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2023-2024学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，应用题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先写出集合,然后逐项验证即可
【详解】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
2．已知命题，，则p的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.
【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题，的否定为，
故选：D
3．设函数，则的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为时，
所以；
又时，，
所以故选A.
本题考查分段函数的意义,函数值的运算.
4．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据同一函数的判定方法，结合函数的定义域和对应关系，逐项判定，即可求解.
【详解】A中，函数的定义域为，函数的定义域为，
则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以A不正确；
B中，函数的定义域为，函数的定义域为，
则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B不正确；
C中，函数和 ，
则两函数的定义域相同且对应关系也相同，所以两个函数不是同一函数，所以C正确；
D中，函数的定义域为，函数的定义域为，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以D不正确.
故选：C.
5．下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据单调性的定义知函数在在上为减函数，然后逐项分析即可.
【详解】根据题意，“对任意的，使得”，
则函数在上为减函数.
对于选项A，为二次函数，其开口向下且对称轴为，
所以在上递减，符合题意；
对于选项B，，因为在上递增，在上递增，
所以由单调性的性质知，在上递增，不符合题意；
对于选项C，为一次函数，所以在上递增，不符合题意；
对于选项D，在上单调递增，不符合题意.
故选：A.
6．“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】通过求解函数和符合条件的的取值，即可得出结论.
【详解】由题意，在中，
当函数在上单调递减时，，
在中，函数是偶函数，
∴，解得：，
∴“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的必要不充分条件，
故选：B.
7．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．11B．25C．121D．169
【答案】B
【分析】根据提供的权方和不等式公式可求答案.
【详解】因为，由权方和不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立；
故选：B
8．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，当时，函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用高斯函数定义结合分段函数求值域即可.
【详解】，则，
当时，，当时，，
当时，，所以函数的值域为.
故选：D
二、多选题
9．已知集合，，下列结论不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据集合的基本关系与运算一一判定即可.
【详解】因为，所以A错误；
由题意可知：，所以B错误；
易知，故C错误，D正确.
故选：ABC
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．，
B．当时，，
C．是函数为奇函数的充要条件
D．若，，则
【答案】AB
【分析】根据判别式判断不等式的解集和二次方程的根判断选项AB，根据特例法判断选项C，作差法判断D.
【详解】对于A：由，故，为真命题；
对于B：由题设，故，为真命题；
对于C：对于奇函数，显然不存在，必要性不成立，为假命题；
对于D：，因为，，所以，则，为假命题.
故选：AB
11．若函数为奇函数，则（ ）
A．
B．的定义域为
C．的值域是
D．在上是增函数
【答案】AC
【分析】由且函数为奇函数求出的值，再代入检验，从而求出函数的定义域，即可判断A、B、D，求出且时函数的值域，结合，即可判断C.
【详解】对于函数，则，解得且，
因为函数为奇函数，所以，
此时定义域为，
且，即为奇函数，符合题意，故A正确，B错误，D错误；
又，
当时，当且时，
又函数在上单调递增，且，又，
所以当且时，则，
所以，即的值域是，故C正确；
故选：AC
12．对任意x，y，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】对于AB，利用，结合已知可求出的范围进行判断，对于C，利用，结合已知可求出的范围进行判断，对于D，利用基本不等式判断.
【详解】（），当且仅当时取等号，
对于AB，由可变形为，，解得，
当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
对于C，由可变形为，解得，
当且仅当时取等号，所以C正确；
对于D，因为，所以，当且仅当时取等号，所以D正确．
故选：BCD．
三、填空题
13．某校校园文化节开展“笔墨飘香书汉字，文化传承展风采”书法大赛，高一（1）班共有32名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有12人提交了隶书作品，有8人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有2人，没有人同时提交三种作品，则同时提交隶书作品和行书作品的有 人．
【答案】2
【分析】作出Venn图，由图分析可得．
【详解】作出Venn图，如图，设同时提交隶书作品和行书作品的有x人，
则，解得．
故答案为：2.
14．已知定义域为，值域为，且，写出一个满足条件的的解析式是 ．
【答案】，（答案不唯一）
【分析】根据题意可得为的偶函数，且值域为，写出满足条件的一个函数即可.
【详解】解：因为定义域为，且，
所以，
所以为的偶函数，
又因为值域为，
所以函数，满足题意.
故答案为：，(答案不唯一)
15．已知，则当时，的最小值为 ．
【答案】1
【分析】先利用换元法得到，进而得到，再利用基本不等式求解.
【详解】解：因为，令，则，
所以，
所以.
