2022-2023学年江西省赣州市于都县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省赣州市于都县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.奥运火炬时隔14年再次在“鸟巢”点燃，北京由此成为世界上首个既举办夏季奥运会又举办冬季奥运会的“双奥之城”，下列各届冬奥会会徽图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.计算a2⋅a2的结果是( )
A. a4B. a3C. a2D. a
3.光刻机采用类似照片冲印的技术，把掩膜版上的精细图形通过光线的曝光印制到硅片上，是制造芯片的核心装备．ArF准分子激光是光刻机常用光源之一，其波长为0.000000193米，该光源波长用科学记数法表示为( )
A. 193×106米B. 193×10−9米C. 1.93×10−7米D. 1.93×10−9米
4.若一个三角形的三边长分别为5，8，a，则a的值可能是( )
A. 6B. 3C. 2D. 14
5.如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE=5，点F是射线OB上的任意一点，则DF的长度不可能是( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
6.如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a+b)(a−b)=a2−b2D. (ab)2=a2b2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.因式分解：m2+3m= ．
8.如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是 °.
9.如图，点A在y轴上，△AOB是等腰三角形，AB=OB，点B关于y轴的对称点的坐标为(−5,3)，则点A的坐标为______．
10.计算：x−1x−2−1x−2=______
11.如图，等边△ABC中，E是AC边的中点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点，若AD=6，则EP+CP的最小值为
12.在平面直角坐标系中，点A(10,0)、B(0,3)，以AB为边在第一象限作等腰直角△ABC，则点C的坐标为______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
13.先化简，再求值(1x−1+1x+1)÷x+2x2−1，其中x=2．
四、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
计算：
(1)(x+3)(x−7)；
(2)(−xy2)⋅(2xy)3．
15.(本小题6分)
如图，已知BE=CD，∠B=∠C，求证：△ABE≌△ACD．
16.(本小题6分)
如图，△ABC中，AB=AC，AD/​/CB，求证：AD平分∠CAE．
17.(本小题6分)
如图，已知矩形ABCD，请按要求完成下列作图：
(1)在图中用尺规做出△ABC关于AC的轴对称图形△AEC(保留作图痕迹)；
(2)在图(1)的基础上，仅用无刻度直尺做出线段AC的垂直平分线．
18.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，A(−2,2)，B(−3,−2)
(1)若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为______．
(2)将点B先向右平移5个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为______．
(3)求A，B，C，D组成的四边形ABCD的面积．
19.(本小题8分)
王老师家买了一套新房，其结构如图所示，(单位：米)他打算将卧室铺上木地板，其余部份铺上地砖．
(1)木地板和地砖分别需要多少平方米？
(2)如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米3x元，那么王老师需要花多少钱？
20.(本小题8分)
如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F．
(1)求证：△AEF是等边三角形；
(2)求证：BE=EF．
21.(本小题9分)
某危险品工厂采用甲型、乙型两种机器人代替人力搬运产品．甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少kg产品？
根据以上信息，解答下列问题．
(1)小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为______．
小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为______．
(2)请你按照(1)中小华同学的解题思路，写出完整的解答过程．
22.(本小题9分)
下面是小烨同学对多项式(x2−4x+2)(x2−4x+6)+4进行因式分解的过程，
解：设x2−4r=y
原式=(y+2)(y+6)+4第一步
=y2+8y+16第二步
=(y+4)2第三步
=(x2−4x+4)2第四步
回答下列问题：
(1)小烨同学第二步到第三步运用了______ 法进行因式分解的；
(2)小烨同学因式分解的结果是否彻底？______ (填“彻底”或“不彻底”)，若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ ．
(3)以上方法叫做“换元法”，请你模仿以上方法对(m2−2m)(m2−2m+2)+1进行因式分解．
23.(本小题12分)
【教材呈现】如图1，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=8，AC=6，D是BC的中点，求BC边上的中线BC的取值范围．
【尝试、感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到E，使DE=AD，请补充完整证明“△ADC≌△EDB”的推理过程．
(1)求证：△ADC≌△EDB．
证明：∵延长AD到点E，使DE=AD，
在△ADC和△EDB中，
∵AD=ED(已作)，
∠ADC=∠EDB(______ )，
CD=BD(______ )，
∴△ADC≌△EDB(______ ).
