2023-2024学年云南省昭通市昭阳区第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年云南省昭通市昭阳区第一中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得.
【详解】依题意，，
所以.
故选：A
2．下列函数中，在其定义域上是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出各选项中函数的定义域，并判断单调性即得.
【详解】对于A，函数在定义域上单调递减，A不是；
对于B，函数在定义域上不单调，B不是；
对于C，函数在定义域上单调递增，C是；
对于D，函数在定义域上没有单调性，D不是.
故选：C
3．下列各式中正确的一项是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据幂的运算性质，逐项判断即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
4．下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】分别判断四个答案中与的定义域是否相同，并比较化简后的解析式是否一致，即可得到答案.
【详解】对于选项A：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项B：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项C：的定义域为，的定义域为，
两个函数的定义域不同，不是同一个函数；
对于选项D：，的定义域均为，对应法则相同，故两个函数是同一个函数；
故选：D.
【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数.属于容易题.
5．已知实数集合若，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】根据，可得两集合元素全部相等，分别求和,再根据集合元素的互异性可确定a，b的值，进而得出答案.
【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，
得到或又根据集合互异性，可知，
解得或（舍），所以
故选:A.
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先分别化简 “”和“”，进而得到二者间的逻辑关系.
【详解】由，可得；由，可得；
则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
7．若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】D
【分析】利用基本不等式可得出的取值范围，进而可求的值.
【详解】根据基本不等式可得，
所以，当且仅当，即时取等号，
因为，
所以，当且仅当时取等号.
故选：D.
8．函数f（x）是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f（3）A．a>1B．a<－2
C．a>1或a<－2D．－1【答案】C
【解析】由是偶函数，不等式化为，再由在[0，＋∞)上是增函数，转化为自变量不等式，求解即可.
【详解】因为函数f（x）在实数集上是偶函数，
且f（3）又函数f（x）在[0，＋∞)上是增函数，
所以3<|2a＋1|，解之得a>1或a<－2.
故选C.
【点睛】本题考查解抽象函数不等式，利用函数的奇偶性和单调性是解题的关键，属于基础题.
二、多选题
9．下列叙述中正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．命题“，”的否定是“，”
D．已知，则“”是“”的必要不充分条件
【答案】BD
【分析】利用元素与集合的关系判断A；利用交集、并集的意义判断B；利用存在量词命题的否定判断C；利用必要不充分条件的定义判断D.
【详解】对于A，元素与集合是属于与不属于关系，不是包含关系，A错误；
对于B，由，得，且，所以，B正确；
对于C，命题“，”是存在量词命题，其否定是“，”，C错误；
对于D，若，则，且，因此，反之，
取，满足，而不成立，则“”是“”的必要不充分条件，D正确.
故选：BD
10．下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，，则
【答案】CD
【分析】对于A，利用不等式的性质结合基本不等式即可判断；对于B，可以用特殊值法判断即可；对于C，正数不等式中，通向不等式的可乘性判断即可；对于D，根据题设先确定、的符号，对进行分类讨论，结合不等式的性质即可判断.
【详解】对于A，当时，则，所以，故A错误；
对于B，若，，则，故B错误；
对于C，若，则，，，所以，故C正确；
对于D，若，，则，，若时，；若时，则，由得，所以成立，故D正确.
故选：CD.
11．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其命名的函数，称为狄利克雷函数，则关于下列说法正确的是（ ）
A．的值域为B．为偶函数
C．，D．任意一个非零有理数T，对任意恒成立
【答案】BCD
【分析】根据分段函数的解析式和函数的性质逐一判断可得选项.
【详解】解：因为函数，所以的值城为，故A不正确；
因为函数，定义城为，，则；，则，所以，为偶函数，故B正确；
因为，所以，故C正确；
对于任意一个非零有理数，若是有理数，则是有理数；若是无理数，则是无理数，根据函数的解析式，任取一个不为零的有理数T，都有对任意恒成立，故D正确，
故选：BCD.
12．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
【答案】AC
【分析】根据幂函数中结论一一分析即可.
【详解】
对A，当m，n是奇数时，的定义域为，关于原点对称，
，则幂函数是奇函数，故A中的结论正确；
对B，当m是偶数，n是奇数，幂函数在时无意义，故B中的结论错误；
对C，当m是奇数，n是偶数时，的定义域为，关于原点对称，
，则幂函数是偶函数，故C中的结论正确；
对D，时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；
故选：AC.
三、填空题
13．已知集合，，则集合的真子集的个数为 .
【答案】
【分析】求出集合，利用集合真子集个数公式可求得结果.
【详解】由已知，则，
所以，集合的真子集的个数为.
故答案为：.
14．函数（，且）的图象过定点.则点的坐标是 .
【答案】
【分析】令，可计算得，从而可得定点坐标.
