2022-2023学年江西省赣州市经开区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省赣州市经开区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江西省赣州市经开区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若 x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围(    )
A. x≥2 B. x≤2 C. x>2 D. x<2
2. 下列式子中，表示y是x的正比例函数的是(    )
A. y=3x2 B. y=3x C. y=x3 D. y2=3x
3. 如图，A，C之间隔有一湖，在与AC方向成90°角的CB方向上的点B处测得AB=50m，BC=40m，则A，C之间的距离为(    )
A. 30m
B. 40m
C. 50m
D. 60m
4. 水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的重量的平均数和方差分别是x1−，S12，该顾客选购的橘子的重量的平均数和方差分别是x2−，S22，则下列结论一定成立的是(    )
A. x1−>x2− B. x1−=x2− C. S12>S22 D. S12=S22
5. 在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点(不与点B，D重合).下列条件中，无法判断四边形AECF一定为平行四边形的是(    )
A. AE//CF B. AE=CF
C. BE=DF D. ∠BAE=∠DCF
6. 小明从家出发沿笔直的公路去图书馆，在图书馆阅读书报后按原路回到家.如图，反映了小明离家的距离y(单位：km)与时间t(单位：h)之间的对应关系.下列描述错误的是(    )
A. 小明家距图书馆3km
B. 小明在图书馆阅读时间为2h
C. 小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h
D. 小明去图书馆的速度比回家时的速度快

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
7. ( 3)2=______．
8. 一次函数y=2x−3的图象不经过第______象限．
9. 如图，三位同学分别站在一个直角三角形的三个直角顶点处做投圈游戏，目标物放在斜边AC的中点O处，已知AC=6m，则点B到目标物的距离是______m.

10. 我国古代数学家赵爽巧妙地用“弦图”证明了勾股定理，标志着中国古代的数学成就.如图，小颖同学把图1中长和宽分别6和4的两个全等矩形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个全等的直角三角形拼成如图2所示的“赵爽弦图”，则图2中小正方形ABCD的面积为______ ．


11. 如图，已知一次函数y=kx+3和y=−x+6的图象交于点P(m,4)，则关于x的不等式kx+3<−x+6的解是______．


12. 如图，点E在正方形ABCD的对角线BD上，∠BAE=30°，若点F在正方形ABCD的边上，且AE=EF，则∠AEF的度数为______ ．


三、解答题（本大题共11小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13. (本小题6.0分)
(1)计算：(2 48−3 27)÷ 6；
(2)如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且∠1=∠2.求证：四边形ABCD是矩形．

14. (本小题6.0分)
某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为100分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示：
候选人
通识知识
专业知识
实践能力
甲
80
90
85
乙
90
85
85
(1)如果学校认为这三项素质测试成绩同等重要，从他们的成绩看，______ 将被录取；(填“甲”或“乙”)
(2)如果学校根据实际需要，将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按2：5：3的比例确定最终成绩，请计算甲、乙两人各自的最终成绩，确定谁将被录取．
15. (本小题6.0分)
已知x= 3+1，y= 3−1，求下列各式的值：
(1)x2+2xy+y2；
(2)x2−y2．
16. (本小题6.0分)
图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，请仅用无刻度直尺分别按要求画出图形．

(1)在图1中画出以AB为边的矩形ABCD，且点C，D均在格点上；
(2)在图2中画出以AB为边的菱形ABEF，且点E，F均在格点上．
17. (本小题6.0分)
已知一次函数的图象过点(3,5)与(−4,−9)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)若将这个一次函数的图象向上平移3个单位，求平移后的图象与x轴的交点坐标．
18. (本小题8.0分)
如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
(1)求证：△BAE≌△CDE；
(2)求∠BEC的度数．

19. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC中AB=AC，BC=10，D是AC上一点，且CD=6，BD=8．
(1)求证：△BDC是直角三角形；
(2)求AB的长．

