2023-2024学年江苏省镇江一中地区高一上学期10月月考数学试题含答案

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1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题：的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定求解即可.
【详解】命题：是存在量词命题，其否定是全称量词命题，
所以命题：的否定是：.
故选：D
2. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先解一元二次不等式把集合用列举法表示出来，然后根据交集的定义即可求解.
【详解】因为，
所以，
又，
所以.
故选：B.
3. 若，则函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分离常数后求其值域即可.
【详解】，
因为，所以，所以，
所以，所以函数值域为.
故选：A.
4. 甲、乙分别解关于不等式.甲抄错了常数，得到解集为；乙抄错了常数，得到解集为.如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，则原不等式解集应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据甲乙解不等式的信息求出，再求解不等式即得.
【详解】依题意，由甲求得的解集得，由乙求得的解集得，解得，
于是不等式，即，解得，
所以原不等式解集应为.
故选：A
5. 已知不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先讨论当时是否满足题意，其次当时，由题意可得，解不等式组即可.
【详解】当时，不等式为即不等式无解，满足题意；
当时，若不等式的解集为空集，
即不等式恒成立，
则当且仅当，
解不等式组得；
综上所述，实数的取值范围是.
故选：C.
6. 设，则“”是“”成立的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】解出不等式，根据必要不充分条件判定即可得到答案.
【详解】，解得或，
，解得或，
显然或或，
则“”是“”的必要而不充分条件，
故选：B.
7. 若实数满足：，，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式性质求解即得.
【详解】由，得，由，得，而，
因此，所以的取值范围为.
故选：B
8. 已知函数，若函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出当时，的取值范围为，所以若函数的值域是，则当时，，即恒成立。即可求出的取值范围.
【详解】对称轴为，
∴在单调递增，在，单调递减.
∴当时，的取值范围为，
若函数的值域是，
则当时，，即恒成立，
∴即.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用同一函数的定义，逐项判断即可.
【详解】对于A，函数的定义域均为R，且，A是；
对于B，函数的定义域为，而的定义域为R，B不是；
对于C，函数的定义域均为，而，C是；
对于D，函数的定义域均为R，而当时，，当时，，
因此，D是.
故选：ACD
10. 命题“”为真命题的一个充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出给定命题为真命题时k的范围，再利用充分条件的定义判断即得.
【详解】因为，则当时，恒成立，于是；
当时，，解得，于是，
所以命题“”为真命题时，k的取值范围是，
显然，，，而真包含，ABD是，C不是.
故选：ABD
11. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砥智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BD
【解析】
【分析】利用不等式的性质，验证各选项的结论是否成立.
【详解】时，若，则有，A选项错误；
若，有，则，
得，B选项正确；
若，有，若，得，所以，C选项错误；
若，则有，由，有，D选项正确.
故选：BD
12. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（ ）

A.
B.
C.
D. （其中且）
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，结合二次函数的性质用表示，再逐项判断得解.
【详解】观察图象知，二次函数图象对称轴为，过点，
由对称性得该图象还过点，于是，即，显然，
因此，，，，C错误，AB正确；
当时，，而，
即，D正确.
故选：ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13. 函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数有意义，列式求解即得.
【详解】函数有意义，则有，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：
14. 命题“”为假命题，则实数的范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，“”为真命题，进而求出的范围即可.
【详解】命题“”为假命题，等价于命题“”为真命题，所以，所以，则，所以.
故答案为：.
15. 已知，集合，则图中阴影部分所表示的集合是__________.

