2022-2023学年上海市闵行区莘庄中学高一（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

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2022-2023学年上海市闵行区莘庄中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
一、填空题（共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．（4分）已知集合，，，集合，，若，则的值为　　．
2．（4分）已知全集，集合，则　　．
3．（4分）满足，，，，的集合有　　个．
4．（4分）已知，则的最小值为 　　．
5．（4分）若、是一元二次方程的两个实数根，则　　．
6．（4分）已知不等式的解集是，则不等式的解是　 　．
7．（5分）设集合，，若，则实数的取值范围是 　　．
8．（5分）已知集合，，，则图中阴影部分表示的的区间为 　　．

9．（5分）已知集合，，，则　　．
10．（5分）若关于的不等式组无解，则实数的取值范围是 　　．
11．（5分）已知集合各元素之和等于3．则实数　　．
12．（5分）若，则，就称是“对偶关系”集合，若集合，，，0，2，4，6，的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个，则实数的取值集合为　　．
二、选择题（共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）若，，，，则下列不等式成立的是　　
A． B． C． D．
14．（5分）设，，则“”是“且”的　　条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分又不必要
15．（5分）记关于的三个方程分别为：
①；
②；
③，其中，，是正实数，且满足．
则下列选项中，能推出方程③无实根的是　　
A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
16．（5分）设集合，，，，其中、，下列说法中正确的是　　
A．对任意，是的子集，对任意，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．存在，使得不是的子集，对任意，不是的子集
D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集
三、解答题（共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．已知集合，，，，，，分别求适合下列条件的的值．
（1）；
（2）．
18．已知集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
19．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性的作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离（米与汽车车速（千米小时）满足下列关系式为常数，，我们做过两次刹车试验，有关数据如图所示，其中，．
（1）求的值；
（2）要使刹车距离不超过12.6米，则行驶的最大速度应为多少？

20．（16分）对于函数与，记集合；
（1）设，，求；
（2）设，，若，求实数的取值范围；
（3）设．如果，求实数的取值范围．
21．（18分）已知集合，集合，2，，集合，1，，且集合满足，．
（1）求实数的值；
（2）对集合，，，，其中，2，，，定义由中的元素构成两个相合：，，，，，，其中是有序实数对，集合和中的元素个数分别为和，若对任意的，总有，则称集合具有性质．
①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；
②试判断和的大小关系，并证明你的结论．

2022-2023学年上海市闵行区莘庄中学高一（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、填空题（共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）
1．（4分）已知集合，，，集合，，若，则的值为　1　．
解：集合，，，集合，，，
，解得，
当时，，1，，，，不成立；
当时，，，，，成立，
的值为1．
故答案为：1．
2．（4分）已知全集，集合，则　　．
解：不等式化为：，即，
，解得或，
则或，
所以．
故答案为：．
3．（4分）满足，，，，的集合有　4　个．
解：满足，，，，的集合有：
，，，，，，，，，，，，
满足，，，，的集合有4个．
故答案为：4．
4．（4分）已知，则的最小值为 　4　．
解：，则，当且仅当时，等号成立，
故答案为 4．
5．（4分）若、是一元二次方程的两个实数根，则　　．
解：由根与系数的关系可得：，，
所以
故答案为：．
6．（4分）已知不等式的解集是，则不等式的解是　　．
解：不等式的解集是，
的解是，
，，
，，
不等式，即，
，
，
解得，
不等式的解集是，，
故答案为：，．
7．（5分）设集合，，若，则实数的取值范围是 　，　．
解：不等式化为：，即，解得，即，
因，，则有，
所以实数的取值范围是．
故答案为：，．
8．（5分）已知集合，，，则图中阴影部分表示的的区间为 　，，　．