20. (本小题8.0分)
“华罗庚数学奖”是中国三大顶尖数学奖项之一，为激励中国数学家在发展中国数学事业中做出突出贡献而设立.小华对截止到2023年第十六届“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄(单位：岁)数据进行了收集、整理和分析，下面是部分信息．
a.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄统计图(数据分成5组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x<100)；

b.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄在60≤x<70这一组的是：
63 65 65 65 65 66 67 68 68 68 69 69 69 69
c.“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄数据的平均数、中位数、众数如下：
平均数
中位数
众数
71.2
m
65.69
根据以上信息，回答下列问题：
(1)截止到第十六届共有______ 人获得“华罗庚数学奖”，并补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
(2)m= ______ ，第十六届“华罗庚数学奖”得主徐宗本院士获奖时的年龄为68岁，他的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄______ (填“小”或“大”)；
(3)根据以上统计图表描述“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄分布情况．
21. (本小题9.0分)
如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B，E分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．
(1)求证：四边形BFEC是平行四边形；
(2)若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当四边形BFEC是菱形时，求AF的长．

22. (本小题9.0分)
城乡学校集团化办学已成为西宁教育的一张名片．“五四”期间，西宁市某集团校计划组织乡村学校初二年级200名师生到集团总校共同举办“十四岁集体生日”.现需租用A，B两种型号的客车共10辆，两种型号客车的载客量(不包括司机)和租金信息如表：
型号
载客量(人/辆)
租金单价(元/辆)
A
16
900
B
22
1200
若设租用A型客车x辆，租车总费用为y元．
(1)请写出y与x的函数关系式(不要求写自变量取值范围)；
(2)据资金预算，本次租车总费用不超过11800元，则A型客车至少需租几辆？
(3)在(2)的条件下，要保证全体师生都有座位，问有哪几种租车方案？请选出最省钱的租车方案．
23. (本小题12.0分)
综合与实践
问题提出
如图1，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形．

探究展示
某学习小组的解题思路如图3：
反思交流
(1)上述解题思路中的“依据1”、“依据2”分别是什么？
依据1：______ ．
依据2：______ ．
(2)若四边形ABCD满足“AD=BC”的条件，试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
(3)要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是：______ ．
拓展思考
(4)如图2，△BAC和△DAE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点F，G分别是BC，DE的中点，连接BD，CE.请用等式表示BD与FG的数量关系，并证明．
答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：∵ x−2在实数范围内有意义，
∴x−2≥0，解得x≥2．
故选：A．
二次根式有意义，被开方数为非负数，即x−2≥0，解不等式求x的取值范围．
本题考查了二次根式有意义的条件．关键是明确二次根式有意义时，被开方数为非负数．

2.【答案】C 
【解析】解：A、y=3x2是二次函数，不符合题意；
B、y=3x是反比例函数，不符合题意；
C、y=x3是正比例函数，符合题意；
D、y2=3x不是函数，不符合题意．
故选：C．
根据正比例函数的定义解答即可．
本题考查的是正比例函数的定义，熟知一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数是解题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：根据题意知，∠C=90°，AB=50m，BC=40m，则：
AC= AB2−BC2= 502−402=30(m)．
故选：A．
直接利用勾股定理作答．
本题主要考查了勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形中有关线段的长度．

4.【答案】C 
【解析】解：∵水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，
∴原有橘子的重量的方差S12>该顾客选购的橘子的重量的方差S22，而平均数无法比较．
故选：C．
根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

5.【答案】B 
【解析】解：如图，连接AC与BD相交于O，
在▱ABCD中，OA=OC，OB=OD，
要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE=OF即可；
A、AE//CF能够利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，从而得到OE=OF，故本选项不符合题意；
B、若AE=CF，则无法判断OE=OE，故本选项符合题意；
C、若BE=DF，则OB−BE=OD−DF，即OE=OF，故本选项不符合题意；
D、∠BAE=∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF=BE，然后同A，故本选项不符合题意；
故选：B．
连接AC与BD相交于O，根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到OE=OF即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：由图象知：
A.小明家距图书馆3km，正确；
B.小明在图书馆阅读时间为3−1=2小时，正确；
C.小明在图书馆阅读书报和往返总时间不足4h，正确；
D.因为小明去图书馆需要1小时，回来不足1小时，所以小明去图书馆的速度比回家时的速度快，错误，符合题意．
故选：D．
根据题意和函数图象中是数据可以判断各个选项中是说法是否正确．
本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用图象来解答．

