2022-2023学年江苏省镇江市镇江一中高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年江苏省镇江市镇江一中高二上学期12月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知数列 的通项公式为，则数列 的前 项和 为 （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据等比数列的定义和求和公式运算求解.
【详解】因为，可知数列 是以，公比为4的等比数列，
所以.
故选：D.
2．已知定点 和一动点 ，若 ，则动点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义分析求解，注意焦点所在位置.
【详解】由题意可知：，
可知动点的轨迹是以为焦点的椭圆，
则，可得，
注意到焦点在y轴上，所以动点的轨迹方程为.
故选：D.
3．《九章数学》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠同时从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍，小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”．如果墙厚20尺，则这两只老鼠相逢所需天数至少为（ ）
A．4天B．5天C．6天D．7天
【答案】B
【分析】由题意分析可得，大老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为的等比数列．利用等比数列的前n项和公式表示出打洞距离和S,结合,求出n的值即可.
【详解】大老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠每天打洞的距离成首项为1，公比为的等比数列．
∴距离之和为．
∵，
∴这两只老鼠相逢所需天数至少为5天.
故选：B．
4．函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（ ）

A．是函数的最小值
B．是函数的极值
C．在区间上单调递增
D．在处的切线的斜率大于0
【答案】A
【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．
【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确；
易知是函数的极值，故B正确；
因为在上单调递增，则不是函数的最小值，故A错误；
因为函数在处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确.
故选：A．
5．与圆 相切，且与点 的距离为3的直线有（ ）
A．1 条B．2 条C．3 条D．4 条
【答案】C
【分析】将所求直线转化为两圆的公切线，结合两圆的位置关系分析判断.
【详解】与点 的距离为3的直线可以转化为以为圆心，半径的圆的切线，
则所求直线即为两圆的公切线，
由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为，可知两圆外切，有3个公切线，
所以所求直线有3条.
故选：C.
6．已知直线 上有动点，点为圆 上的动点，则 的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】先计算出圆心到直线的距离，再减去该圆半径即为最小值.
【详解】由可知，该圆圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离，
故圆心到直线上的点的长度最短为，
则.
故选：B.
7．函数的部分图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】先求函数定义域为排除A，再根据时，排除BC，进而得答案.
【详解】解：函数的定义域为，故排除A，
，故函数为奇函数，
由于时，，故时，，故排除BC；
所以D选项为正确答案.
故选：D.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
8．设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设，，问题转化为存在唯一的整数使得满足，求导可得出函数的极值，数形结合可得且，由此可得出实数的取值范围.
【详解】设，，
由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得，故选D.
【点睛】本题考查导数与极值，涉及数形结合思想转化，属于中等题.
二、多选题
9．已知奇函数 ，其导函数，则以下命题正确的是（ ）
A．
B．函数的极值点有且仅有一个
C．函数的最大值与最小值之和等于0
D．函数有两个单调递增区间
【答案】CD
【分析】根据奇函数的定义结合导函数可得，在利用导数判断原函数的单调性、极值和最值.
【详解】因为为奇函数，则，
即，
由的任意性可得，则，
则，可得，即，
所以，故A错误．
因为，，
令，解得或；
令，解得；
可知在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极值点有两个，故B错误，D正确；
且，
可知：在内的最大值为，最小值为，
所以函数的最大值与最小值之和等于，故C正确；
故选：CD．
10．已知两点，，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”.下列直线中为“B型直线”的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】求得点的轨迹方程，结合双曲线的渐近线以及图象求得正确答案.
【详解】设，由于，
所以点的轨迹是双曲线的右支.
，
所以点的轨迹方程为，
对应的渐近线方程为.
画出图象如下图所示，
与点的轨迹有个交点，
是双曲线的渐近线，与点的轨迹没有交点，
与双曲线的渐近线平行，结合图象可知，与点的轨迹没有交点，
直线的斜率，结合图象可知，与点的轨迹有个交点.
所以“型直线”是AB选项.
