上海市长宁区复旦中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

这是一份上海市长宁区复旦中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题，共18页。试卷主要包含了12， 已知p， 已知偶函数在单调递减，等内容，欢迎下载使用。

2023.12
Ⅰ卷（100分）
一、填空题（1-6题3分，7-12题4分，共42分）
1. 函数的定义域是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
2. 设实数满足，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数式与指数式的互化即可求解.
【详解】因为，
所以，
故答案为：16
3. 函数（且）恒过定点______.
【答案】
【解析】
【分析】令，即可得出函数（且）恒过的定点.更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 【详解】令得，此时，
所以函数恒过定点.
故答案：.
4. 已知p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据充分性和必要性，求得参数的取值范围，即可求得结果.
【详解】因为p：x＞a是q：2＜x＜3的必要不充分条件，
故集合为集合的真子集，故只需.
故答案为：.
5. 已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【详解】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得.
考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.
6. 函数的单调减区间为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由幂函数、二次函数的单调性及复合函数单调性的判断法则即可求解.
【详解】解：函数的定义域为，
令，，，
因为函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调减区间为，单调增区间为.
故答案为：.
7. 若函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由可得出，设函数，将问题转化为函数与函数的图象有交点，利用数形结合思想可求出实数的取值范围.
【详解】由可得出，设函数，
则直线与函数的图象有交点，
作出函数与函数的图象如下图所示，
由图象可知，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用函数有零点求参数的取值范围，在含单参数的函数零点问题的求解中，一般转化为参数直线与函数图象有交点来处理，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
8. 若函数是偶函数，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据偶函数的定义结合对数运算求得的值即可.
【详解】∵为偶函数，定义域为，
∴对任意的实数都有，
即，
∴，
由题意得上式对任意的实数恒成立，
∴，解得,所以
故答案为：1
9. 设函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是________
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】解：根据题意，函数是定义在上的增函数，
则有，解可得，
即的取值范围为，
故答案为：．
10. 已知函数，若，且，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，，得，所以，然后构造函数，利用可求出其单调区间，从而可求出其范围
【详解】的图象如图，
因为，
所以，
因为，
所以，，
所以，
所以，
所以，所以，
所以，则，
所以，
令，则，
当时，，
所以在上递减，
所以，
所以，
所以的取值范围为，
故答案为：
11. 已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得不等式对于恒成立，令可得不等式对于恒成立，参变分离可得对于恒成立，再根据二次函数的性质求出的最大值，即可求出参数的取值范围.
【详解】不等式对于恒成立，
即不等式对于恒成立，
令，则，所以不等式对于恒成立，
所以对于恒成立，
令，则，函数在上单调递减，
所以，即，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：
12. 已知函数)和同时满足以下两个条件:
①对任意实数都有或；
②总存在，使成立，
则取值范围是._________
【答案】
【解析】
【分析】由于时，，根据题意有在时成立；由于，，而，则在时成立．由此结合二次函数的性质可求出结果．
【详解】对于①，当时，，
又①，或
在时恒成立
则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与轴交点都在的左面，
即，可得
又②，
此时恒成立
在有解，
的对称轴为，，
在单调递增，
，且，解得：．
故答案为．
【点睛】本题主要考查对全称命题与特称命题的理解，并转化成研究二次函数的函数值正负问题，充分利用数形结合思想进行求解，能使问题的求解思路更清晰．
二、单选题（每题4分，共16分）
13. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数函数的单调性即可判断B；举出反例即可判断AC；根据幂函数的单调性即可判断D.
【详解】当时，，故AC错误；
因为，所以，
而函数为增函数，所以，故B错误；
因为是上增函数，所以，故D正确.
故选：D.
14. 设是定义在R上的函数，若存在两个不等实数，，使得，则称函数具有性质P，那么下列函数：①；②；③；具有性质P的函数的个数为（ ）
A 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，找出存在的点，如果找不出则需证明：不存在，，使得．
【详解】①因为函数是奇函数，可找关于原点对称的点，比如，存在；
②假设存在不相等，，使得，即，得，矛盾，故不存在；
③函数为偶函数，，令，，
则，存在．
故选：．
【点睛】本题考查函数新定义，考查函数的解析式以及函数的单调性，同时学生的理解能力，以及反证法的应用，属于中档题．
15. 将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，得到的函数图像，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的图象变换的原则，结合对数的运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】由题意，将函数的图像向左、向下各平移1个单位长度，
可得.
故选：B.
16. 德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名函数，该函数被称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数有如下四个命题：
①；②对任意，恒有成立；
③任取一个不为零有理数，对任意实数均成立；
④存在三个点、、，使得为等边三角形；
其中真命题的序号为（ ）
A. ①②③④B. ②④C. ②③④D. ①②③
【答案】C
【解析】
【分析】命题①：根据狄利克雷函数的定义分别验证为无理数和为有理数时的值；命题②和命题③：分为无理数和为有理数两种情况进行验证；命题④：结合狄利克雷函数的定义找特殊点进行验证．
【详解】对①：当为无理数时，，所以；当为有理数时，，所以，所以对任意，恒有，故①错误；
对②：当为无理数时，也为无理数，所以；当为有理数时，也为有理数，所以，故②正确；
对③：对任意实数，任取一个不为零的有理数，若为无理数时，则也为无理数，所以；
当为有理数时，则也为有理数，所以，所以任取一个不为零的有理数，，对任意实数均成立，故③正确；
对④：取，，，得，，，所以，，，此时为等边三角形，故④正确.
综上所述：②③④为真命题，故C正确.
故选：C.
三、解答题（分）
17. 已知函数的定义域为集合，集合，且.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：函数是奇函数但不是偶函数.
【答案】（1） ;（2）见解析.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由对数的真数大于0，可得集合，再由集合的包含关系，可得的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得的定义域，计算与比较，即可得到所求结论．
试题解析：（1）令，解得，所以，
因为，所以，解得，即实数的取值范围是
（2）函数的定义域，定义域关于原点对称

