2023-2024学年江苏省苏州一中高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省苏州一中高一上学期10月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，双空题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据并集的定义和运算直接得出结果.
【详解】因为，
所以.
故选：C.
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.
【详解】对于函数，则有，解得且，
所以函数的定义域为，
故选：B.
3．“关于x的方程的两根为1，2”是“关于x的不等式的解集为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由一元二次不等式的解法知，一元二次不等式解集受二次项系数的符号及相应二次方程的解的情况决定，然后可得答案.
【详解】由一元二次不等式的解法知，一元二次不等式解集受二次项系数的符号及相应二次方程的解的情况决定，
由的解集为可知相应二次方程的解为1，2，反之不然，
故选：B
4．已知且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知条件推导出，，再由得出，由得出，结合不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】，，则，，，则，
由得，则，即，即，
又，，因此，的取值范围是.
故选：B.
【点睛】本题考查代数式取值范围的求解，考查不等式基本性质的应用，考查计算能力，属于中等题.
5．函数的图象的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】讨论的取值，去掉绝对值，再分段画出函数即可选出答案.
【详解】，作出分段函数的图象；
故选：B.
【点睛】本题考查绝对值函数的图像，属于基础题.绝对值函数其根本为分段函数，讨论绝对值内的正负号，去掉绝对值，再分段画出图像即可.
6．已知，且，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
【答案】A
【分析】根据题意可得到，从而利用基本不等式即可求出的最大值.
【详解】因为，所以，
所以，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立.
故选：A.
7．已知函数是定义在上的奇函数，当时，为单调递增函数，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．（0，1）C．（1，＋∞）D．（－1，0）∪（0，1）
【答案】D
【分析】利用奇函数的性质画出满足题意的草图，数形结合即可得到结果.
【详解】∵函数是定义在上的奇函数，且，
∴，
又因为在（0，+∞）上为增函数且奇函数的图象关于原点对称．
∴函数的大致图象如图：
由可得： 或，
∴满足的的取值范围是（－1，0）∪（0，1）
故选：D
【点睛】本题考查函数的性质，考查函数的奇偶性与单调性，考查数形结合思想，属于常考题型.
8．已知函数.若对于任意，都有，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】首先利用换元法求出的解析式，依题意等价于，令，则在上单调递减，根据反比例函数的性质即可得到不等式，解得即可；
【详解】解：令，则，所以，即，因为时等价于，即.令，则在上单调递减，所以或，解得或，即.
故选：A
二、多选题
9．已知函数，若，则实数的值可以是（ ）
A．3B．C．4D．-4
【答案】BC
【分析】分与两种情况求解的值即可.
【详解】当时，得，解得或（舍去）；当时，得，解得.
故选：BC
10．定义集合运算：，设，，则（ ）
A．
B．(
C．中有个元素
D．的子集有个
【答案】AD
【分析】根据集合运算新定义，列举法表示判断A、C、D；再应用列举法写出、判断B.
【详解】由题设，故，且共有3个元素，故子集有8个，A、D对，C错；
，则，而，
显然，B错；
故选：AD
11．设，均为正数，且，则下列结论正确的是（ ）
A．有最大值B．有最大值
C．有最小值D．有最小值
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式求A、B中的最大值，用二次函数的性质判断C，D．
【详解】，∴，当且仅当，即时等号成立，A正确；
由前面推导可知，即，当且仅当时等号成立，B正确；
由已知，，时，取得最小值，C正确；
，，，
，没有最小值．D错误．
故选：ABC．
【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查用二次函数的性质求最值．对于有前提条件的二元二次式的最值问题用代入法化为一元二次函数，然后由二次函数知识求得最值，是一种快速求解的方法，消元后注意剩下的元的取值范围．
12．已知函数，，对于任意的，，则（ ）
A．的图象过点和
B．在定义域上为奇函数
C．若当时，有，则当时，
D．若当时，有，则的解集为
【答案】AC
【解析】根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可；
【详解】解：因为函数，，对于任意的，，令，则，则，令，则，则，所以过点和，故A正确；
令，则，即，所以为偶函数，故B错误；
令，则，则当时，所以，又，则，即当时，，故C正确；
令，则，则，当时，所以，又，则，即当时，，因为是偶函数，所以时，，所以的解集为，故D错误；
故选：AC
【点睛】本题考查抽象函数的性质的应用，解答的关键是根据题干所给信息及需证明的性质合理利用特殊值法；
三、双空题
13．已知函数的定义域为，值域为，则函数的定义域为 ; 值域为 ．
【答案】
【分析】令求出的取值范围，即可得到的定义域，再根据函数图象的变换得到值域不变.
