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2023-2024学年江苏省盐城市阜宁县高一上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年江苏省盐城市阜宁县高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．集合M＝{1,3，a}，N＝{2，a2}．若M∪N＝{1,2,3,4,16}，则a的值为
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【详解】∵M＝{1,3，a}，N＝{2，a2}，M∪N＝{1,2,3,4,16}，∴a=4，a2=16或a=16，a2=4，解得 a=4．
【解析】并集．
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据含有一个量词的否定的方法判断即可.
【详解】根据含有一个量词的否定，
命题“，”的否定为“，”.
故选：B.
3．下列各组函数中是相等函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】B
【解析】根据相等函数的定义，判断函数定义域和对应关系，即可判断.
【详解】解:选项中， 的定义域为：；的定义域为：，
所以两函数的定义域不同，则不是相等函数；
选项中，的定义域为：；定义域为：，
所以两函数的定义域不同，则不是相等函数；
选项中两函数的对应关系不同，所以不是相等函数；
故错误，
故选：B.
【点睛】本题考查相等函数的定义：两个函数相等，要求定义域和化到最简后的对应关系都要相等，两者缺一不可.
4．不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】利用分式不等式的解法解原不等式即可得到答案
【详解】解：由可得即，所以，
解得或，
所以不等式的解集是或，
故选：D
5．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n－1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为P＝24423－1，第19个梅森素数为Q＝24253－1，则下列各数中与最接近的数为(参考数据：lg2≈0.3) （ ）
A．1045B．1051
C．1056D．1059
【答案】B
【分析】根据题意，得到，再结合对数的运算公式，即可求解.
【详解】由第20个梅森素数为P＝24423－1，第19个梅森素数为Q＝24253－1，
可得，
令，则，可得，
又，所以，即，
所以最接近的数为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，以及指数幂与对数的运算性质的应用，其中解答中得出的表达式，结合指数幂与对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查运算能力.
6．函数的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作出二次函数图象，截取的图象，观察函数值的取值范围.
【详解】
函数对称轴为，作出函数的图象，观察图象可知
，，
所以函数的值域为
故选：B.
7．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为4，的“孪生函数”共有
A．4个B．5个C．8个D．9个
【答案】D
【分析】根据值域可得定义域中应该含有的元素，分类列出可得不同函数的种数．
【详解】令，则；令，则或；令，则或；
设定义域为，中的自变量对于的函数值为，则可取，共有1种情况；同理中的自变量对于的函数值为，则可取，也可取，也可以取，共有3种情况，中的自变量对于的函数值为，则可取，也可取，也可以取，共有3种情况，故不同的定义域的个数为种，它们分别为：
．，，；
．，，；
，故不同函数的种数为9．
【点睛】函数有三要素即函数的定义域、对应法则和值域，如果知道前两者，则值域是唯一确定的，如果知道值域和对应法则，则定义域不确定，需结合对应法则考虑原像的不同情况．
8．若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】对二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一端点的范围，从而得到实数的取值范围.
【详解】由恰有两个整数解，即恰有两个整数解，
所以，解得或，
①当时，不等式的解集为，因为，
所以两个整数解，则，即，解得；
②当时，不等式的解集为，因为，
所以两个整数解，则，即，解得，
综上所述，实数的取值范围为或.
故选：B.
二、多选题
9．下列式子中正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．
【答案】AD
【分析】根据指对数互化以及指对数的运算性质判断四个选项即可.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，则，故C错误；
对于D，，故D正确，
故选：AD.
10．已知，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质判断A，C；作差法判断B；借助于幂函数的单调性判断D.
【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误；
对于B，，因为，所以，
即，故B正确；
对于C，因为，，所以，故C错误；
对于D，因为，，根据幂函数在上单调递增，
所以，故D正确，
故选：BD.
11．若，则成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】先求解出对应的解集，根据条件分析，选项对应的集合应是对应集合的真子集，从而解出结果.