【答案】
【解析】
【分析】解出集合，根据集合交并补即可得到答案.
【详解】，解得或，则或，
，
则或，
则图中阴影部分所表示的集合是.
故答案为：.
16. 关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性可得出不等式的解集中的整数，再求出实数的取值范围即可.
【详解】因为的对称轴为，开口向上，
所以若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，
则分别为，
则，所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求得集合，，再求结果即可；
（2）由集合是集合的真子集，列出关系式，求解即可.
【小问1详解】
当时，，
则或，又，
故；
【小问2详解】
由题可得：集合是集合的真子集；
显然，集合不为空集，
故：且，解得且，即，
故实数的取值范围为.
18. 已知函数.
（1）若，求函数的值域；
（2）当时，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的分段函数，分段求出函数值集合即可.
（2）分段解不等式即得.
【小问1详解】
当时，，
当时，，则当时，，当时，，即，
所以函数的值域为.
【小问2详解】
由，得或，解得或，
所以的取值范围是.
19. 已知集合，集合.
（1）若集合仅有唯一的元素，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，分类讨论求解.
（2）利用集合的包含关系求解即可.
【小问1详解】
集合仅有唯一的元素，
当时，，，符合题意，
当时，，解得，此时，符合题意，
所以实数的值是或.
【小问2详解】
由，得，
当时，，解得，此时，则；
当时，，无解；当时，，无解；
当时，，解得，
所以实数的取值范围.
20. 某企业生产甲、乙两种产品所得利润分别是（单位：万元）和（单位：万元），它们与投入资金（单位：万元）的关系有经验公式.今将4万元资金投入生产甲、乙两种产品，其中对甲种产品投资（单位：万元）.
（1）试建立总利润（单位：万元）关于的函数关系式；
（2）如何安排投入资金使得该企业所获利润最大？并求出获利润的最大值.
【答案】（1）
（2）甲产品投资2万元，乙投资2万元，此时利润最大，最大利润为2万元.
【解析】
【分析】（1）通过设出甲投资以及乙投资的数目，设立函数表达式，根据函数式直接写出定义域；
（2）对于（1）中的函数解析式，利用换元法转化成一个二次函数的形式，最后结合二次函数的最值求法得出函数的最大值，从而解决问题．
【小问1详解】
甲投资万元，则乙投资万元，
则；
【小问2详解】
令，则，
，
当时，，此时的最大值为万元.
则甲产品投资万元，乙投资2万元，此时利润最大，最大利润为2万元.
21. 已知函数，其中.
（1）若不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）当时，求不等式的解集.
【答案】（1）或
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可以先求出的值，然后直接解一元二次不等式即可.
（2）当时，不等式变为了，首先讨论当时的情形，然后再分别讨论时的情形，在讨论时，还要继续对进行分层讨论，由此即可得解.
【小问1详解】
由题意若不等式的解集为，
则当且仅当，
即，解得，
此时不等式变为了，
即，解得或，
所以不等式的解集为或.
【小问2详解】
当时，不等式变为了，
当时，不等式变为了，
解不等式得，此时不等式的解集为；
当时，
分以下两种情形来讨论：
情形一：
令，得，此时有，
此时方程有两个不相等的实数根，
而此时二次函数开口向上，
又，
所以当时，不等式的解集为.
情形二：
令，得，此时只需即可，
此时方程有两个相等的实数根或者无解，
而此时二次函数开口向上，
即不等式恒成立，
所以此时不等式无解，即此时不等式的解集为.
当时，
分以下两种情形来讨论：
情形一：
令，得，此时只需即可，
此时方程有两个不相等的实数根，
而此时二次函数开口向下，
又，所以此时不等式的解集为.
情形二：
令，得，又，故产生矛盾,即此种情形不可能成立.
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是求出参数的值，至于第二问的关键是在对时的讨论中，还需对继续进行分层讨论.
22. 已知函数，其中.
（1）若不等式对于一切实数均成立，求实数的取值范围；
（2）当时，若函数的最大值为，求实数的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）将不等式化简为，再结合一元二次不等式在恒成立问题，可联系一元二次函数图象，即可解决.
（2）讨论给定区间与对称轴的关系，找出在不同情况下的最大值，再与题干最大值为建立等式，解出符合题意的即可.
【小问1详解】
∵不等式对于一切实数均成立，
∴即对于一切实数均成立，
∴即，
∴解得或，
∴的取值范围为.
【小问2详解】
对称轴为，
①当时，在单调递减，
∴，
又∵当时，函数的最大值为，
∴解得或，
∴；
②当时，单调递增，在单调递减，
∴，
显然，不符合题意；
③当时，在单调递增，
∴，
又∵当时，函数的最大值为，
∴，解得或，
∴；
综上所述，或.