2023-2024学年上海市莘庄中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市莘庄中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知奇函数的定义域为R，那么 .
【答案】0
【分析】利用奇函数性质构造关于的方程，解之即可求得的值.
【详解】函数为R上的奇函数，
则，解之得
故答案为：0
2．若且，则函数的图象一定过点 ．
【答案】
【解析】令可解得结果.
【详解】令，即，得，
所以函数的图象一定过点.
故答案为：
3．已知函数在上是严格减函数，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用二次函数的性质及函数单调性即可求解.
【详解】，
所以函数的对称轴为，
因为函数在上是严格减函数，
所以.
所以的取值范围是.
故答案为：.
4．已知偶函数满足：当时，，则时， .
【答案】
【分析】根据偶函数的定义求得结果.
【详解】设，则，则.
故答案为：.
5．已知集合则 .
【答案】
【分析】利用对数式有意义及指数不等式的解法，结合并集的定义即可求解.
【详解】要使有意义，只需，解得，
所以
由，即，解得，
所以
所以.
故答案为：.
6．设为常数且，若函数在R上严格增函数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据复合函数单调性法则以及指数、对数函数的单调性求得结果.
【详解】因为函数在R上严格增函数，
所以，又，
所以,即.
故答案为：.
7．函数的值域是 .
【答案】
【分析】由函数解析式导出，利用指数式的有界性，，即可求解y的取值范围，即为值域.
【详解】由函数解析式，，
，解得
则值域为，
故答案为：
【点睛】指数函数，值域为，即恒成立.
8．若函数的值域为的子集，则满足条件的实数的最小值为 .
【答案】3
【分析】根据函数的定义域、单调性以及集合的包含关系求得结果.
【详解】由题意知，函数定义域为，且是严格增函数，则值域为，
因为函数的值域为的子集，
，即.
则满足条件的实数的最小值为3.
故答案为：3.
9．函数是奇函数，则满足条件的实数的最大值为 .
【答案】2
【分析】由函数是奇函数，且是偶函数，得出为奇函数，再根据奇函数的定义以及绝对值的几何意义得出结果.
【详解】由题意可知，函数的定义域为且且，
因为函数是奇函数，且是偶函数
令，则为奇函数，
，即
且.
则满足条件的实数的最大值为2.
10．已知函数，关于的不等式的解集为 .
【答案】
【分析】先判断出函数的单调性和奇偶性，进而将题给不等式转化为新的简单不等式，解之即可求得原不等式的解集.
【详解】由题意知函数为R上奇函数，且为严格增函数，
,
,
解之得.
故答案为：
11．已知函数，若，且，则关于的代数式的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据已知条件做出函数的图象，利用图象得出的范围关系，结合不等式的性质及对数函数的性质即可求解.
【详解】如图所示，
要使，则.
因为,,,
所以,即，于是有，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
12．记，已知定义域为的函数满足，且该函数恰有2023个零点，若不等式恒成立，则实数的最大值为 .
【答案】
【分析】根据已知条件及基本不等式，结合不等式恒成立问题的解决办法即可求解.
【详解】由题设，且，
对于零点，有则，
当，且时，可得，
所以必为的一个零点，
当，且时，，
所以，
而（由，即取不到等号），
所以，
又不等式恒成立，即，
所以实数的最大值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：由，且，结合零点个数，讨论、且确定零点，应用基本不等式求的范围.
二、单选题
13．以下对数式中，与指数式等价的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据指数式和对数式的关系即可得出.
【详解】根据指数式和对数式的关系，等价于.
故选：A.
14．已知，且，则下列不等式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用指数函数、对数函数、幂函数单调性比较大小即得.
【详解】且，函数在上单调递增，，A错误；
函数在R上单调递减，则，B错误；
函数在上单调递减，则，C正确；
由选项C知，，即，则，D错误.
故选：C
15．在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，结合二次函数和幂函数的性质依次分析选项，即可得到答案.