【详解】解：设对应的集合为，使成立的一个充分不必要条件对应的集合为，
由解得，，故，
因为要求使成立的一个充分不必要条件，
所以且，
满足上述条件的选项有BC.
故选：BC.
12．已知函数和在上的图象如图所示，给出下列四个命题，其中正确的命题有（ ）
A．方程有且仅有6个根B．方程有且仅有3个根
C．方程有且仅有4个根D．方程有且仅有4个根
【答案】AD
【分析】结合函数图象，分析函数与根的情况即可.
【详解】对于A，由题图知方程有三个根，，，，
由题图知方程有两个不同的根，有两个不同的根，有两个不同的根，
则方程有且仅有6个根，故A正确；
对于B，由题图知方程有两个根，，，
由题图只有1个根，方程有三个不同的根，
则方程有且仅有4个根，故B错误；
对于C，由图知只有1个根，方程有三个不同的根，方程只有1个根，
则方程有且仅有5个根，故C错误；
对于D，由图知方程有两个不同的根，方程有两个不同的根，
则方程有且仅有4个根，故D正确，
故选：AD.
三、填空题
13．集合满足，则满足条件的集合的个数为 .
【答案】7
【分析】据子集和真子集的定义即可写出所有满足条件的集合，从而求出满足题意的集合的个数．
【详解】根据题意，集合至少含有0,2两个元素，但集合，
所以满足条件的集合为，共7个，
所以满足条件的集合的个数为7，
故答案为：7.
14．已知，则 .
【答案】
【分析】根据函数的解析式由内而外逐层可计算出的值.
【详解】因为，则，故.
故答案为：.
15．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】结合函数特点，利用偶次开方被开方数大于等于0、分式分母不为0、对数真数大于0求解即可.
【详解】要使有意义，只需满足
解得且，
所以定义域为，
故答案为：.
16．已知，若，，则 .
【答案】9
【解析】由对数的运算性质解并整理得，由可求出的值.
【详解】解：，整理得，
解得或，因为，所以，则，即，
因为，所以，所以，解得或，因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：9.
【点睛】关键点睛：本题主要考查对数运算和指数运算，解题的关键是由得出，再根据指数运算求解.
四、解答题
17．已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）时，结合一元二次不等式的解法化简集合，，由此能求出．
（2）由可得，得或，由此能求出实数的取值范围．
【详解】（1）由题可得：
当时，
或
则
（2）因为，则，
因为集合不可能是空集，
所以：或
即：或
所以的取值范围为
【点睛】本题主要考查了不等式，求集合的交集、集合的子集，属于容易题，这类题型尽管比较容易，但是在解题过程中也要注意三点：一要看清楚是求“”还是求“”；二是在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到（这是一个易错点）；三是在化简集合的过程中要结合不等式的性质与解法.
18．化简求值：
（1）
（2）
【答案】（1）（2）
【详解】试题分析：(1)根据指数幂的运算性质计算即可,
(2)根据对数的运算性质计算即可.
试题解析：（1）
（2） lg25+lg2+-=lg5+lg2+-2（）
=1+-2=
19．已知关于的不等式的解集为.
(1)求实数，的值；
(2)当，，且满足时，求的最小值.
【答案】(1)，.
(2)24
【分析】（1）根据一元二次不等式的解与方程的根之间的关系即可求解，
（2）根据乘“1”法，即可结合基本不等式求解.
【详解】（1）∵不等式的解集为，
∴，且，为方程的两个根，故，
解得或（舍去），
（2）当，时，由（1）得，
∴，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为24
20．为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）.
(1)将表示为的函数，并写出的取值范围；
(2)当为多长时，取得最大值？并求出最大值.
【答案】(1)，
(2)当为时，取得最大值，最大值为
【分析】（1）根据题意表示出的面积，并根据的每条边长均不超过20米确定好的取值范围.
（2）对（1）中的结果，利用基本不等式求最大值.
【详解】（1）因为，所以，，
因为，，所以.
