2023-2024学年云南省腾冲市第八中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年云南省腾冲市第八中学高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，单空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各角中，与角终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据终边相同的角的定义计算.
【详解】与角终边相同的角为：,结合选项可得，，才符合题意.
故选：D
2．如图，2弧度的圆心角所对的弦长为2，这个圆心角所对应的弧长为
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】先确定圆的半径，再利用弧长公式，求解即可.
【详解】过点作于点，
设圆的半径为，这个圆心角所对应的弧长为，
则，，，
，
则，
.
故选：B.
【点睛】本题考查了弧长公式，属于基础题.
3．下列四组函数中，表示同一函数的一组是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】由同一函数的概念逐一判断，即可求解
【详解】对于A中，函数的定义域为，
的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误；
对于B中，函数的定义域为，
的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误；
对于C中，函数的定义域为，
的定义域为，
两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故C错误；
对于D中，函数的定义域为，
的定义域为，且，
所以它们是同一函数，故D正确；
故选：D.
4．函数零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函数的单调性及零点存在性定理即得.
【详解】由题意，函数在R上单调递增，
且，，
所以函数的零点所在的区间是.
故选：A.
5．已知角的顶点在原点，始边与轴正半轴重合，终边上有一点，，则( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角函数定义列式，计算，再由所给条件判断得解.
【详解】由题意知，故，又，
∴.
故选：B
6．使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．或
C．D．
【答案】C
【分析】由题意要选的是的真子集.
【详解】由得，
因为选项中只有，
故只有C选项中的条件是使不等式成立的一个充分不必要条件．
故选：C.
7．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作之一，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦矢矢），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约为（ ）
A．12平方米B．16平方米C．20平方米D．24平方米
【答案】C
【分析】在中，由题意OA＝4，∠DAO＝，即可求得OD，AD的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．
【详解】如图，由题意可得：∠AOB＝，OA＝6，
在中，可得：∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×6＝3，
可得：矢＝6﹣3＝3，
由AD＝AO＝6×＝3，
可得：弦＝2AD＝2×3＝6，
所以：弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝（6×3+32）＝9+4.5≈20平方米．
故选：C
【点睛】本题考查扇形的面积公式，考查数学阅读能力和数学运算能力，属于中档题．
8．已知实数，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据对数函数性质可判断，的范围，
利用角的范围判断出的取值范围，由此可得答案.
【详解】因为，，
而 ，故，
所以,
故选：A.
二、多选题
9．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】BD
【分析】A选项，两函数对应法则不一致；BD选项，两函数定义域和对应法则均相同；C选项，两函数定义域不相同.
【详解】A选项，，，故两函数不是同一函数，A错误；
B选项，，，故两函数为同一函数，B正确；
C选项，的定义域为R，的定义域为，故两函数不是同一函数，C错误；
D选项，的定义域为，且，
的定义域为，且，
故两函数是同一函数，D正确.
故选：BD
10．若角是第二象限角，则下列各角中是第三象限角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】利用不等式表示象限角，根据象限角的定义逐项判断可得答案.
【详解】因为角是第二象限角，所以，，
对于A ，，，故是第三象限角，故A正确；
对于B，，，故是第一象限角，故B不正确；
对于C ，，，故是第三象限角，故C正确；
对于D，,,故是第三象限角或轴负半轴上的角或第四象限角，故D不正确.
故选：AC
11．已知是第三象限角，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】根据是第三象限角，可判断角所在象限，从而可判断AB；根据是第三象限角，可判断角所在象限，从而可判断CD.
【详解】已知是第三象限角，∴.
对于AB，由，角的终边在一、二象限或y轴非负半轴上，成立，A正确；不一定成立，B错误；
对于CD，由，角的终边在第二象限或第四象限，不一定成立，C错误；成立， D正确.
故选：AD．
12．设是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是偶函数B． 是偶函数
C．是偶函数D．是偶函数
【答案】AD
【分析】根据奇偶性的定义即可逐一求解.