而，，所以
所以函数是奇函数但不是偶函数.
18. 已知函数为幂函数，且为奇函数.
（1）求的值，并确定的解析式；
（2）令，求在的值域.
【答案】（1）,；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据幂函数的定义及函数奇偶性的定义即可求解；
（2）由（1），得，利用换元法得到，
，再根据二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
因为函数为幂函数，
所以，解得或，
当时，函数是奇函数，符合题意，
当时，函数是偶函数，不符合题意，
综上所述，的值为，函数的解析式为.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以，
令，则，
，
所以，，
根据二次函数的性质知，的对称轴为，开口向上，
所以在上单调递增；
所以，
所以函数在的值域为.
19. 2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）
（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元
【解析】
【分析】（1）根据题意列方程即可.
（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.
【小问1详解】
由题意知，当时，（万件），
则，解得，∴．
所以每件产品的销售价格为（元），
∴2020年的利润．
【小问2详解】
∵当时，，
∴，
当且仅当即时等号成立．
∴，
即万元时，（万元）．
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．
20. 已知函数（是常数）.
（1）若，求函数的值域.
（2）若为奇函数，求实数，并证明图像始终在的图像的下方.
（3）设函数，若对任意，以，，为边长总可以构成三角形，求的取值范围.
【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（1）将函数化为，再利用反函数法即可求解.
（2）由奇函数的定义可得，代入解析式化简整理可求；只需证出即可.
（3）由题意只需，，令，，可得，讨论对称轴的取值范围，根据二次函数的性质求出的最值即可求解.
【详解】（1）若，则，即，
整理得，因为，所以，即，
所以函数的值域为；
（2）若为奇函数，则，
即，整理得，
因为恒不为0，所以，解得，此时，
所以，
所以图像始终在的图像的下方﹔
（3）由题意得，，
令，，则，其对称轴为，
①当，即时，严格减，
由得，
解得或，所以，
②当，即时，先减后增左端点高，
由得，无解，
③当，即时，先减后增右端点高，
由得，无解，
④当，即时，严格增，
由得，
解得或，所以，
综上，.
【点睛】关键点点睛：本题考查了求函数的值域、二次函数的最值以及不等式恒成立，解题的关键是得出，考查了分类讨论的思想、数学运算，此题综合性比较强.
Ⅱ卷（20分）
（每题5分，满分20分）
21. 函数，若关于x的方程2[f(x)]2－(2a＋3)·f(x)＋3a＝0有五个不同的实数解，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】要使关于的方程2[f(x)]2－(2a＋3)·f(x)＋3a＝0有五个不同的实数解，只需使函数y＝f(x)的图象与直线y＝、y＝a共有五个不同的交点，画出函数的大致图象，利用数形结合可得结果．
【详解】由2[f(x)]2－(2a＋3)·f(x)＋3a＝0，得[2f(x)－3][f(x)－a]＝0，∴f(x)＝或f(x)＝a．
画出函数y＝f(x)的大致图象，如图，
要使关于x的方程2[f(x)]2－(2a＋3)·f(x)＋3a＝0有五个不同的实数解，
即要使函数y＝f(x)的图象与直线y＝、y＝a共有五个不同的交点，
则a的取值范围是，
故答案为：．
22. 已知函数，对任意的，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，则的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】判断函数的单调性，利用单调性求函数在的最值，由条件列不等式求的取值范围.
【详解】函数的定义域为,
因为函数在上为减函数，在上为增函数，
所以在区间内单调递减，
所以函数在区间上的最大值与最小值分别为，，
则，
得，整理得．
令，则的图象是开口向上，对称轴为的抛物线，
所以在上是增函数，等价于，
即，解得．
所以的取值范围为．
故答案为：.
23. 已知函数对于任意x，，总有，当时，，且，则不等式的解集为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用赋值法判定函数的奇偶性与单调性，再根据条件求出，根据单调性解不等式即可.
【详解】令得，
令，得，则为奇函数，
设，则，
因为当时，，所以，则，
所以在R上单调递增．
由，得，
所以．
可化为，所以，
解得．
故答案为：
24. 设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
【分析】设，可确定当时，函数的零点个数，继而作出的大致图像，考虑时的图象情况，分类讨论，将零点问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，即可解决.
【详解】设，当时，，此时，
由，得，即，解得或，
即在上有2个零点；
若，，其图象对称轴为，
函数的大致图像如图：

则此时，即，则，
即无解，则无零点，此时无零点，不符合题意；
故需，此时函数的大致图像如图：

由得或，
要使得函数恰有3个零点，需满足在上有一个零点
此时只有一个解，故只需与函数在y轴左侧图象无交点，
则需，解得，结合，
可得，
故答案为：
【点睛】方法点睛：本题为复合函数的零点问题，解答时采用数形结合的方法去解决，即作出函数的大致图像，将函数零点问题转化为曲线的交点个数问题，即可解决.