所以当时，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：1
16．设函数的最大值为M，最小值为m，则 .
【答案】4046
【分析】化简函数，设，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可.
【详解】，
设，定义域关于原点对称，
由，知函数为奇函数，
因为，，
所以.
故答案为：4046.
四、问答题
17．已知函数的定义域为集合，集合．
(1)求集合；
(2)求．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）直接根据二次根式、分式有意义的条件即可求解.
（2）先求出集合，再根据补集、并集的定义即可求解.
【详解】（1）因为函数的定义域为集合，
则，解得，
即集合．
（2）因为或，，
所以，或，则或．
18．已知集合．
(1)求．
(2)已知集合，若满足______，求实数的取值范围．请从①，②，③“”是“”的充分不必要条件中选一个填人（2）中横线处进行解答．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）解分式不等式、二次不等式，再结合集合的并集、补集运算即可.
（2）选①，将问题转化为，分别研究，时m的范围；
选②，将问题转化为，分别研究，时m的范围；
选③，将问题转化为，分别研究，时m的范围.
【详解】（1）因为，，
所以，所以或.
（2）选①，因为，所以，
若，则，解得；
若，则，解得，
综上，.
选②，因为，所以，
若，则，解得；
若，则，解得，
综上，.
选③，“”是“”的充分不必要条件，所以，
若，则，解得；
若，则且等号不能同时成立，解得，
综上，.
19．已知函数是定义在上的函数，且，．
(1)利用定义判断函数在上的单调性；
(2)解不等式．
【答案】(1)单调递增
(2)
【分析】（1）根据题意由求解；然后利用函数的单调性定义证明；
（2）根据函数为奇函数，且定义在上的增函数，将转化为求解.
【详解】（1）解：由题意可得，即，解得，
所以，设，
，
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数在区间单调递增．
（2）因为函数为奇函数，
所以，
，
，
是定义在上的增函数，
，得，
所以不等式的解集为.
五、应用题
20．某地区上年度电价为0.8元/（kW·h），年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元/（kW·h））.（收益=实际电量（实际电价成本价））
(1)当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
(2)当时，求收益的最小值.
【答案】(1)0.6元/（kW·h）
(2)
【分析】（1）先表示出下调电价后新增用电量，则电力部门的收益
当时，代入表达式中列出不等式，解出结果即可得实际电价最低定价.
（2）当时，代入收益中，利用基本不等式求出收益得最小值即可
【详解】（1）由题意知，下调电价后新增用电量为.
故电力部门的收益，.
（1）当时，.
由题意知且.
化简得.
解得. 或
又
.·
所以实际电价最低定为：0.6元/（kW·h）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%
（2）当时，.
令，，.·
，
当且仅当时取等号.
故收益的最小值.
六、问答题
21．已知二次函数.
(1)若的解集为，求函数的单调递减区间；
(2)已知，，若对于一切实数x恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集得二次方程的根，然后利用韦达定理找到的关系，利用二次函数单调性即可求解；
（2）根据二次函数恒成立及二次方程有解得，，对所求式子变形，利用基本不等式即可求解最小值.
【详解】（1）因为的解集为，
所以，所以，
所以函数，
所以函数的单调递减区间为.
（2）当时，，因为对于一切实数恒成立，
所以，则，
因为存在，使得成立，所以，即，
而所以有，因为，，
所以，
当且仅当时取等号，即当取等号，
所以的最小值为.
22．函数.
(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；
(2)当，时，求函数在区间上的值域.
(3)函数的图象过点，且的图象与x轴负半轴有两个交点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)不存在
(2)
(3)
【分析】（1）根据奇函数定义求解即可；
（2）换元后利用函数单调性求解值域即可；
（3）根据的图象与轴负半轴有两个交点，列不等式组求解即可.
【详解】（1）当时，，
因为，
所以不存在实数，使得为奇函数.
（2）当时，，
令，则，因为在为增函数，在为增函数，
所以由单调性性质知，为增函数，所以，
所以函数在区间上的值域为.
（3）因为函数的图象过点，所以，所以，
所以，且，
因为的图象与轴负半轴有两个交点，则，
所以，所以或，
所以实数的取值范围.
一、单选题
1．设全集，集合M满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先写出集合,然后逐项验证即可
【详解】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
2．已知命题，，则p的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题易求.
【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题，的否定为，
故选：D
3．设函数，则的值为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】因为时，
所以；
又时，，
所以故选A.
本题考查分段函数的意义,函数值的运算.
4．下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据同一函数的判定方法，结合函数的定义域和对应关系，逐项判定，即可求解.
