2022-2023学年云南省保山市腾冲市第八中学高一上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年云南省保山市腾冲市第八中学高一上学期第一次月考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合且的真子集的个数是（ ）
A．16B．8C．7D．4
【答案】C
【分析】根据真子集的定义即可得解.
【详解】且，
集合有个元素，
所以集合的真子集的个数是个.
故选：C.
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.
【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以命题“”的否定为：“”.
故选：B.
3．已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】当时，得或，再根据充分不比要条件的概念判断即可.
【详解】解：当时，集合，满足；
当时，或，解得或，
所以，由充分条件和必要条件的定义，可得“”是“”的充分不必要条件．
故选：C
4．不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据分式不等式的解法计算即可.
【详解】由，
得，解得，
所以不等式的解集是.
故选：B.
5．已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】解不等式求得集合，对进行分类讨论，根据是的子集列不等式，从而求得的取值范围.
【详解】，
当时，，满足.
当时，由于，所以.
综上所述，的取值范围是.
故选：C
6．已知，则的最小值为（ ）
A．5B．10C．20D．25
【答案】D
【分析】由可得，将展开再利用基本不等式即可求解，进而可得正确选项.
【详解】由，可得，
则，
当且仅当且，即，时取等号，此时取得最小值25．
故选：D.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
7．若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分和两种情况讨论，结合根的判别式即可得解.
【详解】当，即时，恒成立，
当，即时，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：A.
8．若不等式对任意， 恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由基本不等式求出的最小值，然后解不等式即得．
【详解】∵不等式对任意， 恒成立，∴，∵，当且仅当，即时取等号，∴，∴，∴，∴实数取值范围是，
故选：B.
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，由于参数已经分离，因此只要求得的最小值，解相应不等式即可得．
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若x>1，则函数的最小值为3.
B．不等式的解集为{x|-2C．不等式的解集为R.
D．函数的最大值为1.
【答案】CD
【分析】A应用基本不等式求最小值即可，B解一元二次不等式求解集即可，C配方法得到恒成立，D根据二次函数的性质判断即可.
【详解】A，由题设，则，当且仅当时等号成立，故函数最小值为4，故错误；
B，由已知有，解得或，即解集为，故错误；
C，由恒成立，即解集为R，正确；
D，由解析式知：二次函数对称轴为且开口向下，易知其最大值为1，正确.
故选：CD.
10．已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值可能是（ ）
A．B．1C．0D．
【答案】AC
【分析】对进行分类讨论，结合有且只有一个元素求得的值.
【详解】当时，，符合题意.
当时，，符合题意.
故选：AC
11．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．命题“，”的否定是“，”
C．“”是“”的必要而不充分条件
D．“”是“关于x的方程有一正一负实数根”的充要条件
【答案】BD
【分析】根据全称命题和特称命题的否定知A错误，B正确，举反例得到C错误，计算得到D正确，得到答案.
【详解】对选项A：命题“，”的否定是“，”，错误；
对选项B：命题“，”的否定是“，”，正确；
对选项C：取，满足，，错误；
对选项D：关于x的方程有一正一负实数根，则且.
解得，正确；
故选：BD
12．下列说法中正确的有（ ）
A．不等式恒成立B．存在a，使得不等式成立
C．若，则D．的最小值为2
【答案】BC
【分析】通过举例来判断AB；利用基本不等式以及等号的成立条件来判断CD.
【详解】当时，不等式不成立，A错误；
当时，，即存在a，使得不等式成立，B正确；
若，则，，当且仅当时等号成立，C正确；
，当时等号才能成立，但无解，故，D错误.
故选：BC.
三、填空题
13．已知且，则的最小值为 ．
【答案】18
【分析】利用乘1法与基本不等式即可得出．
【详解】，且，
则，
当且仅当时取等号．
故答案为：18．
14．如果关于的不等式的解集是，那么等于 .
【答案】81
【分析】根据不等式的解集可知对应一元二次方程的根，由根与系数的关系求解即可.
【详解】不等式可化为
，其解集是，
那么，由根与系数的关系得，解得，；
所以．
故答案为：81
15．已知p：x>1或x<-3，q：x>a(a为实数)．若¬q的一个充分不必要条件是¬p，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可.
【详解】由已知得¬p：-3≤x≤1，¬q：x≤a．
设，
若¬p是¬q的充分不必要条件，则¬p⇒¬q，¬q⇒¬p，
所以集合是集合的真子集.
所以．
故答案为：.
16．某年级先后举办了数学、历史、音乐讲座，其中有75人听了数学讲座，68人听了历史讲座，61人听了音乐讲座，17人同时听了数学、历史讲座，12人同时听了数学、音乐讲座，9人同时听了历史、音乐讲座，还有6人听了全部讲座，则听讲座人数为 ．
【答案】172
【分析】画出韦恩图求解即可.
【详解】
，
（人．
故答案为：172
四、解答题
17．已知全集，，.
(1)求；
(2)求;
(3)求.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据补集的定义即可得解；
（2）根据补集和交集的定义即可得解；
（3）根据并集和补集的定义即可得解.
【详解】（1）由，，
得；
（2）因为，，
所以或，
所以；
（3），
所以.
18．解下列不等式:
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)或
(2)
(3)
(4)
【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）由，得，
所以或，即或，
所以不等式的解集为或；
（2）由，得，
则，所以，所以，
所以不等式的解集为；
（3）由，得，
因为，所以，
所以不等式的解集为；
（4）由，得，
因为，
所以不等式的解集为.
19．已知命题命题，若命题都是真命题，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】命题都是真命题，则均成立，从而解出a的范围；，即方程有实数根，解得a的范围，再取交集即可.
【详解】命题为真命题
对恒成立
，即
命题为真命题
方程有实数根，即
或
命题都是真命题
故答案为：.
20．已知不等式的解集为或.
(1)求的值；
(2)解不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意可得，且方程的解为，结合韦达定理即可得解；
（2）分三种情况讨论即可得解.
【详解】（1）因为不等式的解集为或，
所以，且方程即方程的解为，
所以，
所以；
（2）由（1）得不等式即，
即，
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
21．（1）当时，求的最大值；
（2）设，求函数的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），利用基本不等式求解.
（2）设，,利用基本不等式求解.
【详解】（1），
当且仅当，即时等号成立，
的最大值为.
（2）由题意，设，则，
则，
，
当且仅当时，即时，即时取等号，
所以函数的最小值为.
22．某工厂某种产品的月固定成本为10万元，每生产件，需另投入成本为，当月产量不足30件时，（万元）.当月产量不小于30件时，（万元）.每件商品售价为5万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.因设备问题，该厂月生产量不超过50件.
(1)写出月利润（万元）关于月产量（件）的表达式；
(2)当月产量为多少件时，该厂在这一商品的生产中所获月利润最大?
【答案】(1)当时，；当时，
(2)30
【分析】（1）结合已知条件求得分段函数的表达式.
（2）结合基本不等式、二次函数的性质求得月利润最大时对应的月产量.
【详解】（1）因为每件商品售价为5万元，则x件商品销售额为5x万元，依题意得，
当0当30≤x≤50时，L=5x-6x-+90-10=+80.
（2）当0开口向下，对称轴为x=24，
即当x=24时，Lmax=38(万元)；
当30≤x≤50时，L=-x-+80=-(x-20)-+60≤-2+60=40，
当且仅当x=30时，Lmax=40(万元).
综上所述，当月产量为30件时，月获利润最大.