2023-2024学年广东省惠州市华罗庚中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省惠州市华罗庚中学高一上学期期中数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．命题“存在一个三角形，它是轴对称图形”的否定是（ ）
A．存在一个三角形，它不是轴对称图形B．存在无数个三角形，它是轴对称图形
C．任意一个三角形，它是轴对称图形D．任意一个三角形，它不是轴对称图形
【答案】D
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，直接写出结果即可.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“存在一个三角形，它是轴对称图形”的否定是
“任意一个三角形，它不是轴对称图形”，
故选：D.
2．设集合．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意易得1是方程的解，代入方程可得的值，解方程进而得结果.
【详解】因为，所以，
即1是方程的解，将代入方程得，
所以的解为或，
所以．
故选：A.
3．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据偶次方根被开方数非负、分母不为0可得答案.
【详解】由题意得的定义域为．
故选：D.
4．已知，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】解：，当且仅当时，等号成立．
故选：D.
5．在中，三个内角分别为，“是钝角”是“是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分、必要性的定义，结合钝角三角形的性质判断题设条件间的推出关系，即可知答案.
【详解】在三角形中，有一个内角是钝角，则该三角形是钝角三角形，故充分性满足，
若是钝角三角形，则或或是钝角，故必要性不满足，
所以“是钝角”是“是钝角三角形”的充分不必要条件．
故选：.
6．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由，利用反比例函数的性质求解.
【详解】解：，
因为在上单调递减，
所以．
故选：A
7．已知定义域为的偶函数满足：对任意的，都有．若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件得到在上单调递增，再利用函数是偶函数，得到在上单调递减，根据单调性，得到不等式，解出即可.
【详解】因为，所以在上单调递增．
因为为偶函数，所以在上单调递减．
若，则或，解得或．
故选：C.
8．如图，四边形是矩形，是等腰直角三角形．点从点出发，沿着边运动到点，点在边上运动，直线．设点运动的路程为的左侧部分的多边形的周长（含线段的长度）为．当点在线段上运动时，的解析式为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题中条件可求得，依题分析即可得到结果.
【详解】因为是等腰直角三角形，，
所以．当点在线段上运动时，
．
故选：A.
二、多选题
9．下列各组函数中，是相同函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】ABD
【分析】根据函数相等的条件，逐项分析函数的定义域、值域及对应法则即可.
【详解】对于A，的定义域、值域、对应关系都与相同，是同一函数．
对于B，与是同一函数．
对于C，，解析式不同，与不是同一函数．
对于D，与是同一函数．
故选：ABD.
10．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式的基本性质及作差法判断各选项即可.
【详解】因为，所以，故AB正确；
而，故C错误；
而，
由得，，，则，
所以，即，故D正确.
故选：ABD.
11．已知，且，则（ ）
A．的取值范围为B．的最小值为8
C．无最小值D．的最小值为16
【答案】ABD
【分析】由基本不等式知识求解.
【详解】对于A项：因为：，所以．因为，所以，故A项正确．
对于B、C项：，即，解得，
当且仅当时，等号成立，故B项正确，C项错误．
对于D项：，即，解得，
即，当且仅当时，等号成立，故D项正确．
故选：ABD.
12．已知函数的定义域为，若，且均为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据奇函数定义可得，，即可代值逐一求解.
【详解】因为均为奇函数，所以，即①，，
因为，即，所以，即②．
由①，取得，
由②，令，得；令，得，所以．
由①，令，得．
故选：ABC
三、填空题
13．已知幂函数的图象经过第三象限，则 ．
【答案】3
【分析】根据幂函数的定义及常见幂函数的图象求解即可.
【详解】由题意，得，解得或．
当时，的图象不经过第三象限，不符合题意．
当时，经过第三象限，符合题意．
故答案为：3.
14．已知奇函数满足当时，，则 ．
【答案】
【分析】根据奇函数的性质计算可得.
【详解】因为奇函数满足当时，，
所以.
故答案为：
15．某社区为了丰富居民生活，计划开展“读书沙龙”“趣味运动”“环保主题绘画”三项活动．报名参加活动的共有120人，参加活动的居民每人至多参加两项活动．已知参加“读书沙龙”“趣味运动”“环保主题绘画”的人数分别为，同时参加“读书沙龙”“趣味运动”的有20人，同时参加“趣味运动”“环保主题绘画”的有10人，则同时参加“读书沙龙”“环保主题绘画”的有 人．
【答案】20
【分析】根据容斥原理计算可得.