【详解】A中，函数的定义域为，函数的定义域为，
则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以A不正确；
B中，函数的定义域为，函数的定义域为，
则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B不正确；
C中，函数和 ，
则两函数的定义域相同且对应关系也相同，所以两个函数不是同一函数，所以C正确；
D中，函数的定义域为，函数的定义域为，则两函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以D不正确.
故选：C.
5．下列函数中，满足“对任意的，使得”成立的是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据单调性的定义知函数在在上为减函数，然后逐项分析即可.
【详解】根据题意，“对任意的，使得”，
则函数在上为减函数.
对于选项A，为二次函数，其开口向下且对称轴为，
所以在上递减，符合题意；
对于选项B，，因为在上递增，在上递增，
所以由单调性的性质知，在上递增，不符合题意；
对于选项C，为一次函数，所以在上递增，不符合题意；
对于选项D，在上单调递增，不符合题意.
故选：A.
6．“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】通过求解函数和符合条件的的取值，即可得出结论.
【详解】由题意，在中，
当函数在上单调递减时，，
在中，函数是偶函数，
∴，解得：，
∴“函数在上单调递减”是“函数是偶函数”的必要不充分条件，
故选：B.
7．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A．11B．25C．121D．169
【答案】B
【分析】根据提供的权方和不等式公式可求答案.
【详解】因为，由权方和不等式可得，
当且仅当，即时，等号成立；
故选：B
8．高斯，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，当时，函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用高斯函数定义结合分段函数求值域即可.
【详解】，则，
当时，，当时，，
当时，，所以函数的值域为.
故选：D
二、多选题
9．已知集合，，下列结论不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据集合的基本关系与运算一一判定即可.
【详解】因为，所以A错误；
由题意可知：，所以B错误；
易知，故C错误，D正确.
故选：ABC
10．下列命题为真命题的是（ ）
A．，
B．当时，，
C．是函数为奇函数的充要条件
D．若，，则
【答案】AB
【分析】根据判别式判断不等式的解集和二次方程的根判断选项AB，根据特例法判断选项C，作差法判断D.
【详解】对于A：由，故，为真命题；
对于B：由题设，故，为真命题；
对于C：对于奇函数，显然不存在，必要性不成立，为假命题；
对于D：，因为，，所以，则，为假命题.
故选：AB
11．若函数为奇函数，则（ ）
A．
B．的定义域为
C．的值域是
D．在上是增函数
【答案】AC
【分析】由且函数为奇函数求出的值，再代入检验，从而求出函数的定义域，即可判断A、B、D，求出且时函数的值域，结合，即可判断C.
【详解】对于函数，则，解得且，
因为函数为奇函数，所以，
此时定义域为，
且，即为奇函数，符合题意，故A正确，B错误，D错误；
又，
当时，当且时，
又函数在上单调递增，且，又，
所以当且时，则，
所以，即的值域是，故C正确；
故选：AC
12．对任意x，y，，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】对于AB，利用，结合已知可求出的范围进行判断，对于C，利用，结合已知可求出的范围进行判断，对于D，利用基本不等式判断.
【详解】（），当且仅当时取等号，
对于AB，由可变形为，，解得，
当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
对于C，由可变形为，解得，
当且仅当时取等号，所以C正确；
对于D，因为，所以，当且仅当时取等号，所以D正确．
故选：BCD．
三、填空题
13．某校校园文化节开展“笔墨飘香书汉字，文化传承展风采”书法大赛，高一（1）班共有32名同学提交了作品进行参赛，有20人提交了楷书作品，有12人提交了隶书作品，有8人提交了行书作品，同时提交楷书作品和隶书作品的有4人，同时提交楷书作品和行书作品的有2人，没有人同时提交三种作品，则同时提交隶书作品和行书作品的有 人．
【答案】2
【分析】作出Venn图，由图分析可得．
【详解】作出Venn图，如图，设同时提交隶书作品和行书作品的有x人，
则，解得．
故答案为：2.
14．已知定义域为，值域为，且，写出一个满足条件的的解析式是 ．
【答案】，（答案不唯一）
【分析】根据题意可得为的偶函数，且值域为，写出满足条件的一个函数即可.
【详解】解：因为定义域为，且，
所以，
所以为的偶函数，
又因为值域为，
所以函数，满足题意.
故答案为：，(答案不唯一)
15．已知，则当时，的最小值为 ．
【答案】1
【分析】先利用换元法得到，进而得到，再利用基本不等式求解.
【详解】解：因为，令，则，
所以，
所以.