解：，，
故，
，解得或，
故或，
由韦恩图知，图中阴影部分对应的集合为，
，
，，，
，，．
故答案为：，，
9．（5分）已知集合，，，则　　．
解：，，当且仅当时取等号，
因此，
由得：，解得，
因此，
所以．
故答案为：．
10．（5分）若关于的不等式组无解，则实数的取值范围是 　，　．
解：对于，有，
解得，
又，且关于的不等式组无解，
所以，
所以实数的取值范围是，．
故答案为：，．
11．（5分）已知集合各元素之和等于3．则实数　2或　．
解：方程，
化简得，
解得，，，
因为它们是集合中的元素，所以存在互异性．
当时，即，解得，
此时，满足．
当时，，不合符题意；
当时，不合符题意；
当时，，
此时，满足题意．
故的取值为2或，
故答案为：2或．
12．（5分）若，则，就称是“对偶关系”集合，若集合，，，0，2，4，6，的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个，则实数的取值集合为　，　．
解：集合，，，0，2，4，6，的所有的“对偶关系”
有与6，与4，2与0，则与7，
这些组合的“对偶关系”有4对，集合有个．
那么，可得．
当时，则，也满足“对偶关系”．
可得实数的取值集合为，．
故答案为，．
二、选择题（共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）若，，，，则下列不等式成立的是　　
A． B． C． D．
解：．，不成立，
．，根据不等式的基本性质，，，故正确
．，，不成立，
．时，，不成立．
故选：．
14．（5分）设，，则“”是“且”的　　条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分又不必要
解：由且，
反之不成立，例如，，
“”是“且”的必要不充分条件，
　故选：．
15．（5分）记关于的三个方程分别为：
①；
②；
③，其中，，是正实数，且满足．
则下列选项中，能推出方程③无实根的是　　
A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根
解：对于：方程①有实根，且②有实根，则，，即，，
又，则，
要使方程③无实根，则，显然不成立，故错误；
对于：方程①有实根，且②无实根，则，，即，，
又，则，
即，此时方程③满足△，故正确；
对于：方程①无实根，且②有实根，则，，即，，
又，则，
要使方程③无实根，则，显然不成立，故错误；
对于：方程①无实根，且②无实根，则，，即，，
又，则，
要使方程③无实根，则，显然不成立，故错误；
故选：．
16．（5分）设集合，，，，其中、，下列说法中正确的是　　
A．对任意，是的子集，对任意，不是的子集
B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集
C．存在，使得不是的子集，对任意，不是的子集
D．存在，使得不是的子集，存在，使得是的子集
解：对于集合，，
可得当时，即，可得，
即有，可得对任意，是的子集，
对于集合，，
当时，，，可得是的子集，
当时，，，可得不是的子集，
所以存在，使得是的子集，
故选：．
三、解答题（共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．已知集合，，，，，，分别求适合下列条件的的值．
（1）；
（2）．
解：（1），且，
或，或．
检验知：或．
（2），，或．
当时，，9，，，，，此时，与矛盾，
所以．
18．已知集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1），
由于，即，即，解得，故，
，
，
，解得，
故实数的取值范围为；
（2）由，
当时，此时，则满足，
当时，此时，若，则，
当时，此时，若，则，解得，
综上所述的取值范围为或，或．
19．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性的作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离（米与汽车车速（千米小时）满足下列关系式为常数，，我们做过两次刹车试验，有关数据如图所示，其中，．
（1）求的值；
（2）要使刹车距离不超过12.6米，则行驶的最大速度应为多少？

解：（1）依题意有，
由①得：，
由②得：，
；
（2），
，
，
．
行驶的最大速度应为每小时60千米．
20．（16分）对于函数与，记集合；
（1）设，，求；
（2）设，，若，求实数的取值范围；
（3）设．如果，求实数的取值范围．
解：（1）由题意，函数，，
令，即或，解得或，
所以或；
（2）由题意，函数，，
又由，即不等式的解集为，
即在上恒成立，
①当时，即时，不等式为在上恒成立；
②当时，则满足且△，解得，
综上所述，实数的取值范围是，；
（3）由题意，函数，
由，可得，解得，
又由，可得，
①当时，不等式的解集为，要使得，
则满足，即，所以此时；
②当时，不等式的解集为或，要使得
则满足，即，所以此时；
③当时，不等式的解集为或，要使得，
则满足恒成立，所以此时，
综上所述，实数的取值范围是．
21．（18分）已知集合，集合，2，，集合，1，，且集合满足，．
（1）求实数的值；
（2）对集合，，，，其中，2，，，定义由中的元素构成两个相合：，，，，，，其中是有序实数对，集合和中的元素个数分别为和，若对任意的，总有，则称集合具有性质．
①请检验集合与是否具有性质，并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和；
②试判断和的大小关系，并证明你的结论．
解：（1）已知集合，2，，集合，1，，
由，，可得，
即是方程的一个根，
即，即，解得或．
当时，方程为，解得或，此时，（不合题意，舍去）；
当时，方程为，解得或，此时，符合题意．
综上，．
（2）①由（1）可知，1，2，，，1，2，，
易得集合不满足性质，集合满足性质，
则，，，
，，．
②与的大小关系为．
证明如下：对于，根据定义知，，且，从而，
如果与是的不同元素，
那么与中至少有一个不成立，
从而与中也至少有一个不成立，
故与也是的不同元素，
可见中元素的个数不多于中元素的个数，即．
对于，根据定义知，，且，从而，
如果与是的不同元素，
那么与中至少有一个不成立，
从而与中也至少有一个不成立，故与也是的不同元素，
可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即．
综上，．