2021-2022学年广东省深圳市龙华中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年广东省深圳市龙华中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用集合的包含关系可判断A选项的正误，利用集合的基本运算可判断BCD选项的正误.

【详解】已知全集，，.

对于A选项，，A选项错误；

对于B选项，，B选项正确；

对于C选项，，C选项错误；

对于D选项，，D选项错误.

故选：B.

2．下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据常见函数的单调性和奇偶性，即可容易判断选择.

【详解】根据题意，依次分析选项：

对于A，，为奇函数，不符合题意；

对于B，，为偶函数，在上单调递减，不符合题意；

对于C，，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意；

对于D，为奇函数，不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查常见函数单调性和奇偶性的判断，属简单题.

3．设，，，则a，b，c的大小关系是

A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a

【答案】C

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．

【详解】∵0＜a=0.50.4＜0.50=1，

b=log0.40.3＞log0.40.4=1，

c=log80.4＜log81=0，

∴a，b，c的大小关系是c＜a＜b．

故选C．

【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．

4．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设，根据当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，进而得到答案．

【详解】解：设，

当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，

即方程在区间上有解，

又（2），（3），

故（2）（3），

故方程在区间上有解，

即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是.

故选：C．

5．设命题，使，则使得为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先求出命题为真命题的充要条件，再根据集合的包含关系得到一个充分不必要条件.

【详解】解：设，则为真命题，

在内零点，

，

即命题为真命题的充要条件为，

因为，

所以命题为真命题的一个充分不必要条件可以是；

故选：D.

6．若，则的值是（      ）

A．-3 B．3 C．-9 D．9

【答案】A

【分析】根据的范围化简根式和绝对值，由此求得表达式的值.

【详解】依题意，所以，所以.

故选：A.

【点睛】本小题主要考查根式和绝对值的化简，属于基础题.

7．设，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用对数的运算性质和换底公式直接求得.

【详解】由题意得：．

故选：D．

8．已知二次函数f（x）＝x2+bx+c，若对任意的x1，x2∈[-1，1]，有|f（x1）-f（x2）|≤6，则b的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意得，当x1，x2∈[﹣1，1]，函数值的极差不大于6，进而可得答案．

【详解】∵二次函数f（x）＝x2+bx+c＝+c﹣，对称轴x＝﹣，

①﹣＜﹣1即b＞2时，函数f（x）在[﹣1，1]递增，

f（x）min＝f（﹣1）＝1﹣b+c，f（x）max＝f（1）＝1+b+c，

故f（﹣1）﹣f（1）＝﹣2b，|f（1）﹣f（﹣1）|＝|2b|≤6得 ，

②﹣＞1时，即b＜﹣2时，|f（1）﹣f（﹣1）|＝|2b|≤6得，

③当﹣1≤﹣≤1，即﹣2≤b≤2时，函数f（x）在[﹣1，-]递减，函数f（x）在[﹣，1]递增，

|f（1）﹣f（﹣）|≤6，且|f（﹣1）﹣f（﹣）|≤6，

即|+b+1|≤6，且|﹣b+1|≤6，解得：﹣3≤b≤3，又﹣2≤b≤2，

故b的取值范围是

故选C．

【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题.

二、多选题

9．下列命题中，正确的有（    ）

A．函数与函数表示同一函数

B．已知函数，若，则

C．若函数，则

D．若函数的定义域为，则函数的定义域为

【答案】BC

【分析】A.两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误；解方程组，故B正确；求出，故C正确；函数的定义域为，故D错误.

【详解】解：的定义域是， 的定义域是或，两函数的定义域不同，故不是同一函数，所以A错误;

函数，若，则所以，故B正确；

若函数，则，故C正确；

若函数的定义域为，则函数中，，所以，即函数的定义域为，故D错误.

故选：BC

10．下列各式正确的是（    ）

A．设，则 B．已知，则

C．若，，则 D．

【答案】ABC

【分析】按照指数幂的运算法则和对数的换底公式运算化简求解即可.

【详解】对于A，，故A对

对于B，，故B对

对于C，，，，故C对

对于D，，故D错

故选：ABC

11．（多选题）已知，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据实数指数幂的运算性质，逐项计算，即可求解.

【详解】由，所以A正确；

由，所以B正确；

由，

因为，，所以，所以C错误；

由，所以D正确．

故选：ABD．

12．给出下列结论，其中正确的结论是.

A．函数的最大值为

B．已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是

C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于直线对称

D．已知定义在上的奇函数在内有1010个零点，则函数的零点个数为2021

【答案】CD

【分析】对A，利用换元法求最值；对B，利用复合函数单调性求参数值，注意端点值；对C，利用互为反函数的图象特点；对D，利用奇函数的图象特征.

【详解】对A，令，则的最大值为1，，的最小值为,，故A错误；

对B，函数（且）在上是减函数，，解得，故B错误；

对C，函数与互为反函数，它们的图像关于直线对称，故C正确，

对D，定义在上的奇函数在内有1010个零点，在内有1010个零点，且，函数的零点个数为，故D正确；

故选CD．

【点睛】本题综合考查函数的最值、奇偶性、单调性、零点等性质的应用，考查命题真假的判断，求解时要求对每一个命题的正确性给出证明，对错误命题要能够指出错误的原因.

三、填空题

13．已知是幂函数，且在上是减函数，则实数的值为__________

【答案】2

【分析】解方程，再检验得解.