所以当时，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故答案为：1
16．设函数的最大值为M，最小值为m，则 .
【答案】4046
【分析】化简函数，设，可得函数在上为奇函数，进而得到，进而求解即可.
【详解】，
设，定义域关于原点对称，
由，知函数为奇函数，
因为，，
所以.
故答案为：4046.
四、问答题
17．已知函数的定义域为集合，集合．
(1)求集合；
(2)求．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）直接根据二次根式、分式有意义的条件即可求解.
（2）先求出集合，再根据补集、并集的定义即可求解.
【详解】（1）因为函数的定义域为集合，
则，解得，
即集合．
（2）因为或，，
所以，或，则或．
18．已知集合．
(1)求．
(2)已知集合，若满足______，求实数的取值范围．请从①，②，③“”是“”的充分不必要条件中选一个填人（2）中横线处进行解答．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）解分式不等式、二次不等式，再结合集合的并集、补集运算即可.
（2）选①，将问题转化为，分别研究，时m的范围；
选②，将问题转化为，分别研究，时m的范围；
选③，将问题转化为，分别研究，时m的范围.
【详解】（1）因为，，
所以，所以或.
（2）选①，因为，所以，
若，则，解得；
若，则，解得，
综上，.
选②，因为，所以，
若，则，解得；
若，则，解得，
综上，.
选③，“”是“”的充分不必要条件，所以，
若，则，解得；
若，则且等号不能同时成立，解得，
综上，.
19．已知函数是定义在上的函数，且，．
(1)利用定义判断函数在上的单调性；
(2)解不等式．
【答案】(1)单调递增
(2)
【分析】（1）根据题意由求解；然后利用函数的单调性定义证明；
（2）根据函数为奇函数，且定义在上的增函数，将转化为求解.
【详解】（1）解：由题意可得，即，解得，
所以，设，
，
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数在区间单调递增．
（2）因为函数为奇函数，
所以，
，
，
是定义在上的增函数，
，得，
所以不等式的解集为.
五、应用题
20．某地区上年度电价为0.8元/（kW·h），年用电量为a kW·h，本年度计划将电价下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之间，而用户期望电价为0.4元/（kW·h）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（kW·h）.记本年度电价下调后电力部门的收益为（单位：元），实际电价为（单位：元/（kW·h））.（收益=实际电量（实际电价成本价））
(1)当时，实际电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？
(2)当时，求收益的最小值.
【答案】(1)0.6元/（kW·h）
(2)
【分析】（1）先表示出下调电价后新增用电量，则电力部门的收益
当时，代入表达式中列出不等式，解出结果即可得实际电价最低定价.
（2）当时，代入收益中，利用基本不等式求出收益得最小值即可
【详解】（1）由题意知，下调电价后新增用电量为.
故电力部门的收益，.
（1）当时，.
由题意知且.
化简得.
解得. 或
又
.·
所以实际电价最低定为：0.6元/（kW·h）时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%
（2）当时，.
令，，.·
，
当且仅当时取等号.
故收益的最小值.
六、问答题
21．已知二次函数.
(1)若的解集为，求函数的单调递减区间；
(2)已知，，若对于一切实数x恒成立，并且存在，使得成立，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集得二次方程的根，然后利用韦达定理找到的关系，利用二次函数单调性即可求解；
（2）根据二次函数恒成立及二次方程有解得，，对所求式子变形，利用基本不等式即可求解最小值.
【详解】（1）因为的解集为，
所以，所以，
所以函数，
所以函数的单调递减区间为.
（2）当时，，因为对于一切实数恒成立，
所以，则，
因为存在，使得成立，所以，即，
而所以有，因为，，
所以，
当且仅当时取等号，即当取等号，
所以的最小值为.
22．函数.
(1)当时，是否存在实数c，使得为奇函数；
(2)当，时，求函数在区间上的值域.
(3)函数的图象过点，且的图象与x轴负半轴有两个交点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)不存在
(2)
(3)
【分析】（1）根据奇函数定义求解即可；
（2）换元后利用函数单调性求解值域即可；
（3）根据的图象与轴负半轴有两个交点，列不等式组求解即可.
【详解】（1）当时，，
因为，
所以不存在实数，使得为奇函数.
（2）当时，，
令，则，因为在为增函数，在为增函数，
所以由单调性性质知，为增函数，所以，
所以函数在区间上的值域为.
（3）因为函数的图象过点，所以，所以，
所以，且，
因为的图象与轴负半轴有两个交点，则，
所以，所以或，
所以实数的取值范围.
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