2023-2024学年四川省达州市万源中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省达州市万源中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由补集和交集的定义即可得出答案.
【详解】因为集合，，，
所以=，
所以.
故选：C.
2．命题“，使”的否定是（ ）
A．，使B．，使
C．，使D．，使
【答案】C
【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断.
【详解】命题“，使”的否定是“∀x，x2﹣3x+1<0”,
故选C.
【点睛】本题主要考查全称与特称命题的否定，属于基础题.
3．若，则
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：结合二次函数的性质，可知函数在区间上是减函数，故有，所以A不正确，根据不等式的性质，不等式两边同时乘以一个小于零的数或式子，不等号的方向需要改变，所以有，所以B不正确，根据底数是大于零小于一的指数函数是减函数，有，所以C不正确，因为同号且不相等，所以且，根据基本不等式，可知D是正确的，故选D．
【解析】不等式的性质．
4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.
【详解】依题意，函数的定义域为，
由解得.
故选：A
二、多选题
5．已知函数，则的大致图象可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】先判断的对称性，再讨论，，三种情况，确定的单调性，进而判断图象.
【详解】，即函数是偶函数
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且，故D正确；
当时，，故A正确；
当时，函数在区间，上单调递减，在区间，上单调递增，且，故B正确；
故选：ABD
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是对进行讨论，利用二次函数的单调性确定的图象.
三、单选题
6．下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用函数值域的求解方法求解.
【详解】对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，，因为，所以，故B正确；
对于C，，当且仅当即时等号成立，故C错误；
对于D，因为，所以，故，过于，故D错误.
故选：B
7．已知函数，满足对任意x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（ ）
A．a∈(0,1)B．a∈[,1)C．a∈(0,]D．a∈[,2)
【答案】C
【分析】根据条件知在R上单调递减，从而得出，求a的范围即可．
【详解】∵满足对任意x1≠x2，都有0成立，
∴在R上是减函数，
∴，解得，
∴a的取值范围是．
故选：C．
8．已知函数，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，再根据以上的性质解不等式 即可.
【详解】由于 ，所以 是偶函数；
当 时， ，由复合函数的单调性知f(x)是增函数，所以函数大致图像如下图：
对于，就是 ，解得 ；
故选：A.
四、多选题
9．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性可得答案.
【详解】，是偶函数，且在上单调递增
是奇函数，在上单调递减
故选：AC
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的对称中心为
B．的值域为
C．在区间上单调递增
D．的值为
【答案】ACD
【分析】选项A，利用函数的对称性定义验证即可；选项B，计算值域即可；选项C，根据函数的单调性运算判断单调性即可；选项D：找到，计算即可.
【详解】由题可知
选项A：由题可知，所以得，故的对称中心为，选项A正确；
选项B：因为，显然，所以的值域为，选项B错误；
选项C：当时，单调递减，所以单调递增，所以单调递增，选项C正确；
选项D：，所以，所以有，选项D正确.
故选：ACD
11．若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ）
A．最大值为B．最小值为
C．ab最小值为D．最小值为
【答案】ABD
【分析】对A，B，C选项，结合基本不等式进行求最值即可；D选项将等式构造变形为与相乘化成能用基本不等式的形式即可.
【详解】对A选项：由 ，，则，
当且仅当时等号成立，故A正确；
对B选项；，
当且仅当时等号成立，故B正确；
对C选项；因为，，所以
当且仅当时等号成立，故C不正确；
对D选项；因为，，
所以

当且仅当时等号成立，故D正确；
故选：ABD.
12．对于定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A．B．
C．D．在上单调递减
【答案】AC
【分析】由题有：，.即图像关于对称，且关于直线对称.A选项，令可得 ，可得；B选项，令即可判断选项；C选项，令结合单调性可判断选项；D选项，由图像的对称性可判断在上的单调性.
【详解】令，由是奇函数，
则，
即，图像关于对称.
令，由是偶函数，
则，
即，图像关于直线对称.
A选项，令，可得，
又令，可得.故A正确；
B选项，由，令，可得，故B错误；
C选项，由，令，可得，.故C正确.
D选项，由在上单调递减，结合图像关于对称，
则在上单调递减，即在上单调递减，
又图像关于直线对称，
则在上单调递增.故D错误.
故选：AC
【点睛】结论点睛：本题涉及抽象函数的奇偶性的相关结论.
为定义在R上函数，若为奇函数，则，
图像关于对称；若为偶函数，则，
图像关于对称.
五、填空题
13．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据分母不为0以及根号下大于等于0得到不等式组，解出即可，最后答案注意写成解集或区间形式.
【详解】由题意得，解得或，
故答案为：或.
14． .
【答案】/8.5
【分析】利用指数幂的运算性质即可得到结果.
【详解】
.
故答案为：
15．函数在区间上有，则 .
【答案】
【分析】令，由奇偶性定义可知为奇函数，由可构造方程求得结果.
【详解】令，
，
为定义在上的奇函数，
又，，.
故答案为：.
六、双空题（新）
16．已知函数．①若，则a的值为 ．
②若不等式对任意都成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】对①：根据题意，分类讨论当和时，代入分段函数，分别解方程即可；对②：根据题意可得函数的最小值为，结合分段函数单调性分析运算.
【详解】对①：当时，则，则；
当时，则，则（舍去）；
综上所述：；
对②：∵不等式对任意都成立，则函数的最小值为，
∴，解得，
故实数a的取值范围是；
故答案为：①；②.