(2)探究得出AD的取值范围是______ ；
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
【问题解决】
(3)如图3，△ABC中，∠B=90°，AB=2，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=4，且∠ADE=90°，求AE的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：a2⋅a2=a2+2=a4．
故选：A．
根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
本题考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：0.000000193=1.93×10−7．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】解：根据三角形的三边关系，得36在第三边长的取值范围内．
故选：A．
根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围，再看哪个选项内的数在这个范围内即可．
考查三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
5.【答案】A
【解析】解：过D点作DH⊥OB于H，如图，
∵OD平分∠AOB，DE⊥AO，DH⊥OB于H，
∴DH=DE=5，
∴DF≥5．
故选：A．
过D点作DH⊥OB于H，根据角平分线的性质得到DH=DE=5，再利用垂线段最短得到DF≥5，然后对各选项进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．掌握角平分线的性质是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键．
左边大正方形的边长为(a+b)，面积为(a+b)2，由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，根据面积相等即可得出答案．
【解答】
解：根据题意，大正方形的边长为a+b，面积为(a+b)2，
由边长为a的正方形，2个长为a宽为b的长方形，边长为b的正方形组成，
所以(a+b)2=a2+2ab+b2．
故选：A．
7.【答案】m(m+3)
【解析】【分析】
直接利用提取公因式法分解因式即可．
此题考查的是提公因式法分解因式，能够得到公因式是解决此题的关键．
【解答】
解：原式=m(m+3)．
故答案为：m(m+3)．
8.【答案】540
【解析】解：根据题意可得，
五边形的内角和为(5−2)×180°=540°．
故答案为：540．
应用多边形内角公式(n−2)×180°进行计算即可得出答案．
本题主要考查了多边形内角和，熟练掌握多边形内角和的计算方法进行求解是解决本题的关键．
9.【答案】(0,6)
【解析】解：如图所示，过B作BC⊥AO于C，
由题意可得点C的坐标为(0,3)，
由等腰三角形的性质可得点A的坐标为(0,6)．
故答案为：(0,6)．
过B作BC⊥AO于C，依据等腰三角形的性质即可得到点O的坐标，再根据轴对称的性质，即可得出点A的坐标．
本题主要考查了等腰三角形的性质，解决问题的关键是掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．
10.【答案】1
【解析】解：原式=x−1−1x−2=1．
故答案为：1．
直接利用分式的加减运算法则计算即可．
此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键．
11.【答案】6
【解析】解：作点E关于AD的对称点F，连接CF，
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴点E关于AD的对应点为点F，
∴CF就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等边三角形，E是AC边的中点，
∴F是AB的中点，
∴CF是△ABC的中线，
∴CF=AD=6，
即EP+CP的最小值为6，
故答案为6．
要求EP+CP的最小值，需考虑通过作辅助线转化EP，CP的值，从而找出其最小值求解．
本题考查了等边三角形的性质和轴对称等知识，熟练掌握等边三角形和轴对称的性质是本题的关键．
12.【答案】(13,10)或(3,13)或(132,132)
【解析】解：当AB⊥AC时，作CH⊥OA于H，
∵A(10,0)、B(0,3)，
∴OA=10，OB=3，
∵∠OAB+∠CAH=90°，∠OAB+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠CAH，
∵∠AOB=∠AHC，AB=AC，
∴△AOB≌△CHA(AAS)，
∴AH=OB=3，CH=OA=10，
∴C(13,10)；
当AB⊥BC时，作CH⊥y轴于H，
同理可得△AOB≌△BHCAAS)，
∴CH=OB=3，BH=OA=10，
∴C(3,13)；
当AC⊥BC时，过C作CE⊥y轴于E，作AD⊥EC于D，
同理可得，△BCE≌△CAD(AAS)，
∴CE=AD，CD=BE，
设BE=CD=x，则OE=AD=x+3，
∴CE=x+3，
∴DE=x+3+x=10，
∴x=72，
∴C(132,132)，
综上：C(13,10)或(3,13)或(132,132).
