2023-2024学年广东省江门市新会第一中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省江门市新会第一中学高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合,则的子集个数为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据子集的个数为(为集合元素的个数),即可求得答案.
【详解】 .
根据子集的个数为(为集合元素的个数)
的子集个数.
故选:C．
【点睛】本题考查了求集合子集个数问题,解题关键是掌握子集概念,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
2．命题“存在实数满足”的否定为（ ）
A．任意实数满足B．任意实数满足
C．任意实数满足D．存在实数满足
【答案】A
【分析】特称命题的否定为：改量词，否结论，据此解答即可.
【详解】因为命题“存在实数满足”，
所以改量词：“存在实数”改为“任意实数”；
否结论：否为；
故命题“存在实数满足”的否定为“任意实数满足”.
故选：A.
3．已知，，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】解出即可判断.
【详解】由解得或，
因此是的必要不充分条件.
故选：B．
4．幂函数在上为减函数，则实数的值为（ ）
A．或B．C．1D．2
【答案】D
【分析】根据幂函数的定义以及单调性求得的值.
【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或，
当时，，在上递减，符合题意.
当时，，在上递增，不符合题意.
综上所述，的值为.
故选：D
5．设集合,，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】在数轴上表示出集合，根据交集的定义即可求解.
【详解】由已知条件在数轴上表示出集合，如下图所示：
由此可知，所以的取值范围是，
故选: .
6．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式解集和一元二次方程的根的关系，利用韦达定理可求得；将所求不等式变为，根据一元二次不等式的解法可求得结果.
【详解】的解集为
且方程的两根为：和
，解得：
即，解得：
的解集为
故选:
【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，关键是能够根据一元二次不等式的解集和一元二次方程的根的关系求得的值.属于中档题.
7．函数是定义在上的奇函数，时，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】先解当时，的解集，由是奇函数，求出当时，的解析式，再解，取并集即为所求.
【详解】当时，，，解得：，
又是奇函数，图像关于原点对称，
当时，，，解得：，
故不等式的解集是
故选：C．
8．已知为偶函数，当时，，若直线与函数图像恰有4个交点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用偶函数的特性，得到，化简得，进而利用数形结合求解即可
【详解】当时，，
由于为偶函数，
所以当时，则，，
所以，
因为直线与函数图像恰有4个交点，
所以，
即函数与函数的图像恰有4个交点，
作出函数图像如下：
故有，解不等式得：
所以的取值范围为
故选：D
二、多选题
9．下列命题是真命题的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】利用绝对值的性质可判断A选项的正误；取可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；取可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，当时，；当时，.
所以，，，A选项正确；
对于B选项，取，则，B选项正确
对于C选项，取，则，C选项错误；
对于D选项，取，则，D选项正确.
故选：ABD.
10．下列命题中是假命题的有（ ）
A．函数的最小值为2
B．若，则
C．不等式对任意恒成立，则实数的范围是
D．若，则
【答案】ACD
【解析】A.取判断；B.解不等式判断；C由时判断；D取时判断.
【详解】A.当时, ,故错误；
B.因为，解得,故正确；
C当时，不等式显然恒成立，故错误；
D当时，，故错误．
故选：ACD．
11．下列各组函数中，是同一函数的是（ ）
A．与B．与
C．与D．与
【答案】ACD
【分析】根据函数的定义域和解析式逐项判断即可；
【详解】选项A：是同一函数；
选项B：，不是同一函数；
选项C：与定义域都为，对应关系一样，是同一函数；
选项D：与，定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，选项正确；
故选：ACD.
12．已知，，，则（ ）
A．最大值为B．最大值为
C．最小值为2D．最小值为2
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式的相关知识计算判断即可.
【详解】对于A，因为，，，所以，则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以最大值为，故A错误；
对于B，由选项A的分析易知，B正确；
对于C，因为，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以最小值为2，故C正确；
对于D，因为，则，
当且仅当且，即时，等号成立，
所以最小值为2，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．设集合，，.则实数 .
【答案】
【分析】由可得，从而得到，即可得到答案.
【详解】因为，所以，
显然，所以，解得：.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用集合的基本运算求参数值，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题.
14．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式，求出解集即可．
【详解】解：由题意可得，，
，
，
故函数的定义域为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
15．设，满足，则的最小值是 ．
【答案】9
【分析】由题意，根据基本不等式中“1”的妙用，即可求得答案.
【详解】因为，且 ，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故答案为：.
16．已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】显然函数在定义域上单调递减，先比较与的大小，再结合函数单调性分类讨论即可.
【详解】先比较与的大小，令，所以分以下两种情形来解不等式.
情形一：当，即时，有，注意到在严格单调递减，
所以，故此情形不符题意.
情形二：
一方面：当，即时，有.
另一方面：注意到在单调递减（但不严格单调递减），因此若要保证，
必须有（否则，此时有，不符题意），所以；
结合以上两方面有.
综上所述：结合以上两种情形有；即实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合,.求:
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用集合的并集运算求解；
（2）利用集合的补集和交集求解.
【详解】（1） ，
；
（2） 或 ，
.
18．已知集合,
(1)分别求 ；
(2)若集合,求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式以及分式不等式的求解即可化简，
（2）根据集合间的包含关系即可分两类情况求解.
【详解】（1）集合
·
（2）,
当为空集时,
当为非空集合时,可得
综上所述: 的取值范围是
五、证明题
19．已知函数，若方程的两个实数根分别为和.
（1）求实数､的值；
（2）试用定义证明函数在上单调性.
【答案】（1）；；（2）证明见解析.
【分析】（1）将两个实数根代入方程即可得解；
（2）任取，则，化简判定符号即可得到单调性.
【详解】（1）将代入方程，得：
则方程即为：，可解得另一个实数根；
（2）由题（1）知：，
设，则=
，
，即在上单调递增.
六、解答题
20．已知函数.
(1)若，求函数的最小值和最大值；
(2)当，时，求函数的最小值.
【答案】(1)，
(2)详见解析
【分析】（1）直接根据二次函数性质计算得到最值.
（2）考虑，，三种情况，根据二次函数的单调性计算得到最值.
【详解】（1），，
故函数在上单调递减，在上单调递增，
，.
（2）当，即时，函数在单调递减，
；
当，即时，函数在单调递减，在上单调递增，
；
当时，函数在单调递增，；
综上所述：
当时，；
当时，
当时，；
七、问答题
21．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）.当x 为何值时，S最小？并求出这个最小值.
【答案】时，S最小且元.
【解析】先求出，再利用基本不等式求解.
【详解】解：由题意，有，又，有.
当且仅当，即时取“=”.
∴当时，S最小且元.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
八、证明题
22．定义在上的函数满足:①对一切恒有；②对一切恒有；③当时，，且；④若对一切(其中)，不等式恒成立.
(1)求的值；
(2)证明:函数是上的递增函数；
(3)求实数的取值范围.
【答案】（1）4，8（2）证明见解析（3）
【分析】1）用赋值法令求解.
（2）利用单调性的定义证明，任取，由 ，则有，再由条件当时，
得到结论.
（3）先利用将转化为，再将恒成立，利用函数是上的递增函数，转化为恒成立求解.
【详解】（1）令 所以
所以
（2）因为
任取
因为当时，
所以
所以，
所以函数是上的递增函数，
（3）因为
又因为恒成立
且函数是上的递增函数，
所以，(其中)恒成立
所以若对一切(其中)，恒成立.
当 ，即时
所以，
解得
当时，
解得
当，
所以且
解得
综上：实数的取值范围
【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值，单调性及其应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.