故选：AB
11．已知 ，则 （ ）
A．存在 2 个不同的，使得与轴相切
B．存在 2 个不同的，使得在轴和轴上截得的线段相等
C．存在 2 个不同的，使得过坐标原点
D．存在唯一的，使得的面积被直线 平分
【答案】ACD
【分析】由方程的解，可判定A正确；由圆在两坐标轴上的截的弦长度相等，求得，结合弦长公式，得到，令，利用导数求得函数的零点，可判定B错误；由，结合与有两个交点，可判定C正确；根据圆心满足直线方程，令，利用导数求得函数的单调性，结合，可判定D正确.
【详解】由圆，可得圆心为，半径为，
即圆心在曲线上运动，
对于A中，若圆与轴相切，则，解得或，所以A正确；
对于B中，若圆在两坐标轴上的截的线段长度相等，则，解得，
圆截轴所得弦长为，圆截轴所得弦长为，
可得，可得，
令，其中，
则，
所以函数在上单调递减，在上单递增，
所以，当时，，
所以函数在上无零点，函数在上只有一个零点，所以B错误；
对于C中，若圆过原点，则，
由图象知，与有两个交点，所以满足要求的有2个，所以C正确；
对于D中，若圆的面积被直线 平分，则圆心满足直线方程，
因为圆心，代入直线方程可得，其中，
令，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又因为，所以方程只有一个解，
所以存在唯一的，使得的面积被直线 平分，所以D正确.
故选：ACD.
12．设正整数 ，其中 . 记 , 则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由的定义，计算需要的结果，对各选项进行判断.
【详解】，则，A选项错误；
，则， B选项正确；
，有，，有，得，C选项正确；
，，
，，
所以，D选项正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知 ，则
【答案】2
【分析】求导后，代入，求出，从而得到，再代入求出答案.
【详解】，令得，，解得，
故，所以.
故答案为：2
14．已知直线和以为端点的线段无公共点，则实数的取值范围为
【答案】
【分析】求出直线恒过的定点，再求出恰好过点时的直线斜率，从而数形结合即可求得实数的取值范围.
【详解】直线恒过定点，
则，，
若直线和以为端点的线段有公共点，
则或，
所以直线和以为端点的线段无公共点时，.
故答案为：.
15．已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 ，则公比 的值为
【答案】
【分析】利用等比数列的前 项和公式即可求解.
【详解】因为是正项等比数列.
所以首项，公比.
又因为
所以当时，，，故；
当时，有，解得.
故答案为：
16．若一个圆的圆心是抛物线 的焦点，且该圆与直线 相切，则该圆的标准方程为 . 过点 作该圆的两条切线 ，切点分别为 ，则直线 的方程为
【答案】
【分析】求出圆心坐标，再利用列式求解半径，即可得圆的标准方程；根据四点共圆，为该圆的直径，写出该圆的方程，再与圆联立即可得直线的方程.
【详解】由题意，圆心坐标为，
又因为该圆与直线相切，所以，
所以圆的标准方程为；
因为，所以点四点共圆，
又因为，即为该圆的直径，
可知圆心为，半径，
所以圆的方程为，
又因为，联立求解得，
所以直线的方程为.
故答案为：；.
四、解答题
17．已知数列满足: .
(1)求数列的通项公式;
(2)设, 求数列的前项和为.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由递推关系取可求，当时，取递推关系中的可求，由此可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求数列的前项和为.
【详解】（1）当时，，解得；
当时，，
则，
两式相减得，即；
当时也成立，所以数列的通项公式为.
（2）因为，
所以，
所以.
18．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且离心率为，一个顶点为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与椭圆交于两点，是椭圆上位于直线两侧的两个动点.若直线的斜率为，求四边形面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设椭圆的方程为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求解；
（2）直线的方程为，联立方程组，由，求得，得到四边形的面积为，进而求得四边形面积的最大值.
【详解】（1）解：设椭圆的方程为，
因为椭圆的中心在原点，焦点在轴上，且离心率为，一个顶点为，
可得，且，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：设，直线的方程为，
联立方程组，整理得，
由，解得，且，
将代入椭圆方程，可得，解得，所以，
所以四边形的面积为，
当时，四边形面积的最大值为.
19．已知数列满足: .
(1)求，由此猜想并直接写出数列的通项公式;
(2)记，求;
(3)在（2）的条件下，记，证明: 当时，.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）取，，，，可得结果，猜想，结合等差数列分析证明；
（2）根据题意结合（1）运算求解；
（3）根据（2）可得，利用裂项相消法分析证明.