（2）
当且仅当，即时，等号成立，
所以当为时，取得最大值，最大值为.
21．已知函数
(1)若不等式在有解，求的取值范围；
(2)若不等式的解集为，集合，若“”是“”的充分条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意整理可得在有解，根据存在性问题结合基本不等式运算求解；
（2）由题意可得在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数运算求解.
【详解】（1）因为不等式在有解，即，，
整理得在有解，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
可得，即，
所以的取值范围.
（2）因为开口向上，，
不等式的解集为，集合，若“”是“”的充分条件，
集合是集合的子集，
即在上恒成立，则，解得：，
所以的取值范围.
22．已知关于的不等式的解集为；
(1)若,求的取值范围；
(2)若存在两个不相等负实数，使得，求实数的取值范围；
(3)是否存在实数，满足：“对于任意，都有；对于任意的，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，3
【分析】（1）讨论二次项系数和不为0时，求出原不等式的解集为R时k的取值范围；
（2）若存在两个不相等负实数，使得，即和是方程的两根，由判别式及韦达定理求解即可；
（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可．
【详解】（1）解：当时，解得或，
当时，不等式化为1＞0，
∴时，解集为R，
当时，不等式化为，对任意实数x不等式不成立，
当时，，
解得：,
综上，的取值范围是；
（2）解：若存在两个不相等负实数，使得，
所以方程的两根分别为和,
所以，
解得：；
（3）解：根据题意，得出解集，；
当时，解得或，
时，不等式的解集为，满足条件；
时，1＞0恒成立，不满足条件；
当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；
当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；
综上，满足条件的值为3.
一、单选题
1．集合M＝{1,3，a}，N＝{2，a2}．若M∪N＝{1,2,3,4,16}，则a的值为
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【详解】∵M＝{1,3，a}，N＝{2，a2}，M∪N＝{1,2,3,4,16}，∴a=4，a2=16或a=16，a2=4，解得 a=4．
【解析】并集．
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】根据含有一个量词的否定的方法判断即可.
【详解】根据含有一个量词的否定，
命题“，”的否定为“，”.
故选：B.
3．下列各组函数中是相等函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】B
【解析】根据相等函数的定义，判断函数定义域和对应关系，即可判断.
【详解】解:选项中， 的定义域为：；的定义域为：，
所以两函数的定义域不同，则不是相等函数；
选项中，的定义域为：；定义域为：，
所以两函数的定义域不同，则不是相等函数；
选项中两函数的对应关系不同，所以不是相等函数；
故错误，
故选：B.
【点睛】本题考查相等函数的定义：两个函数相等，要求定义域和化到最简后的对应关系都要相等，两者缺一不可.
4．不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】利用分式不等式的解法解原不等式即可得到答案
【详解】解：由可得即，所以，
解得或，
所以不等式的解集是或，
故选：D
5．素数也叫质数，法国数学家马林·梅森是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n－1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为P＝24423－1，第19个梅森素数为Q＝24253－1，则下列各数中与最接近的数为(参考数据：lg2≈0.3) （ ）
A．1045B．1051
C．1056D．1059
【答案】B
【分析】根据题意，得到，再结合对数的运算公式，即可求解.
【详解】由第20个梅森素数为P＝24423－1，第19个梅森素数为Q＝24253－1，
可得，
令，则，可得，
又，所以，即，
所以最接近的数为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了函数的实际应用，以及指数幂与对数的运算性质的应用，其中解答中得出的表达式，结合指数幂与对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查运算能力.
6．函数的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作出二次函数图象，截取的图象，观察函数值的取值范围.
【详解】
函数对称轴为，作出函数的图象，观察图象可知
，，
所以函数的值域为
故选：B.
