2023-2024学年江苏省镇江市镇江中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省镇江市镇江中学高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合的并集运算求解.
【详解】由题意可得：.
故选：C.
2．“”是“”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】解不等式，根据包含关系结合充分、必要条件分析求解.
【详解】由，解得；
由，解得；
因为是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】利用函数奇偶性的定义和单调性的性质分别对各个选项分析判断即可.
【详解】对于A，为奇函数，在和上为减函数，而在定义域内不是减函数，所以A不合题意；
对于B，为奇函数，在定义域上为减函数，所以B符合题意；
对于C，为偶函数，所以C不合题意；
对于D，由于为非奇非偶函数，所以D不合题意，
故选：B.
4．设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据给定的信息，利用指数、对数函数性质，结合“媒介数”比较大小即得.
【详解】依题意，，而，
所以的大小关系为.
故选：D
5．若m+n＝1（m＞0，n＞0），则的最小值为（ ）
A．4B．6C．9D．12
【答案】A
【分析】根据已知条件，利用基本不等式即可求解．
【详解】因为m+n＝1（m＞0，n＞0），
则，当且仅当时取等号．
故选：A．
6．幂函数在上递增，则实数（ ）
A．2B．C．2D．2或
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义可得，再由单调性可得，即可求解.
【详解】因为是幂函数，
所以，解得或，
又在上单调递增，则，
满足题意，不合题意舍去.
故选：B.
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将两边平方得代入所求的式子可得答案.
【详解】将两边平方，得，即，
所以.
故选：A.
8．若函数在上单调递增，则实数的范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】通过换元转化为熟悉的二次函数，则所给区间即为已知函数单调区间的子集，即可求得的取值范围.
【详解】令，则，则，对称轴为，则函数的单调递减区间为，因为为减函数，且在上单调递增，所以，则解得.
所以实数的范围为.
故选：A
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．命题“”的否定为“”
B．函数且的图象恒过定点
C．和是同一函数
D．
【答案】AB
【分析】利用全称量词命题的否定判断A；求出对数型函数图象过的定点判断B；利用相同函数的意义判断C；利用换底公式化简判断D.
【详解】对于A，命题“”的否定为“”，A正确；
对于B，对任意的不等于1的正数，当时，，即原函数图象过定点，B正确；
对于C，定义域为，定义域为，
因此函数与不是同一函数，C错误；
对于D，，D错误.
故选：AB
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BCD
【分析】取，，可判断A；当，可得，由，利用不等式的基本性质可判断B；当时，利用不等式的基本性质可判断C；利用作差法可判断D.
【详解】对于选项A：若，，时，
即不成立，故A错误；
对于选项B：因为，
当，时，，故，即，故B正确；
对于选项C：因为，
当时，，故；
又因为，
当时，，故
所以，故C正确；
对于选项D：因为，
若，则，
可得，即，故D正确；
故选：BCD.
11．关于函数，下列结论中正确的是（ ）
A．当时，是增函数B．当时，的值域为
C．当时，是奇函数D．若的定义域为，则
【答案】ACD
【分析】根据复合函数的单调性可判断A，根据指数函数的性质及不等式的性质可得函数的值域可判断B，根据奇函数的定义可判断C，根据指数函数的性质及基本不等式可判断D.
【详解】当时，，由函数单调递增，函数在上单调递增，
所以在上单调递增，故A正确；
因为，，
所以，故B错误；
当时，定义域为R，而，
所以是奇函数，故C正确；
若的定义域为，则恒成立，即，
因为，当且仅当，即时取等号，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．已知的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．的最小值是4
D．当时，若的值域是，则
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，可得，代入分析判断A；解不等式判断B；利用均值不等式计算判断C；探讨二次函数值域判断D.
【详解】由题意可知：是关于x的方程的二根，且，
则，可得.
对于选项A：，故A正确；
对于选项B：不等式化为：，
由可得，解得，
所以不等式的解集为，故B错误；
对于选项C：因为，，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是4，故C正确；
对于选项D：当时，，
则，
当时，取到最大值，
因为，由得，或，
因在上的最小值为，
从而得或，
因此，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用函数有意义，列出不等式组并求解即得.
【详解】函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
14．已知，则 .
【答案】
【分析】代入数据直接计算得到答案.
【详解】，.
故答案为：.
15．使式子有意义的的取值范围为 .
【答案】
【分析】利用对数的定义，列出不等式求解即得.
【详解】式子有意义，则，解得，且，
所以的取值范围为.
故答案为：
16．已知函数和函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意得，由此得到关于的不等式，解之即可.
【详解】因为对任意的，总存在，使得成立，
所以，
因为开口向上，对称轴为，
所以在上单调递增，故，
又因为在上单调递减，所以，
因此，解得，
所以a的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
17．计算各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据指数幂的运算求解；
（2）根据对数运算求解.
【详解】（1）由题意可得：原式.
（2）由题意可得：原式.
18．已知集合，．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出，根据题意列出不等式组，求解即可；
（2）由得，分，两种情况讨论可求得的取值范围．
【详解】（1）由集合，所以，
又，，
所以，解得；
所以实数的取值范围是．
（2）若，则，
当时，，解得；
当时，有，要使，则，解得，
综上，实数的取值范围是．
19．已知函数.
(1)画出的图像；
(2)请根据的图像直接写出的解集（无需说明理由）.
【答案】(1)图象见解析
(2)
【分析】（1）利用零点分段法，得到分段函数，再画出函数的图象；
（2）根据分段函数，分段解不等式即得.
【详解】（1）当时，；
当时，；
当时，；
故，函数图象如图所示：
.
（2）由题得，当时，，解得，则；
当时，，解得，则；
当时，，解得，则；
综上，的解集为.
20．（1）解关于的不等式.
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）.
【分析】（1）分类讨论解含参的不等式即得.
（2）根据给定条件，分离参数，借助恒成立求出的范围.
【详解】（1）不等式化为：，
当时，解得；当时，不等式无解；当时，解得，
所以当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
（2）当时，恒成立，则，
当时，不等式，
依题意，，，而最大值为2，因此，
所以实数的取值范围是.
21．已知函数.
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若，证明：；
(3)在（2）的条件下，若，求的值.
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)证明见解析.
(3)，.
【分析】（1）函数是奇函数，再利用奇函数定义推理即得.
（2）根据对数的运算性质化简即可得证.
（3）结合（2）建立方程组，再由（1）的结论，解方程组即得.
【详解】（1）函数是奇函数.
函数中，由，得，
，，
所以函数是奇函数.
（2）当时，，
因此，，
所以.
（3）由（2）知，，，显然，
于是，，由（1）得，
所以，.
22．指数函数图象过点.
(1)求的解析式；
(2)若的图象上有（其中三点，的面积为.
①求的解析式；
②求的最大值.
【答案】(1)；
(2)①，；②.
【分析】（1）利用指数函数图象过的点求出值得解.
（2）①用表示，利用割补法将的面积表示成即可得的解析式；②探讨的单调性并求出最大值即得.
【详解】（1）由指数函数图象过点，得，而，解得，
所以的解析式为.
（2）①由已知及（1）知，点在函数的图象上，如图，
则，即，
的面积
因此，.
②由①知，，，
显然函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
而函数在上单调递增，因此函数在上单调递减，
则当时，，
所以的最大值是.
【点睛】思路点睛：涉及几何图形面积问题，借助图形特征，利用割补法求出图形的面积是一种常用手段.