【详解】当，即时，，
所以函数的图象过定点.
故答案为：
15．已知函数在上为单调增函数，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先要满足左右两段均为增函数，而且左侧的最高点不高于右侧的最低点，建立关于的不等量关系，即可求解.
【详解】函数在上为单调增函数，
需，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查分段函数的单调性，要注意分界点处函数值的大小关系，容易遗漏，属于中档题.
16．若函数定义在R上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为 .
【答案】
【详解】分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，利用数形结合思想求解可得到结论.
详解：
因为函数定义在上的奇函数，且在上是增函数，又在上是增函数，且，当或时，；当或时，，作出函数的草图，如图，则不等式等价为或，即或，则或，解得或，即不等式的解集为，故答案为.
点睛：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解..
四、解答题
17．设为实数，，集合，.
(1)若，求，；
(2)若，求实数m的取值范围.
【答案】(1)，或
(2)
【分析】（1）先求出时的集合，再利用集合的运算即可求出，，从而求出；
（2）依题意，可知集合，根据得出关于的不等式，求解即可.
【详解】（1）若，则，又，
所以，，
所以或.
（2）因为恒成立，可知集合，
又因为，
所以或，解得：或，
故实数m的取值范围是.
18．已知关于的不等式的解集是.
(1)求实数，的值；
(2)若，，且，求的最小值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用不等式的解集和对应方程的根的关系求出实数，的值；
（2）结合（1）中结论，可得，那么可化为，利用基本不等式，即可求出的最小值.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集是，
所以和是方程的两个根，
所以，解得：，
当，时，原不等式为：，此时的解集为，符合题意，
故，.
（2）由（1）知，，所以，
又，，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
19．已知命题方程没有实数根.
(1)若是假命题，求实数的取值集合；
(2)在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)选择条件，答案见解析.
【分析】（1）利用方程的判别式求出命题，进而求出集合.
（2）利用（1）的结论，再选择条件①②，借助集合的包含关系，列式求解即得.
【详解】（1）由方程没有实数根，得，解得，
由是假命题，则是真命题，
所以实数的取值集合.
（2）由（1）知，，由集合非空，得，解得，
选①，是的充分而不必要条件，则，于是或，无解，
所以不存在实数，使得是的充分而不必要条件.
选②，是的必要而不充分条件，则，于是或，而，解得，
所以存在实数，使得是的必要而不充分条件，的取值范围是.
20．函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明.
【答案】(1)
(2)单调递增，证明见解析
【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，有，可得出的值，又，可得出的值，从而得到函数的解析式；
（2）利用定义法证明函数单调性.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
则，解得，
当时，，此时满足，满足是奇函数，
又因为，所以，解得，
所以的解析式为：.
（2）函数在上是单调递增函数，证明如下：
设，
则，
由于，则，，即，
又，，
所以，即，
故函数在上是单调递增函数.
21．某品牌电动汽车在某路段以每小时千米的速度匀速行驶千米.该路段限速，（单位：千米/时）.充电费为元/千瓦时，电动汽车行驶时每小时耗电千瓦时，轮䏩磨损费为元/千米，道路通行费为元/千米.
(1)求这次行车总费用关于的表达式；
(2)当行车速度为何值时，这次行车的总费用最低?最低费用为多少?
【答案】(1)
(2)当行车速度时，这次行车的总费用最低，为元.
【分析】（1）根据各种费用求法可得总费用；
（2）根据函数的单调性可得最值.
【详解】（1）由已知得，
所以这次行车总费用关于的表达式为；
（2）由函数在时单调递减，
所以当时，取最小值，
当行车速度时，这次行车的总费用最低，为元.
22．设函数（且）.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若，试判断函数的单调性（不需要证明）.并求使不等式对一切恒成立的t的取值范围；
(3)若，且在上的最小值为，求的值.
【答案】(1)奇函数
(2)在上单调递减；
(3)
【分析】（1）的定义域为关于原点对称，判断与的关系来确定函数得奇偶性；
（2）利用题设，求出的取值范围，再将转化为不等式恒成立问题求解即可；
（3）由题设，可确定的值，确定函数的解析数，用换元法转化新函数（二次函数），再分类讨论参数，结合在上的最小值为，即可求解.
【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称，且，
所以为奇函数.
（2）（且），
因为，所以，
又且，所以
故函数在上单调递减，
由（1）知函数为奇函数，
所以不等式可化为，
又函数在上单调递减，所以，即恒成立，
所以，解得：.
（3）因为，所以，即，
解得或（舍去），
所以，
故，
令，由（1）可知函数为增函数，
因为，所以，
令，
若时，当时，有最小值，
所以，解得；
若时，当时，有最小值，
所以，解得，与矛盾，舍去；
综上所述，.