7．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为4，的“孪生函数”共有
A．4个B．5个C．8个D．9个
【答案】D
【分析】根据值域可得定义域中应该含有的元素，分类列出可得不同函数的种数．
【详解】令，则；令，则或；令，则或；
设定义域为，中的自变量对于的函数值为，则可取，共有1种情况；同理中的自变量对于的函数值为，则可取，也可取，也可以取，共有3种情况，中的自变量对于的函数值为，则可取，也可取，也可以取，共有3种情况，故不同的定义域的个数为种，它们分别为：
．，，；
．，，；
，故不同函数的种数为9．
【点睛】函数有三要素即函数的定义域、对应法则和值域，如果知道前两者，则值域是唯一确定的，如果知道值域和对应法则，则定义域不确定，需结合对应法则考虑原像的不同情况．
8．若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】对二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端点范围，结合不等式恰有两个整数解求另一端点的范围，从而得到实数的取值范围.
【详解】由恰有两个整数解，即恰有两个整数解，
所以，解得或，
①当时，不等式的解集为，因为，
所以两个整数解，则，即，解得；
②当时，不等式的解集为，因为，
所以两个整数解，则，即，解得，
综上所述，实数的取值范围为或.
故选：B.
二、多选题
9．下列式子中正确的是（ ）
A．B．若，则
C．若，则D．
【答案】AD
【分析】根据指对数互化以及指对数的运算性质判断四个选项即可.
【详解】对于A，，，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，则，故C错误；
对于D，，故D正确，
故选：AD.
10．已知，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根据不等式的性质判断A，C；作差法判断B；借助于幂函数的单调性判断D.
【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误；
对于B，，因为，所以，
即，故B正确；
对于C，因为，，所以，故C错误；
对于D，因为，，根据幂函数在上单调递增，
所以，故D正确，
故选：BD.
11．若，则成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】先求解出对应的解集，根据条件分析，选项对应的集合应是对应集合的真子集，从而解出结果.
【详解】解：设对应的集合为，使成立的一个充分不必要条件对应的集合为，
由解得，，故，
因为要求使成立的一个充分不必要条件，
所以且，
满足上述条件的选项有BC.
故选：BC.
12．已知函数和在上的图象如图所示，给出下列四个命题，其中正确的命题有（ ）
A．方程有且仅有6个根B．方程有且仅有3个根
C．方程有且仅有4个根D．方程有且仅有4个根
【答案】AD
【分析】结合函数图象，分析函数与根的情况即可.
【详解】对于A，由题图知方程有三个根，，，，
由题图知方程有两个不同的根，有两个不同的根，有两个不同的根，
则方程有且仅有6个根，故A正确；
对于B，由题图知方程有两个根，，，
由题图只有1个根，方程有三个不同的根，
则方程有且仅有4个根，故B错误；
对于C，由图知只有1个根，方程有三个不同的根，方程只有1个根，
则方程有且仅有5个根，故C错误；
对于D，由图知方程有两个不同的根，方程有两个不同的根，
则方程有且仅有4个根，故D正确，
故选：AD.
三、填空题
13．集合满足，则满足条件的集合的个数为 .
【答案】7
【分析】据子集和真子集的定义即可写出所有满足条件的集合，从而求出满足题意的集合的个数．
【详解】根据题意，集合至少含有0,2两个元素，但集合，
所以满足条件的集合为，共7个，
所以满足条件的集合的个数为7，
故答案为：7.
14．已知，则 .
【答案】
【分析】根据函数的解析式由内而外逐层可计算出的值.
【详解】因为，则，故.
故答案为：.
15．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】结合函数特点，利用偶次开方被开方数大于等于0、分式分母不为0、对数真数大于0求解即可.
【详解】要使有意义，只需满足
解得且，
所以定义域为，
故答案为：.
16．已知，若，，则 .
【答案】9
【解析】由对数的运算性质解并整理得，由可求出的值.
【详解】解：，整理得，
解得或，因为，所以，则，即，
因为，所以，所以，解得或，因为，所以，
所以，
所以.
故答案为：9.
【点睛】关键点睛：本题主要考查对数运算和指数运算，解题的关键是由得出，再根据指数运算求解.
