2023-2024学年上海市闵行第三中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市闵行第三中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，问答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】利用二次根式的意义计算即可.
【详解】由题意可知，
即函数的定义域为.
故答案为：
2．函数（且）恒过定点 .
【答案】
【分析】令指数，即即可得解.
【详解】当时，，所以函数（且）恒过定点.
故答案为：.
3．函数，则 .
【答案】2
【分析】由解析式先求，再求即得.
【详解】因为，所以.
故答案为：2
4．已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则 .
【答案】-1
【分析】根据幂函数在上为严格减函数，可得，再由幂函数奇函数即可得答案.
【详解】解：因为幂函数在上为严格减函数，
所以，
所以，
又因为幂函数奇函数，且，
所以，
故答案为：-1
5．已知，，则用a、b表示 .
【答案】
【分析】由对数的换底公式及对数运算法则求解．
【详解】，
故答案为：．
6．已知，则的最小值为
【答案】32
【分析】根据基本不等式结合指数的运算即可得解.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
7．函数的奇偶性是 .
【答案】奇函数
【分析】利用对数函数的定义域以及函数奇偶性的定义求解.
【详解】由函数，可得，
解得，
所以，所以，
，
所以函数是奇函数，
故答案为:奇函数.
8．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由复合函数单调性以及对数函数的定义域即可得解.
【详解】因为函数关于单调递增，函数在上是严格减函数，
所以关于在上是严格减函数，且，
所以当且仅当，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
9．已知函数，若方程有3个不同的根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】将方程的根的个数转换为函数图象的交点的个数，利用指数函数一次函数单调性画出函数图象，通过平移直线来找到满足题意的实数的取值范围即可.
【详解】由题意，
根据（复合）函数单调性画出函数大致图象如图所示，
由题意方程有3个不同的根，则函数图象有三个不同的交点，
通过平移直线发现，函数图象有三个不同的交点当且仅当，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
10．已知函数是奇函数，且当时，，则当时， ．
【答案】
【分析】根据题意可得，且，当时，，代入即可，注意时的情况可．
【详解】由函数是奇函数，则，且，
又当时，，
则当时，，则，①
又当时不满足①式，
所以．
故答案为：．
11．若函数值域为，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先设函数值域为，再根据对数函数定义域和值域的关系，可得，再分和两种情况讨论求解．
【详解】设函数值域为，
由函数值域为，
则，
当时，的值域为，符合题意；
当时，由，解得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
12．某同学向老师请教一题：当时，函数图像恒在直线的上方（不含该直线），求实数的取值范围.老师告诉该同学：“恒成立，当且仅当时取等号.且方程在上有解”，根据老师的提示可得的取值范围是 .
【答案】
【分析】由参变量分离法可得出，利用已知条件求出函数在上的最小值，由此可得出实数a的取值范围.
【详解】因为，所以，由可得，
由题意恒成立，当且仅当时取等号；且方程在上有解，
所以，当且仅当时，等号成立，
所以，因此实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；（2），；
（3），；（4），.
二、单选题
13．下列四组函数中，与表示同一函数是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】对于ABC而言，说明两函数的定义域不同即可排除，对于D而言由绝对值的定义可以得到两函数的定义域、对应法则一样，由此即可得解.
【详解】对于A，，的定义域分别为，故A不符题意；
对于B；，的定义域分别为，故B不符题意；
对于C，，的定义域分别为，故C不符题意；
对于D，因为，其定义域、对应法则都是一样的，故D符合题意.
故选：D.
14．在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数的图象特征，结合开口方向以及的正负，即可确定与1的关系，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，二次函数开口向上，则，，，，为减函数，符合题意，
对于B，二次函数开口向上，则，，此时不是指数函数，不符合题意，
对于C，二次函数开口向下，则，，此时函数 不是指数函数，不符合题意，
对于D，二次函数开口向下，则，，指数函数增函数，不符合题意，
故选：A
15．若函数是定义在上的偶函数，在区间上是严格减函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用偶函数的性质，分段解不等式即得.
【详解】函数是上的偶函数，在上是严格减函数，则在上是严格增函数，，
不等式化为：或，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：B
16．定义域为且同时满足以下两个条件：（1）对任意的，恒有；（2）若，，则有成立，这样的函数，我们称为“函数”，下列判断：
①若为“函数”，则；
②若为“函数”，则在上为严格增函数；
③函数在上是“函数”；
④函数在上是“函数”.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据“函数”的定义，对四个判断逐个分析可得答案.