分三种情形，分别利用一线三等角构造全等三角形可解决．
本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键，同时渗透了分类讨论思想．
13.【答案】解：(1x−1+1x+1)÷x+2x2−1
=[x+1+x−1(x+1)(x−1)]÷x+2(x+1)(x−1)
=2x(x+1)(x−1)⋅(x+1)(x−1)x+2
=2xx+2，
当x=2时，原式=2×22+2=1．
【解析】先把括号内通分和除法化为乘法，再把分母因式分解，然后约分后再通分得到最简结果，最后再把x的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，解题关键是在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
14.【答案】解：(1)(x+3)(x−7)
=x2−7x+3x−21
=x2−4x−21；
(2)(−xy2)⋅(2xy)3
=−xy2⋅8x3y3
=−8x1+3y2+3
=−8x4y5．
【解析】(1)根据多项式乘多项式运算法则进行计算即可；
(2)根据积的乘方和单项式乘单项式运算法则进行计算即可．
本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握多项式乘多项式运算法则，积的乘方和单项式乘单项式运算法则，准确计算．
15.【答案】证明：在△ABE与△ACD中，
∠B=∠C ∠A=∠A BE=CD ，
∴△ABE≌△ACD(AAS)．
【解析】利用AAS即可证明△ABE≌△ACD．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
16.【答案】解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD/​/CB，
∴∠B=∠EAD，∠C=∠CAD，
∴∠EAD=∠CAD，
∴AD平分∠CAE．
【解析】本题主要利用等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质进行解答．
本题考查了等腰三角形的性质：两底角相等；平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等．
17.【答案】解：(1)如图1，以点B为圆心，任意长为半径画弧，与AC交于M、N两点，以M、N为圆心，大于12MN为半径画弧，两弧交于点Q，连接BQ，交AC于点P，以点P为圆心，BP为半径画弧，交PQ延长线于点E，连接AE、CE，则△AEC为所求作的三角形；

(2)连接BD交AC于点O，设F为AE、CD的交点，连接FO，则FO为所求作的AC的垂直平分线，如图2所示：

∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADC=∠ABC=90°，AD=BC，AO=CO，
根据轴对称可知，∠AEC=∠ABC=90°，BC=CE，
∴∠ADF=∠CEF，AD=CE，
∵∠AFD=∠CFE，
∴△AFD≌△CFE，
∴AF=CF，
∵AO=CO，
∴OF垂直平分AC．
【解析】(1)作点B关于AC的对称点E，连接AE、CE即可；
(2)连接BD交AC于点O，设F为AE、CD的交点，连接FO即可．
本题主要考查了矩形的性质，作轴对称图形，尺规作垂线，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握到线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上．
18.【答案】(2,2) (2,1)
【解析】解：(1)若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为(2,2)；
(2)将点B先向右平移5个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为(2,−1)；
(3)如图，
S四边形ABCD=S矩形BFDE−S△ABE−S△BCF=5×4−12×1×4−12×1×5=312．
(1)根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案；
(2)根据点向右平移加，向上平移加，可得答案；
(3)根据图形割补法，可得矩形BFDE，根据面积的和差，可得答案．
本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
19.【答案】解：(1)卧室的面积是：2b(4a−2a)=4ab(平方米)，
厨房、卫生间、客厅的面积是：b⋅(4a−2a−a)+a⋅(4b−2b)+2a⋅4b=ab+2ab+8ab=11ab(平方米)，
即木地板需要4ab平方米，地砖需要11ab平方米；
(2)11ab⋅x+4ab⋅3x=11abx+12abx=23abx(元)
即王老师需要花23abx元．
【解析】(1)根据图形可以分别表示出卧室的面积和厨房、卫生间、客厅的面积，从而可以解答本题；