7.【答案】3 
【解析】解：原式=3．
故答案为：3
直接进行平方的运算即可．
此题考查了二次根式的乘法运算，属于基础题，注意仔细运算即可．

8.【答案】二 
【解析】
【分析】
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0时，函数图象经过一、三象限，当b<0时，函数图象与y轴的负半轴相交，据此解答即可．
【解答】
解：因为一次函数y=2x−3中，k=2>0，
所以此函数图象经过一、三象限，
因为b=−3<0，
所以此函数图象与y轴负半轴相交，
所以此一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．
故答案为：二．  
9.【答案】3 
【解析】解：∵∠ABC=90°，点O是斜边AC的中点，
∴BO=12AC=3m，
故答案为：3．
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．

10.【答案】4 
【解析】解：由图1可知，图2中正方形ABCD的边长为6−4=2，
∴图2中小正方形ABCD的面积为2×2=4，
故答案为：4．
由图1可知，图2中正方形ABCD的边长为直角三角形长和宽的差，即可求解．
本题考查了勾股定理，正确识图是解题的关键．

11.【答案】x<2 
【解析】解：将P(m,4)代入y=−x+6，得4=−m+6．
解得m=2．
∴一次函数y=kx+3和y=−x+6的图象交于点P(2,4)．
∴由函数图象知，关于x的不等式kx+3<−x+6的解是x<2．
故答案是：x<2．
将点P的坐标代入y=−x+6求得m=2；观察函数图象得到当x<2时，函数y=kx+3的图象都在y=−x+6的图象下方，所以关于x的不等式kx+3<−x+6的解是x<2．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于(或小于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

12.【答案】60°或90°或150° 
【解析】解：如图，当F在AD上时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∵∠BAE=30°，
∴∠EAF=∠BAD−∠BAE=60°，
∵AE=EF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°；
如图，当F在CD上时，连接CE，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE=45°，ED=ED，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴CE=AE，∠ECF=∠DAE=60°
∵AE=EF，
∴CE=EF，
∴△ECF是等边三角形，
∴∠CEF=60°，
∵∠AEC=360°−∠DAE−∠DCE−∠ADC=360°−60°−60°−90°=150°，
∴∠AEF=∠AEC−∠CEF=150°=60°=90°；
如图当F和C重合时，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∵∠BAE=30°，
∴∠EAC=∠BAC−∠BAE=15°，
∴AE=EF，
∴∠EFA=∠EAC=15°，
∴∠AEF=180°−∠EAC−∠ECA=150°．
∴∠AEF的度数是60°或90°或150°．
故答案为：60°或90°或150°．
当F在AD上时，由正方形的性质推出△AEF是等边三角形，得到∠AEF=60°，当F在CD上时，连接CE，由△ADE≌△CDE(SAS)，得到CE=AE，∠ECF=∠D推出△ECF是等边三角形，求出∠AEC=360°−∠DAE−∠DCE−∠ADC=360°−60°−60°−90°=150°，得到∠AEF=∠AEC−∠CEF=150°=60°=90°；当F和C重合时，由四边形ABCD是正方形，得到∠BAC=45°，求出∠EAC=∠BAC−∠BAE=15°，又AE=EF，得到∠EFA=∠EAC=15°，即可求出∠AEF=180°−∠EAC−∠ECA=150°．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是分情况讨论．

13.【答案】(1)(2 48−3 27)÷ 6
=(8 3−9 3)÷ 6
=(− 3)÷ 6
=− 22；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵∠1=∠2，
∴OB=OC，
∴OA=OB=OC=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形． 
【解析】(1)先将括号里化简得到(8 3−9 3)，再根据实数的运算法则计算：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的运算，即可得出答案；
(2)由四边形ABCD是平行四边形，得出OA=OC，OB=OD，又因为∠1=∠2，则OB=OC，推出OA=OB=OC=OD，则AC=BD，则四边形ABCD是矩形．
本题考查矩形的判定、二次根式的混合云算、平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识．

14.【答案】乙 
【解析】解：(1)甲的平均成绩为：(80+90+85)÷3=85(分)，
乙的平均成绩为：(90+85+85)÷3≈86.7(分)，
则乙的平均成绩最好，乙将被录用；
故答案为：乙；
(2)甲的测试成绩为：(80×2+90×5+85×3)÷(2+5+3)=86.5(分)，
乙的测试成绩为：(90×2+85×5+85×3)÷(2+5+3)=86(分)，
则甲的综合成绩最好，甲将被录用．
(1)根据平均数的计算公式分别求出甲、乙的成绩，再进行比较，即可得出答案；
(2)将两人的总成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果．
此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的公式是解答本题的关键．