四、解答题
17．已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）时，结合一元二次不等式的解法化简集合，，由此能求出．
（2）由可得，得或，由此能求出实数的取值范围．
【详解】（1）由题可得：
当时，
或
则
（2）因为，则，
因为集合不可能是空集，
所以：或
即：或
所以的取值范围为
【点睛】本题主要考查了不等式，求集合的交集、集合的子集，属于容易题，这类题型尽管比较容易，但是在解题过程中也要注意三点：一要看清楚是求“”还是求“”；二是在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到（这是一个易错点）；三是在化简集合的过程中要结合不等式的性质与解法.
18．化简求值：
（1）
（2）
【答案】（1）（2）
【详解】试题分析：(1)根据指数幂的运算性质计算即可,
(2)根据对数的运算性质计算即可.
试题解析：（1）
（2） lg25+lg2+-=lg5+lg2+-2（）
=1+-2=
19．已知关于的不等式的解集为.
(1)求实数，的值；
(2)当，，且满足时，求的最小值.
【答案】(1)，.
(2)24
【分析】（1）根据一元二次不等式的解与方程的根之间的关系即可求解，
（2）根据乘“1”法，即可结合基本不等式求解.
【详解】（1）∵不等式的解集为，
∴，且，为方程的两个根，故，
解得或（舍去），
（2）当，时，由（1）得，
∴，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为24
20．为了增强生物实验课的趣味性，丰富生物实验教学内容，某校计划沿着围墙（足够长）划出一块面积为100平方米的矩形区域修建一个羊驼养殖场，规定的每条边长均不超过20米.如图所示，矩形为羊驼养殖区，且点，，，四点共线，阴影部分为1米宽的鹅卵石小径.设（单位：米），养殖区域的面积为（单位：平方米）.
(1)将表示为的函数，并写出的取值范围；
(2)当为多长时，取得最大值？并求出最大值.
【答案】(1)，
(2)当为时，取得最大值，最大值为
【分析】（1）根据题意表示出的面积，并根据的每条边长均不超过20米确定好的取值范围.
（2）对（1）中的结果，利用基本不等式求最大值.
【详解】（1）因为，所以，，
因为，，所以.
（2）
当且仅当，即时，等号成立，
所以当为时，取得最大值，最大值为.
21．已知函数
(1)若不等式在有解，求的取值范围；
(2)若不等式的解集为，集合，若“”是“”的充分条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意整理可得在有解，根据存在性问题结合基本不等式运算求解；
（2）由题意可得在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数运算求解.
【详解】（1）因为不等式在有解，即，，
整理得在有解，
又因为，当且仅当，即时，等号成立，
可得，即，
所以的取值范围.
（2）因为开口向上，，
不等式的解集为，集合，若“”是“”的充分条件，
集合是集合的子集，
即在上恒成立，则，解得：，
所以的取值范围.
22．已知关于的不等式的解集为；
(1)若,求的取值范围；
(2)若存在两个不相等负实数，使得，求实数的取值范围；
(3)是否存在实数，满足：“对于任意，都有；对于任意的，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，3
【分析】（1）讨论二次项系数和不为0时，求出原不等式的解集为R时k的取值范围；
（2）若存在两个不相等负实数，使得，即和是方程的两根，由判别式及韦达定理求解即可；
（3）根据题意得出解集，讨论的取值，求出原不等式的解集，判断是否满足条件即可．
【详解】（1）解：当时，解得或，
当时，不等式化为1＞0，
∴时，解集为R，
当时，不等式化为，对任意实数x不等式不成立，
当时，，
解得：,
综上，的取值范围是；
（2）解：若存在两个不相等负实数，使得，
所以方程的两根分别为和,
所以，
解得：；
（3）解：根据题意，得出解集，；
当时，解得或，
时，不等式的解集为，满足条件；
时，1＞0恒成立，不满足条件；
当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；
当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件；
综上，满足条件的值为3.
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