【详解】因为函数的定义域为，值域为，
对于函数，令，解得，即函数的定义域为，
而的图象可以由的图象向左平移个单位得到，
所以的值域与的值域相同，即为.
故答案为：；
四、填空题
14．函数的最大值与最小值之和为 ．
【答案】
【分析】去掉绝对值，根据一次函数的单调性得出最值，进而得出最大值与最小值之和.
【详解】解：由题意可得
当时，，此时函数单调递减，且，
又当时，，当时，，
则函数的最大值为，最小值为，，
故答案为：．
15．对于定义在R上的函数，有如下四个命题：
①若，则函数是奇函数；
②若，则函数不是偶函数；
③若，则函数是R上的增函数；
④若，则函数不是R上的减函数.
其中正确的命题有 .
【答案】②④
【分析】①③可以通过举反例判断；②④可以利用偶函数和减函数的定义判断得解.
【详解】解：①例如满足，但函数不是奇函数；故①错误
②对于定义在上的函数，满足（4），不满足偶函数的定义，则函数不是偶函数，故②正确；
③例如，（4），但函数在上不是增函数；故③错误；
④若（4），则函数不是上的减函数，故④正确.
故答案为：②④
16．若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意知，第一步函数单调递减，由复合函数单调性可知，第二步考虑函数定义域即可得到答案.
【详解】由题意知，第一步函数单调递减，由复合函数同增异减可知，第二步考虑函数定义域， 在恒成立， 得到
故答案为：.
五、解答题
17．已知二次函数，满足，．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数在区间上最小值为5，求实数的值．
【答案】(1)．
(2)或
【分析】（1）由，得，再由待定系数法得出函数的解析式；
（2）先由对称轴结合最值得出或，进而分类讨论这两种情况，结合二次函数的单调性得出实数的值．
【详解】（1）解：由，得，
由，得，
故，解得，
所以.
（2）由（1）得：，
则的图象的对称轴方程为，
最小值，故或（即或）
当时，最小值，解得，
当时，最小值，解得.
综上或.
18．已知函数是上的奇函数，时，．求：
(1)的解析式
(2)的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，由奇函数的定义得出，再由，得出的解析式；
（2）由结合反比例函数的单调性、奇函数的性质得出的值域．
【详解】（1）解：由题意可知，当时，，
当时，，
所以
（2）当时，，则，
当时，因为是上的奇函数，，
当时，，
所以函数的值域为．
19．求下列函数的值域：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由结合基本不等式得出值域；
（2）由换元法结合二次函数的性质得出值域.
【详解】（1）解：，故.
当且仅当时“”成立，值域为.
（2）设, 则.
，
对称轴为，由二次函数的性质可知，故值域为.
20．已知函数．
(1)若不等式在实数上有解，求实数的取值范围；
(2)当时，解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对进行分类讨论，再根据题设条件即可求出结果；
（2）利用含参不等式的解法，对进行分类讨论，即可求出结果.
【详解】（1）因为在上有解，
（1）当时，成立，
（2）当时，由，得到，解得，
（3）当时，在上恒有解，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）由，得到，因为，
（1）当时，得到，即上，此时不等式的解集为，
（2）当时，因为，
①当，，此时方程的两根 ，且有，
此时不等式的解集为或．
②当时，，此时不等式的解集为R ，
综上所述：
当，解集为；
当，解集为或；
当，解集为R.
21．若，（是大于的常数）
(1)当，比较与的大小；
(2)若函数的值域为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用作差法比大小；
（2）分别求得和时的值域，根据并集为，可得参数范围.
【详解】（1）由已知当时，，所以，，
所以，
所以；
（2）当时，，其取值的集合为，
当时，，
当且仅当即时，等号成立，
所以函数在上的取值集合，
又函数的值域为，即，
所以，
解得，
即.
22．（1）已知，求的最小值；
（2）已知，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）分、、讨论，结合图象求的最小值即可；
（2）分、、讨论结，合图象可得的最小值.
【详解】（1），
①当，，
②当，，
③当，，
故的最小值；
（2），
①当，，
②当，,
③当，，
令得：，
即时，，
同理时，,
综上所述：的最小值.