【详解】对于A，，定义域为R，且，
故为偶函数，A正确，
对于B, ，定义域为R，且，
无法确定其与的关系，故无法确定的奇偶性，B错误，
对于C，，定义域为R，且，
故为奇函数，C错误，
对于D，，定义域为R，且，
故为偶函数，D正确，
故选：AD
三、填空题
13．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 ．
【答案】
【解析】先求出扇形的半径，再求这个圆心角所夹的扇形的面积.
【详解】设扇形的半径为R,由题得.
所以扇形的面积为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查扇形的半径和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14．已知，，则
【答案】
【分析】根据同角三角函数的基本关系，求出正弦值，余弦值，再求正切值.
【详解】解：由题意，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
解得或，
∵
∴当时，，不符题意，舍去.
∴，
此时，，
∴，
故答案为：.
四、单空题
15．若函数且，则等于
【答案】
【分析】利用配凑法求解解析式.
【详解】因为，，所以，
所以.
五、填空题
16．在周长为的扇形中，当扇形的面积最大时，其弧长为 .
【答案】
【解析】求得扇形面积的表达式，利用二次函数的性质求得扇形的面积最大时对应的弧长.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，
则扇形面积，
根据二次函数的性质可知，当时，取得最大值.
故答案为：
六、问答题
17．已知是角终边上一点，且
（1）求实数m的值；
（2）角终边与单位圆交点A的坐标.
【答案】（1）-3；（2）A.
【分析】（1）根据任意角的三角函数的定义得到方程，解得即可；
（2）由（1）可得，求出，再将点的横纵坐标均除以即可得解；
【详解】解：（1）因为是角终边上一点，且
所以，且，解得
（2）所以，则，所以角的终边与单位圆交于
18．已知函数的解集为.
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最小值.
【答案】（1）；（2）3.
【分析】（1）先根据不等式解集确定对应方程的根，再利用韦达定理求得参数，即得结果；
（2）先化简函数，再利用对勾函数的单调性求最小值即可.
【详解】解：（1）由题可知方程的根为-2和3，则，
解得，所以；
（2）由（1）得.
由，得，由对勾函数单调性可知，函数在上递减，在上递增，故当时函数取得最小值，
所以y的最小值为3.
19．（1）计算：；
（2）
【答案】（1）（2）
【分析】（1）对式子中的各项按照指数和对数运算法则进行化简，得到答案；（2）设，转化为关于的二次方程，得到的值，再求出的值.
【详解】（1）
.
（2）
设，
所以原方程转化为
解得，（舍）
所以，
所以.
【点睛】本题考查对数和指数的运算，换元法解指数方程，属于简单题.
七、证明题
20．函数对任意的实数m，n，有，当时，有．
（1）求证：．
（2）求证：在上为增函数．
（3）若，解不等式．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【分析】（1）令，代入等式，可求得；
（2）令，代入等式，结合，可得到，从而可知是奇函数，然后用定义法可证明在上为增函数；
（3）原不等式可化为，结合函数的单调性，可得出，解不等式即可.
【详解】（1）证明：令，则，∴.
（2）证明：令，则，
∴，∴，
∴对任意的，都有，即是奇函数．
在上任取，，且，则，
∴，即，
∴函数在上为增函数.
（3）原不等式可化为，
由（2）知在上为增函数，可得，即，
∵，∴，解得，
故原不等式的解集为.
【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性，考查不等式的解法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.
八、问答题
21．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中是正的常数.若在前消除了的污染物，则：
(1)后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少需要花多少时间？（精确到，参考数据：）
【答案】(1)后还剩的污染物
(2)
【分析】(1)先根据已知条件得出的值，从而可得的值，进而得出答案.
(2)令，再根据指数化成对数，利用对数的运算即可得出结果.
【详解】（1）由可知，当时，；当时，，
于是有，得，当时，，
所以后还剩的污染物.
（2）当时，则，即，
可得①，由，可得②，①/②，得
，则，
所以污染物减少大约需要花
22．已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据角的范围确定，即可由一元二次方程求解，
（2）（3）根据弦切齐次式即可求解.
【详解】（1）由于，所以，
又得，
解得或（舍去），
故
（2）
（3）