【详解】对于①，若为“函数”，由（1）可知，由（2）可知，，即，故，故①正确；
对于②，当恒成立时，满足（1）（2），但是在上不是严格增函数，故②不正确；
对于③，令，，则，，此时，即不满足（2），所以函数在上不是“函数”，故③不正确；
对于④，当时，为增函数，所以，所以满足（1），
当时，，所以满足（2），故函数在上是“函数”，故④正确.
综上所述：①④正确，②③不正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：对函数新定义的正确理解和运用是解题关键.
三、问答题
17．已知集合，.
(1)求A和B；
(2)若，且，求的取值范围.
【答案】(1),
(2)
【分析】（1）分别根据指数函数、对数函数单调性以及运算性质化简运算即可得解.
（2）由题意当且仅当，从而，解不等式即可得解.
【详解】（1）由题意，，
解得，即.
（2）由（1）可知，
若，则，所以当且仅当，解得，所以的取值范围.
18．已知函数.
（1）当时，求该函数的值域；
（2）若不等式对于恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】(1)将变形为,再令,利用换元法转换为二次函数求值域;
(2)方法一:将不等式整理为对恒成立,再利用二次函数的性质分类讨论最值求解;方法二:将不等式变形为对恒成立,则求出的最大值即可得解.
【详解】(1),
令,则时,
此时,,
,,
所以时,函数的值域为;
(2)对于恒成立,
方法一:
即对恒成立,
即对恒成立,
设,,
则,
①当,即时,
所以;
②当,即时,
,
所以;
综上所述,.
方法二:
即对恒成立,
对恒成立,
设,,
在上单调递增,
,
.
【点睛】本题考查复合函数求值域,考查含参不等式恒成立问题,属于中档题.在解决含参不等式恒(能)成立问题时,常见的方法有分类讨论法和分离参数法.
四、应用题
19．某家庭进行网上理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）.
(1)分别写出两种产品的年收益与投资的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
【答案】(1)
(2)当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.
【分析】（1）根据待定系数法可得；
（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，写出年收益的解析式，利用换元法可得最大年收益.
【详解】（1）由题意设投入万元，稳健型产品的年收益，风险型产品的年收益，
由图知，函数和的图象分别过点和，
代入解析式可得，
所以
（2）设用于投资稳健型产品的资金为x，用于投资风险型产品的资金为，年收益为y，
则，
令，则，
当，即时，，
所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元.
五、问答题
20．已知定义域为的函数为奇函数.
(1)求函数解析式
(2)证明函数单调性
(3)若关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)是上的增函数
(3)
【分析】（1）由奇函数的性质即求得，反过来记得按奇函数的定义检验一下即可求解.
（2）按照单调性的定义、指数函数单调性即可求解.
（3）首先由函数的单调性、奇偶性将不等式转化为，通过换元、基本不等式、分离参数即可求解.
【详解】（1）由题意函数是定义域为的奇函数，所以，即，解得，
当时，，，且函数的定义域为，
即此时是上的奇函数，满足题意.
（2）由（2）可知，不妨设，
则，
因为，所以，
从而，即，
所以是上的增函数.
（3）由（1）可知是上的奇函数，
所以，
由（2）可知是上的增函数，
所以由题意，令，
所以，
而在上单调递增，
所以在上单调递减，
从而，
故，即实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题第一问求解析式之间根据奇函数性质求得，但一定要注意检验，第二问比较常规，第三问的关键是首先根据单调性、奇函数性质“去括号”，然后分离参数、基本不等式、换元运算即可得解.
21．定义在区间上的函数满足：若对任意，，都有，则称是上的上凸函数．
(1)判断函数是否为上凸函数？为什么？
(2)若函数在上是上凸函数，求的取值范围；
(3)在（2）的条件下，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)是凸函数，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据凸函数的定义，结合基本不等式推导证明即可；
（2）根据凸函数的定义化简可得，结合与对数函数的单调性求解即可；
（3）化简可得在时恒成立，再结合分析即可.
【详解】（1）函数是上凸函数．理由如下．
设，，欲证函数是上凸函数，需证，即证，即证，
由不等式知识可得上式显然成立，故函数是上凸函数．
（2）由函数在上是上凸函数，
可得对任意，，．
又，所以．
（3）当时，不等式恒成立，
即，即恒成立，
可得在时恒成立．
因为，所以，，所以．
由，及，可得，所以．
故．