【详解】解：依题意，，得或，

当时，，幂函数在上不是减函数，所以舍去.

当时，，幂函数在上是减函数．所以.

故答案为：

14．已知函数为奇函数，则函数在区间上的最大值为______.

【答案】

【分析】用奇偶性的定义，求出m，并判断函数的单调性即可.

【详解】函数的定义域为R，且函数为奇函数，

，即 ，解得m=2，

所以；

又在 时，若x增加，则导致增加，从而 增加，

所以 增加， 所以函数在区间上是增函数，

函数在区间上的最大值为，

故答案为：

15．设，且，则m＝________.

【答案】

【分析】首先指数式化为对数式，再根据对数运算公式计算.

【详解】因为，所以，，

所以.所以，所以.

故答案为：

【点睛】本题考查指对数运算，重点考查计算能力，属于基础题型.

16．已知函数，正实数，满足，且，若在区间上的最大值为2，则________.

【答案】

【分析】先画出函数图像并判断，再根据范围和函数单调性判断时取最大值，最后计算得到答案.

【详解】如图所示：根据函数的图象

得，所以．结合函数图象，

易知当时在上取得最大值，所以

又，所以，

再结合，可得，所以.

故答案为：

【点睛】本题考查对数型函数的图像和性质、函数的单调性的应用和最值的求法，是中档题.

四、解答题

17．设全集，集合，

（1）求；

（2）若集合，且，求的取值范围.

【答案】（1）A∪B＝{x|x≥2}，（∁UA）∩B＝{x|x≥4}（2）（﹣6，+∞）

【分析】（1）先求出B＝{x|x≥3}，由此能求出A∪B和（∁UA）∩B．

（2）求出，由B∪C＝C，得B⊆C，由此能求出a的取值范围．

【详解】（1）全集U＝R，集合．∁UA

由得3x﹣7≥8﹣2x，∴x≥3，

从而B＝{x|x≥3}，又∁UA={x|x＜2或x≥4}

∴A∪B＝{x|2≤x＜4}∪{x|x≥3}＝{x|x≥2}，

（∁UA）∩B＝{x|x≥4}

（2）集合C＝{x|2x+a＞0}，化简得，

∵B∪C＝C，∴B⊆C

从而，解得a＞﹣6．

∴a的取值范围是（﹣6，+∞）．

【点睛】本题考查并集、补集、交集、实数的取值范围的求法，考查集合的表示法以及集合的交、并、补运算等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

18．求值：（1）；

（2）.

【答案】（1）；（2）.

【分析】根据指数以及对数的运算法则即可就得结果

【详解】（1）原式=；

（2）原式.

【点睛】本题考查实数的指对幂及其运算，属于基础题.

19．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

(1)求函数在上的解析式；

(2)用单调性定义证明函数在区间上是增函数.

【答案】(1) ;(2)证明见详解.

【解析】(1)根据奇函数的性质,可知,再利用时的解析式,求出时的解析式即可;

(2)直接利用定义法证明即可.

【详解】(1)是定义在上的奇函数,故,

当时,,

所以当时,,,

所以,

因此,;

(2)任取,

则

,

,

,则

所以,即,

所以函数在区间上是增函数.

【点睛】本题考查奇偶性的应用以及定义法证明单调性,难度不大.利用奇偶性求解析式时,注意时的情况,不要遗漏.

20．已知函数.

（1）若函数在区间上单调递减，求的取值范围；

（2）若在区间上的最大值为，求的值.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）区间应在对称轴右端；

（2）分，，三种情况讨论即可.

【详解】（1）由题知函数的对称轴方程为， 在区间上单调递减，

 ，则，解得 ；

（2）由（1）知函数的对称轴方程为，当，即时，函数在区间

上单调递减， 最大值为，解得，与矛盾；

当，即时，函数在区间的最大值为，

解得，舍去；

当，即时，函数在区间上单调递增，最大值为，

解得，与矛盾。

综上，.

【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数范围，分类讨论二次函数的最值问题，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题.

21．已知函数是奇函数，是偶函数

(1)求的值；

(2)设，若对任意恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用奇函数的定义可求得实数的值，利用偶函数的定义可求得实数的值，即可求得的值；

（2）分析可知函数在上为增函数，可求得，根据已知条件得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）解：由于为奇函数，且定义域为，则，

因为，所以，，

所以，恒成立，所以，，即.

由于，，

是偶函数，

，则，

所以，，所以，，

因此，.

（2）解：，，

因为函数在上为增函数，函数在上为减函数，

所以，函数在区间上是增函数，

当时，，所以，，

由题意得，解之得，

因此，实数的取值范围是.

22．因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共为（）万元，每年的销售收入万元.设使用该设备前年的总盈利额为万元.

（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；

（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.

【答案】（1），3年；（2）第二种方案更合适，理由见解析.

【分析】（1）利用年的销售收入减去成本，求得的表达式，由，解一元二次不等式求得从第年开始盈利.

（2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润；

方案二：利用基本不等式求得时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润.

比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案.

【详解】（1）由题意得：

由得即，

解得

由，设备企业从第3年开始盈利

（2） 方案一总盈利额

，当时，

故方案一共总利润，此时

方案二：每年平均利润

，当且仅当时等号成立

故方案二总利润，此时

比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案只需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适.

【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题.