【详解】同时参加“读书沙龙”“环保主题绘画”的人数为.
故答案为：20.
16．已知函数的值域为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先由函数解析式得在上的值域为，结合函数的值域为，可确定为（记在上的值域为M）；再根据的不确定性进行分类讨论，确定每一种情况下函数值域，建立不等式求解的取值范围即可.
【详解】记在上的值域为M
因为在上的值域为，所以．
当时，符合题意．
当时，由于函数的图象开口向上，不满足，故不符合题意．
当且，即时，在上的值域为，由题意可得，解得，故．
当，且，即时，在上值域为，由题意可得，解得，故．
综上，的取值范围是．
故答案为：.
四、解答题
17．设集合．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据集合的并运算直接运算即可；（2）先求出和,再进行交运算即可.
【详解】（1）因为，
所以
（2），
所以,
所以
18．已知为奇函数．
(1)求的值；
(2)用定义证明：在上单调递增．
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）应用奇函数的定义即可求解；
（2）应用定义证明单调性.
【详解】（1）由题意可得，
则，解得
（2）证明：由（1）可得．
令，
则．
因为，所以，
所以，即，
所以在上单调递增
19．已知集合．
(1)在①，②，③三个条件中任选一个，作为下面问题的条件，并解答．
问题：当集合满足______时，求的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据集合的包含关系分和两种情况求参；
（2）根据交集分和两种情况求参.
【详解】（1）选择①②③，都有．
当时，，解得．
当时，解得．
综上，的取值范围为．
（2）当时，由，解得，符合题意．
当时，或解得．
综上，的取值范围为．
20．杭州第19届亚运会，是亚洲最高规格的国际综合性体育赛事．本届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举办．某款亚运会周边产品深受大家喜爱，供不应求，某工厂日夜加班生产该款产品．生产该款产品的固定成本为4万元，每生产万件，需另投入成本万元．当产量不足6万件时，；当产量不小于6万件时，．若该款产品的售价为6元/件，通过市场分析，该工厂生产的该款产品可以全部销售完．
(1)求该款产品销售利润（万元）关于产量（万件）的函数关系式；
(2)当产量为多少万件时，该工厂在生产中所获得利润最大？
【答案】(1)
(2)9；9.5万元．
【分析】（1）根据题意可列出利润与产量的函数关系式.
（2）根据（1）中的关系式分类讨论和时的产量，并分别利用二次函数求最值和基本不等式求最值求出利润最大值.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以：
（2）当时，，
所以当时，取得最大值，最大值为8.5万元．
当时，
当且仅当，即时，取得最大值，最大值为9.5万元．
综上，当产量为9万件时，该工厂在生产中所获得利润最大，最大利润为9.5万元.
21．已知定义在上的函数满足，当时，，且．
(1)求；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)判断在上的单调性，并用定义证明．
【答案】(1)，
(2)为奇函数，理由见解析
(3)在上单调递减，证明见解析
【分析】（1）利用赋值法即可求得；
（2）利用赋值构造或代换得到与关系，进而判断函数奇偶性；
（3）赋值构造出得表达式，再运用定义证明函数单调性.
【详解】（1）令，可得，解得，
令，可得，①
令，可得，②
联立①②可得（因为当时，，所以（舍去）．
（2）为奇函数．理由如下：
令，可得（且），③
用替换，令，可得（且），④
由③④可得（，且），
当时，，也满足，故为定义在上的奇函数．
（3）在上单调递减．证明如下：
由（2）可得，，所以，，
令，，可得，
设，则，，
因为当时，，所以，，
所以，即，
所以在上单调递减．
【点睛】方法点睛：抽象函数求解证明时，一般是通过赋值法，即在已知等式中让自变量取特殊值求得一些特殊的函数值，解题时注意所要求函数值的变量值与已知的量之间的关系，通过赋值还能得出函数的奇偶性、周期性、单调性．
22．已知关于的函数，与在区间上恒有．
(1)若，求的表达式；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得恒成立，取，可求得，再由二次函数的性质，可求得的值；（2）先有恒成立，参变分离后，求出函数的最值求得，再由恒成立，参变分离后，求得，故可求得的范围.
【详解】（1）由，得．
取，得，所以．
由，得，此不等式对恒成立，
所以，则．
此时恒成立，故
（2）由，得，
即对恒成立，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以．
由，得，
即对恒成立．
因为函数在上单调递增，
所以，则．
综上，的取值范围是