七、问答题
17．已知集合,集合.
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用分式不等式的解法和集合的交集定义即可求得；
（2）由题设可得两个集合的包含关系，对于含参的不等式一般先考虑空集情况，再借助于数轴即得参数范围.
【详解】（1）当时, ,集合中，由可得，则，
故.
（2）由可得，即，则有，
解得，即实数的取值范围是.
18．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．

(1)已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间；
(2)写出函数的解析式；
(3)若关于的方程有个不相等的实数根，求实数的取值范围.（只需写出结论）
【答案】(1)图象见解析，函数的单调递增区间为
(2)
(3)
【分析】（1）利用偶函数的性质，即可画出函数的图象，再根据图象求函数的单调递增区间；
（2）利用函数是偶函数，求函数的解析式；
（3）利用数形结合，转化为与有4个交点，求的取值.
【详解】（1）
单调递增区间为.
（2）设，则 ，所以，
因为是定义在上的偶函数，
所以，
所以当 时，.
故的解析式为
（3）因为有个不相等的实数根，
等价于与的图象有个交点，
结合（1）中的图象可知，
当时，与的图象有个交点，
所以.
19．（1）计算：
（2）已知，求的值.
【答案】（1）；（2）65
【分析】（1）根据指数、对数的运算性质进行求解即可；（2）根据可得和的值，再进一步计算即可.
【详解】原式
.
（2）因为，所以，所以，
所以.
20．已知函数是定义在上的增函数，满足，且对任意的都有．
(1)求的值；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）令可直接求解；
（2）易得，结合定义域与增函数性质去“”建立不等式即可求解.
【详解】（1）令，则，即；
（2）因为，所以等价于，因为是定义在上的增函数，
所以，解得，
故不等式的解集为.
21．近年来我国实行高考制度改革，采取3+1+2选科模式，这种模式一个显著变化就是学生高考成绩计算方法发生了变化.总成绩满分750分，其中语文、数学、外语满分均为150分，以原始分形式计入总分；历史、物理满分100分，以原始分计入总分；思想政治、地理、化学、生物满分均为100分，考虑到不同再选科目的试题难度、选考学生群体均有不同，为了体现科学性与公平性，需将不同科目的原始分按照一定规则进行转化得到等级转化分，按转换后的赋分成绩计入总成绩，由此体现考生成绩在某个选考科目中所处位序.目前最为普遍的赋分制为五等级赋分制，以30分为赋分起点，等级转化满分100分，将考生原始成绩从高到低划分A、B、C、D、E五个等级，各占比例分别为15%、35%、35%、13%和2%，将五个等级原始分依照等级赋分规则分别转换到100－86、85－71、70－56、55－41、40－30分5个分数区间，如表1.设原始分为x（单位：分），等级赋分为y（单位：分），则y是x的函数，且等级赋分规则符合一次函数模型.（最终赋分结果四舍五入保留为整数）
五等级赋分制表1
(1)假设政治学科A等级中原始分最高分为98，最低分为78，则按照等级赋分规则将98赋成100，78赋成86.求等级赋分y关于x的函数关系式，并计算当时y的值.
(2)某两位同学再选科目均为生物，原始分分别为92与94，位次在所有选考生物考生中都排在20%，属于B等级.该区间考生原始分最高分95，最低分90，求这两位同学高考成绩单上的成绩（即等级赋分），并比较这两位同学的原始分差与最终高考成绩单上分差的差异.
(3)由（1）、（2）所得结果谈谈你对赋分制的认识.
【答案】(1)，96
(2)原始分差为2分，赋分后高考成绩分差为5分，分差变大了
(3)答案见解析
【分析】（1）设，将，代入即可得到函数关系式，然后计算当时y的值；
（2）设生物等级赋分为，将，代入即可得到函数关系式，然后分别计算当与的结果，并比较结果，即可得出结论；
（3）由（1）、（2）所得结果对赋分制进行分析.
【详解】（1）设政治等级赋分关于的函数关系式为，
则解得，
所以
当时，；
（2）设生物等级赋分关于的函数关系为，
则，解得，
所以
当时，；
当时，；
原始分差为分，赋分后高考成绩分差为分，分差变大了.
（3）（1）原始分高则赋分更高；
（2）不同学科原始分相同，但赋分后差别会很大.比如该题中政治生物原始分都为92，但是最终成绩政治为96，而生物为82分.
（3）相同学科原始分区间段分数密集，原始分差较小，但赋分后分差增大.
（4）原始分高，可能赋分结果低于原始分，原始分低，赋分结果可能高于原始分，要看原始分属于哪个等级，虽然分数变化了，但是保持在同科所有考生中的位次不变.
等等，言之有理即可.
八、证明题
22．已知函数是定义域上的奇函数，且满足.
(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；
(2)已知、，且，若，证明：.
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用奇函数的定义可求得的值，利用可求得的值，可得出函数的解析式，判断出函数在上单调递增，然后利用函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）由结合作差法可得出，再利用基本不等式可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为函数是定义域上的奇函数，
则，即，解得，则，
又，得，所以.
函数在上单调递增，理由如下：
、，且，即，
所以，，，，，
则，
所以，则在上单调递增.
（2）证明：由题意，，则有，
因为，所以，即，
所以，得证.
等级
A
B
C
D
E
比例
15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
100－86
85－71
70－56
55－41
40－30