【详解】（1）当时，，可得；
当时，，即，可得；
当时，，即，可得；
当时，，即，可得；
猜想.
证明如下：
当时，，，
相除得
整理为：，即，
可知为等差数列，公差，首项为；
可得，整理为：，经检验，符合要求.
所以.
（2）由（1）得：．
所以.
（3）由（2）可知：，
则，
可得，
所以当时，．
20．已知函数 .
(1)若 恒成立, 求的最大值;
(2)若 恒成立, 求的最小值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据题意分析可得对任意恒成立，构建函数，，利用导数求其最值，结合恒成立问题分析求解；
（2）因为，可得，解得，并检验即可.
【详解】（1）因为，且，整理得，
由题意可知：对任意恒成立，
令，，则，
令，，则对任意恒成立，
则在上单调递减，可知，
即对任意恒成立，
则在上单调递减，可知，
可得，所以的最大值为.
（2）由题意可得：，
因为，由题意可得，则，
若，则，
可知在上单调递减，则，即符合题意；
综上所述：，即的最小值为1.
21．已知双曲线C与双曲线 有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且，于点G，证明:存在定点H，使为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线C的方程，再将点的坐标代入求解作答.
（2）当直线斜率存在时，设出其方程并与双曲线C的方程联立，由给定的数量积关系结合韦达定理求得直线过定点，再验证斜率不存在的情况，进而推理判断作答.
【详解】（1）依题意，设双曲线C的方程为，而点在双曲线C上，
于是，双曲线C的方程为，即，
所以双曲线C的标准方程为.
（2）当直线斜率存在时，设直线的方程为：，设，
由消去y并整理得，
有，且，即且，
有，又，
，由，得，
整理得，
于是，化简得，
即，解得或，均满足条件，
当时，直线的方程为，直线过定点，与已知矛盾，
当时，直线的方程为，直线过定点；
当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设直线的方程为：，
由解得或，因此点的横坐标有，即直线过定点，
综上得直线过定点，
由于，即点在以为直径的圆上，为该圆圆心，为该圆半径，
所以存在定点，使为定值.

【点睛】思路点睛：与圆锥曲线相交的直线过定点问题，设出直线的斜截式方程，与圆锥曲线方程联立，借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.
22．已知是实数，1和是函数的两个极值点．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）设函数的导函数，求的极值点；
（Ⅲ）设，其中，求函数的零点个数．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）-2；
（Ⅲ）当时，函数有5个零点；当时，函数有9个零点．
【详解】试题分析：（Ⅰ）由，可得；（Ⅱ）由，可得．，经检验是的极值点；（Ⅲ）令，则．可判断当时，在无实根．当时． 在（1 ， 2）内有唯一实根．当时，，在（一1，1）内有唯一实根．
因此，当时，有两个不同的根满足；当 时有三个不同的根，满足．所以当时，有两个根，满足．
而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点．
（ⅱ）当时，有三个不同的根，满足．
而有三个不同的根，故有9个零点．
试题解析：（Ⅰ）由，得．
∵1和是函数的两个极值点，
∴，，解得．
（Ⅱ）∵ 由（1）得， ，
∴，解得．
∵当时，；当时，，
∴是的极值点．
∵当或时，，∴不是的极值点．
∴的极值点是－2．
（Ⅲ）令，则．
先讨论关于的方程根的情况：
当时，由（2）可知，的两个不同的根为1 和-2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为-1和2．
当时，∵， ．
∴一2，－1，1，2都不是的根．
由（1）知．
① 当时， ，于是是单调增函数，从而．
此时在无实根．
② 当时．，于是是单调增函数．
又∵，，的图象不间断，
∴ 在（1 ， 2）内有唯一实根．
同理，在（一2 ，一1）内有唯一实根．
③ 当时，，于是是单调减函数．
又∵， ，的图象不间断，
∴在（一1，1）内有唯一实根．
因此，当时，有两个不同的根满足；当 时
有三个不同的根，满足．
现考虑函数的零点：
（Ⅰ）当时，有两个根，满足．
而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点．
（ⅱ）当时，有三个不同的根，满足．
而有三个不同的根，故有9个零点．
综上所述，当时，函数有5个零点；当时，函数有9个零点．
【解析】1．函数的极值；2．函数的零点．