【详解】对于A，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，符合题意；
对于B， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为减函数，不符合题意；
对于C，二次函数开口向上，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越快，不符合题意；
对于D， 二次函数开口向下，则，其对称轴，则，即幂函数为增函数，且其增加的越来越慢快，不符合题意；
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题考查函数图像的分析，在同一个坐标系中同时考查二次函数和幂函数性质即可得解，考查学生的分析试题能力，数形结合思想，属于基础题.
16．设是定义在上的函数，若存在使得在上是严格增函数，在上是严格减函数，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为的含峰区间.则下列函数为上的单峰函数的个数为（ ）
①；②；
③；④；
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】分别求得①②③④所给函数在上的单调性，进而判定其是否为上的单峰函数.
【详解】①在上单调递减，在上单调递增，
则不是上的单峰函数；
②在上单调递减，在上单调递增，
又为R上增函数，
则在上单调递减，在上单调递增，
则不是上的单峰函数；
③的图像如下：
则在上单调递增，在上单调递减，
为上的单峰函数；
④的图象如下：
在上单调递增，在上单调递减，
为上的单峰函数
故③④为单峰函数
故选：C
三、解答题
17．已知函数的图像经过，其中且
(1)求实数的值
(2)若，求实数的取值范围
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点代入函数即可求得结果；
（2）根据指数函数的单调性并结合一元二次不等式的解集公式求得结果.
【详解】（1）将点代入函数解析式，得，
.
（2）由（1）知函数单调递减，
，
，
，解得或，
则实数的取值范围.
18．已知是整数，幂函数的定义域为R
(1)求的解析式；
(2)记函数，求证：函数在上为严格增函数.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据幂函数的定义域为R得出，解一元二次不等式并结合是整数得出结果；
（2）根据单调性的定义以及指数幂运算证得结果.
【详解】（1）由题意知，
是整数，则，经检验均符合题意.
所以.
（2），
设，
，，，
又，
，即.
则函数在上为严格增函数.
19．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（i）函数的图象接近图示；（ii）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（iiii）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③.
(1)请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由；
(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.
【答案】(1)
(2)，
(3)55
【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型，
（2）将，代入求解系数即可.
（3）将代入解析式即可.
【详解】（1）根据题中材料和题图选择合适的函数模型
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选；
（2）将，代入解析式得到，即，
解得，，即.
当时，，
满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为；
（3）由，，
得，得，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.
20．已知函数的定义域为，其中为常数
(1)若R，讨论的奇偶性，并说明理由
(2)当时，求方程的解集
(3)当时，解关于的不等式，并写出解集（结果用字母表示）
【答案】(1)当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据奇偶性的定义并结合，两种情况进行讨论；
（2）分成，两种情况打开绝对值，结合一元二次方程以及指数幂运算得出结果；
（3）分成，两种情况打开绝对值求解，在时，进一步分成，，三种情况讨论解集.
【详解】（1）由已知可得，，
当时，即，
当时，为奇函数；当时，为非奇非偶函数.
（2）当时，，，
当时，，即，解得(舍)，或，，
当时，，即，解得，；
则方程的解集为.
（3）
当时，，
或，，
当时，，
当时，即，，
当时，即，，解集为空集，
当时，即，，.
综上所述，当时，解集为；当时：当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为.
21．对于函数，若存在，使得，则称函数为“不动点”函数，其中是的一个不动点；若存在，使得，则称函数为“次不动点”函数，其中是的一个次不动点
(1)判断是否为“不动点”函数？若是，指出其不动点；若不是，请说明理由；
(2)若函数在上恒有两个不同的次不动点，求实数的取值范围；
(3)若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围.
【答案】(1)是，2
(2)
(3)
【分析】（1）利用题给条件列方程，进而求得的不动点为2；
（2）利用题给条件列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围；
（3）利用题给条件列出关于实数的不等式组，解之即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）假设为不动点函数，则
当时，，方程无解，舍去；
当时，，解之得，符合题意，
则是“不动点”函数，2是的一个不动点.
（2）由题意知在上恒有两个解
即在上恒有两个解
则，解之得
则实数的取值范围是
（3）由题意可知在上，且唯一
①函数在上仅有一个不动点时，
令，在上是单调增函数
，即
②函数在上仅有一个次不动点时，
在上是单调增函数
令，即
综上所述，.