(2)根据(1)中的面积和题目中的信息，可以求得王老师需要花多少钱．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
20.【答案】证明：(1)∵∠BAC=90°，∠C=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF=30°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠AEF=∠BED=90°−∠CBF=60°，
∵∠AFB=90°−∠ABF=30°，
∴∠AFE=∠AEF=60°，
∴△AEF是等边三角形；
(2)∵∠ADB=90°，∠ABC=60°，
∴∠BAE=∠ABF=30°，
∴AE=BE，
由(1)知△AEF是等边三角形，
∴AE=EF，
∴BE=EF．
【解析】(1)由∠BAC=90°，∠C=30°可得∠ABC=60°，根据BF平分∠ABC得∠CBF=∠ABF=30°，根据∠AEF=∠BED=90°−∠CBF=60°，∠AFB=90°−∠ABF=60°，得∠AFE=∠AEF=60°，即可得△AEF是等边三角形；
(2)可得∠BAE=∠ABF=30°，则AE=BE，由(1)知△AEF是等边三角形，得AE=EF，即可证明．
本题主要考查了直角三角形的性质，角平分线的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，掌握数形结合思想是解题的关键．
21.【答案】解：(1)800x+10=600x；800y=600y+10；
(2)设乙型机器人每小时搬运xkg产品，根据题意可得：
800x+10=600x，
解得：x=30，
经检验，x=30是原方程的解，且符合题意，
答：乙型机器人每小时搬运30kg产品．
【解析】【分析】
此题主要考查了分式方程的应用，根据题意正确得出等量关系是解题关键．
(1)根据甲型机器人搬运800kg所用时间与乙型机器人搬运600kg所用时间相等，以及甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运10kg，分别得出等式求出答案；
(2)利用分式方程的解法进而计算得出答案．
【解答】
解：(1)小华同学设乙型机器人每小时搬运xkg产品，可列方程为：
800x+10=600x；
小惠同学设甲型机器人搬运800kg所用时间为y小时，可列方程为：
800y=600y+10；
故答案为：800x+10=600x；800y=600y+10；
(2)见答案．
22.【答案】两数和的完全平方公式 不彻底 (x−2)4
【解析】解：(1)第二步到第三步使用的是公式(a+b)2=a2+2ab+b2，
即两数和的平方，
故答案为：两数和的完全平方公式；
(2)∵(x2−4x+4)2=(x−2)4，
∴该同学因式分解的结果不彻底，因式分解的最后结果是(x−2)4，
故答案为：不彻底，(x−2)4；
(3)(m2−2m)(m2−2m+2)+1进
设m2−2m=y，
原式=y(y+2)+1
=y2+2y+1
=(y+1)2
=(m2−2m+1)2
=(m−1)4．
(1)完全平方式是两数的和或差的平方，等于这两数的平方和与这两个数积的两倍的和或差；
(2)将第四步用完全平方公式法继续进行因式分解即可；
(3)按照例题的分解方法进行分解即可．
本题考查了运用公式法分解因式和学生的模仿理解能力，按照提供的方法和样式解答即可，难度中等．
23.【答案】对顶角相等 中点定义 SAS 1【解析】(1)证明：∵延长AD到点E，使DE=AD，如图1所示：
在△ADC和△EDB中，
∵AD=ED(已作)，
∠ADC=∠EDB(对顶角相等)，
CD=BD(中点定义)，
∴△ADC≌△EDB( SAS)；
故答案为：对顶角相等；中点定义；SAS；
(2)解：由(1)知，△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，8−6即2∴1故答案为：1(3)解：延长AD交EC的延长线于F，如图2所示：
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ABD=∠FCD=90°，
在△ABD和△FCD中，
∠ABD=∠FCDBD=CD∠ADB=∠FDC，
∴△ABD≌△FCD(ASA)，
∴CF=AB=2，AD=DF，
∵∠ADE=90°，
∴ED垂直平分AF，
∴AE=EF，
∵EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6，
∴AE=6．
(1)根据SAS直接证明△ADC≌△EDB即可；
(2)根据三角形三边关系得出AD的取值范围即可；
(3)证明△ABD≌△FCD(ASA)，得出CF=AB=2，AD=DF，证明ED垂直平分AF，得出AE=EF，根据EF=CE+CF=CE+AB=4+2=6即可求出AE．
本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，垂直平分线的定值，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．