，再借助三角函数计算作答；
(2)利用(1)中信息，用θ表示出△PBN和△PMA的面积和，再换元变形结合二次函数性质计算作答．
本题考查三角函数的应用，以及三角恒等变换，属中档题．