15.【答案】解：(1)x2+2xy+y2
=(x+y)2
=( 3+1+ 3−1)2
=(2 3)2
=12；
(2)x2−y2
=(x+y)(x−y)
=( 3+1+ 3−1)×[ 3+1−( 3−1)]
=2 3×2
=4 3． 
【解析】(1)先把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可；
(2)先把所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查二次根式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

16.【答案】解：(1)如图1中，矩形ABCD即为所求(答案不唯一)；
(2)如图2中，菱形ABEF即为所求．
 
【解析】(1)根据矩形的判定作出图形；
(2)根据菱形的判定作出图形．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

17.【答案】解：(1)设一次函数的解析式是y=kx+b，将点(3,5)与(−4,−9)的坐标代入得：
3k+b=5−4k+b=−9，
解k=2b=−1，
∴一次函数解析式为y=2x−1；
(2)将y=2x−1沿y轴向上平移3个单位，所得直线的解析式为y=2x+2，
令y=0得；2x+2=0，
所以x=−1．
∴平移后的图象与x轴的交点坐标为(−1,0)． 
【解析】(1)设出一次函数的解析式是y=kx+b，然后把经过的点的坐标代入，求解得到k、b的值即可得解；
(2)根据平移的方向和距离得到平移后的解析式，然后令y=0，即可求得x的值，从而得到图象与x轴的交点坐标．
本题主要考查的是利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，求得点A的坐标是解题的关键．

18.【答案】( 1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵三角形ADE为正三角形，
∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°，
∴∠BAE=∠CDE=150°，
在△BAE和△CDE中，
AB=DC∠BAE=∠CDEAE=DE，
∴△BAE≌△CDE(SAS)；
(2)解：∵AB=AD，AD=AE，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAE=150°，
∴∠ABE=∠AEB=15°，
同理：∠CED=15°
∴∠BEC=60°−15°×2=30°． 
【解析】(1)利用等边三角形的性质结合全等三角形的判定与性质得出答案；
(2)首先得出∠ABE=∠AEB=15°，同理：∠CED=15°，进而得出答案．
此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△BAE≌△CDE是解题关键．

19.【答案】(1)证明：∵BC=10，CD=6，BD=8，
∴BC2=102=CD2+BD2=62+82，
∴∠BDC=90°，
故△BDC是直角三角形；
(2)解：设AB=AC=x，则AD=x−6，
∵∠ADC=∠BDC=90°，
∴AB2=AD2+BD2，
∴x2=(x−6)2+82，
解得x=253，
故AB=253． 
【解析】(1)根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
(2)设AB=AC=x，则AD=x−6，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．

20.【答案】30  69  小 
【解析】解：(1)3÷10%=30(人)，
即截止到第十六届共有30人获得“华罗庚数学奖”；
年龄在”70≤x<80“的人数为：30−3−14−3−2=8(人)，
补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图如下：

故答案为：30；
(2)把30个人的年龄从小到大排列，排在第15和第16个数分别是69、69，故中位数m=69+692=69，
因为68<69，
所以徐宗本院士的获奖年龄比一半以上“华罗庚数学奖”得主获奖年龄小；
故答案为：69，小；
(3)答案不唯一，如：“华罗庚数学奖”得主获奖时的年龄集中在60岁至80岁．
(1)用“50≤x<60“的频数除以10%可得求出总人数，用总数分别减去其它四组的人数可得年龄在”70≤x<80“的人数，进而补全“华罗庚数学奖”得主获奖年龄频数分布直方图；
(2)根据中位数的定义，中位数等于第15，16的年龄的平均数，再比较中位数与68可得答案；
(3)答案不唯一，合理即可．
本题考查频数分布表，频数分布直方图，扇形统计图，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

21.【答案】(1)证明：∵AF=DC，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠A=∠DAC=DF，
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴BC=EF，∠ACB=∠DFE，
∴BC//EF，
∴四边形BFEC是平行四边形；

