53，上海市莘庄中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题(2)

这是一份53，上海市莘庄中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题(2)，共10页。试卷主要包含了12，已知偶函数满足，已知集合，则______，函数的值域为______等内容，欢迎下载使用。

2023.12
一、填空题 (本大题共有12小题，满分54分) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.
1.已知奇函数的定义域为，那么______.
【答案】0
【解析】由
2.设实数且，则函数的图像恒过定点______.
【答案】
【解析】由知定点为
3.已知函数在上是严格减函数，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】由题意知对称轴为，则
4.已知偶函数满足：当时，，则时，______.
【答案】
【解析】设，则，则
5.已知集合，则______.
【答案】
【解析】由题意知
6.设为常数且，若函数在上严格增函数，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意知更多课件 教案 视频 等低价同类优质滋源请 家 威杏 MXSJ663 7.函数的值域为______.
【答案】
【解析】
8.若函数的值域为的子集，则满足条件的实数的最小值为______.
【答案】3
【解析】由题意知，函数定义域为，且严格增函数，则值域为
则满足条件的实数的最小值为3
9.函数是奇函数，则满足条件的实数的最大值为______.
【答案】4
【解析】由题意可知，函数的定义域为
因为函数是奇函数，且是偶函数
令，则为奇函数
，即
且
则满足条件的实数的最大值为4
10.已知函数，关于的不等式的解集为______.
【答案】
【解析】由题意知函数为奇函数，且严格增
11.已知函数，若，且，则关于的代数式的取值范围为______.
【答案】
【解析】如图所示，要使，则
因为
所以，所以
12.记，已知定义域为的函数满足，且该函数恰有2023个零点，若不等式恒成立，则实数的最大值为______.
【答案】
【解析】不妨设
，也是的零点
当时，
则实数的最大值为
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13.下列对数式中，与指数式等价的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由指数式和对数式互化的定义即可得，故选A
14.已知，且，则下列不等式中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
故选C
15.在同一直角坐标系中，二次函数与幂函数图像的关系可能为（ ）
【答案】A
【解析】对于A，二次函数开口向上，则，其对称轴为，幂函数中，，为减函数，符合题意
对于B，二次函数开口向下，则，其对称轴为，幂函数中，，为减函数，不符合题意
对于C，二次函数开口向上，则，其对称轴为，幂函数中，，为增函数，且其增加越来越快，不符合题意。
对于D，二次函数开口向下，则，其对称轴为，幂函数中，，为增函数，且其增加越来越慢，不符合题意
故选A
16.设是定义在上的函数，若存在使得在上是严格增函数，在上是严格减函数，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为的含峰区间。则下列函数为上的单峰函数的个数为（ ）
①；②；
③；④；
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】C
【解析】①在上单调递减，在上单调递增；②在上单调递减，在上单调递增；③在上单调递增，在上单调递减；④在上单调递增，在上单调递减
故③④为单峰函数
故选C
三、解答题 (本大题满分78分) 本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知函数的图像经过，其中且
（1）求实数的值
（2）若，求实数的取值范围。
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）将点代入函数解析式，得
（2）由（1）知函数单调递减
则实数的取值范围
18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
已知是整数，幂函数的定义域为
（1）求的解析式
（2）记函数，求证：函数在上为严格增函数。
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
（1）由题意知
是整数，则，经检验均符合题意
（2）
设，
则函数在上为严格增函数
19.（本题满分14分，第1小题3分，第2小题6分，第3小题5分）
学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图像接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分。现有以下三个函数模型供选择：①；②；③
（1）请你从中选择一个合适的函数模型，并说明理由；
（2）根据你（1）的判断以及所给信息进一步完善你选择的函数模型，并给出最终的函数的解析式；
（3）已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）。
【答案】（1）模型③；（2）；（3）55
【解析】
（1）对于模型①，，当满足同时过点时，
则，即，即
为直线型函数，不符合题意
对于模型②，由图可知，该函数的增长速度较慢，且是指数型的函数，其增长时爆炸型增长，故②不符合题意
对于③：，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选模型③
（2）将代入得，解得
则函数解析式为
又当时，，符合题意
（3）由（1）得
因为每天得分不少于4.5分
所以，即
，即
则每天得分不少于4.5分，至少需要锻炼55分钟
20.（本题满分18分，第1小题6分，第2小题6分，第3小题6分）
已知函数的定义域为，其中为常数
（1）若，讨论的奇偶性，并说明理由
（2）当时，求方程的解集
（3）当时，解关于的不等式，并写出解集（结果用字母表示）
【答案】（1）当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数；
（2）；（3）见解析
【解析】
（1）当时，为奇函数，当时，为非奇非偶函数
（2）当时，
当时，解得
当时，解得
则方程的解集为
（3）
当时，，
当时，，
当时，即，，
当时，即，，解集为空集，
当时，即，，
综上所述，当时，解集为；当时：当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为
21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
对于函数，若存在，使得，则称函数为“不动点”函数，其中是的一个不动点；若存在，使得，则称函数为“次不动点”函数，其中是的一个次不动点
（1）判断是否为“不动点”函数？若是，指出其不动点；若不是，请说明理由
（2）若函数在上恒有两个不同的次不动点，求实数的取值范围。
（3）若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围
【答案】（1）是，2；（2）；（3）
【解析】
（1）假设为不动点函数，则
当时，，无解，舍去
当时，，符合题意，
则是“不动点”函数，2是的一个不动点
（2）由题意知在上恒有两个解
即在上恒有两个解
则
则实数的取值范围是
（3）由题意可知在上，且唯一
①函数在上仅有一个不动点时，
令在上是单调增函数
，即
②函数在上仅有一个次不动点时，
在上是单调增函数
令，即
综上所述，