(2)解：连接BE，交CF于点G，
∵四边形BCEF是菱形，
∴CG=FG，BE⊥AC，
∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，
∴AC= AB2+BC2=5，
∵∠BGC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，
∴△ABC∽△BGC，
∴BCAC=CGBC，
即610=CG635=CG3，
∴CG=1.8，
∵FG=CG，
∴FC=2CG=3.6，
∴AF=AC−FC=5−3.6=1.4． 
【解析】(1)由AB=DE，∠A=∠D，AF=DC，易证得△ABC≌DEF，即可得BC=EF，且BC//EF，即可判定四边形BCEF是平行四边形；
(2)由四边形BCEF是菱形，连接BE，交CF与点G，证得△ABC∽△BGC，由相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的值．
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．

22.【答案】解：(1)y=900x+1200(10−x)=−300x+12000，
∴y=−300x+12000；
(2)根据题意，得−300x+12000≤11800，
解得：x≥23，
∵x应为正整数，
∴x≥1，
∴A型客车至少需租1辆；
(3)根据题意，得16x+22(10−x)≥200，
解得x≤103，
结合(2)的条件，23≤x≤103，
∵x应为正整数，
∴x取1，2，3，
∴租车方案有3种，
方案一：A型客车租1辆，B型客车租9辆；
方案一：A型客车租2辆，B型客车租8辆；
方案一：A型客车租3辆，B型客车租7辆；
∵y=−300x+12000，k<0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=3时，函数值y最小，
∴最省钱的租车方案是A型客车租3辆，B型客车租7辆． 
【解析】(1)根据题意，列出函数关系式y=900x+1200(10−x)=−300x+12000，整理可求解；
(2)根据题意，得到不等式关系−300x+12000≤11800，根据应用实际问题，x的实际取值，可求解；
(3)由(2)的条件，可以求出x的取值范围，即23≤x≤103，x取1，2，3时三种方案，根据函数的增减性，易求出最省钱的租车方案．
本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握应用题中数量关系，表达出函数解析式，根据实际情况判断x的取值范围是解决问题的关键．

23.【答案】三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半  一组对边平行且相等的四边形是平行四边形  AD⊥CB 
【解析】解：(1)依据1：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；
依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
故答案为：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(2)四边形EFGH是菱形，
理由：∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴GH//AD，GH=12AD，EF//AD，EF=12AD，
∴GH//EF，GH=EF，
∴四边形EFGH是平行四边形
∵E、H分别是AB、AC的中点，
∴EH=12BC，
∵AD=BC，
∴EH=EF，
∴▱EFGH是菱形；
(3)要使四边形EFGH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是AD⊥CB，
∵AD⊥BC，
∴∠DAB+∠CBA=90°，
∵EF//AD，
∴∠BEF=∠DAB，
同理可得：∠AEH=∠CBA，
∴∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠HEF=90°，
∴▱EFGH是矩形，
故答案为：AD⊥CB；
(4)BD= 2FG，
理由：连接BE，取BE的中点M，连接GM，FM，

∵△BAC和△DAE都是等腰直角三角形，
∴AD=BE，AB=AC，∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB≌△EAC(SAS)，
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
由(1)可知MF//CE，MF=12CE，MG//BD，MG=12BD，
∴MG=MF，∠MFB=∠BCE，∠GME=∠DBE，
∵∠EMF=∠EBC+∠MFB，
∴∠EMF=∠EBC+∠ECB，
∴∠GMF=∠GME+∠EMF
=∠DBE+∠EBC+∠ECB
=∠DBC+∠ECB
=∠ADB+∠ABC+∠ECB
=45°+45°=90°，
∴GF2=GM2+MF2=14BD2+14BD2=12BD2，
∴BD= 2GF．
(1)由三角形中位线定理及平行四边形的判定可得出答案；
(2)由平行四边形的判定证明四边形EFGH是平行四边形，证出EH=EF，则可得出结论；
(3)由矩形的判定证出∠HEF=90°，则可得出答案；
(4)连接BE，取BE的中点M，连接GM，FM，证明△DAB≌△EAC(SAS)，由全等三角形的性质得出BD=CE，∠ABD=∠ACE，由(1)可知MF//CE，MF=12CE，MG//BD，MG=12BD，证出∠GMF=90°，由勾股定理可得出结论．
本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，矩形的判定，菱形的判定，勾股定理，熟练掌握矩形、菱形、平行四边形的判定定理是解题的关键．