2023-2024学年湖北省宜昌市长阳土家族自治县第一高级中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖北省宜昌市长阳土家族自治县第一高级中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据根式化简集合，即可由交运算即可求解.
【详解】集合.
故选：B
2．设命题，则命题的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】依据特称命题的否定写出命题的否定即可解决.
【详解】命题的否定是
故选：A
3．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解
【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为，，相同的圆心角为，则，得，又因为，所以，，
该扇形玉雕壁画面积
（）．
故选：D．
4．已知函数y＝，则使函数值为5的x的值是（ ）
A．－2
B．2或－
C．2或－2
D．2或－2或－
【答案】A
【分析】分x≤0和x>0两种情况求解即可
【详解】当x≤0时，
x2＋1＝5，x＝－2.
当x>0时，－2x<0，不合题意.
故x＝－2.
故选：A
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性及特殊值判定即可.
【详解】由可知是偶函数，即其图象关于纵轴对称，排除C、D选项；
又当时，，排除B项.
故选：A
6．某网红城市鹅城人口模型近似为（单位：万人），其中表示2015年的人口数量，则鹅城人口数量达到60万的年份大约是（ ）（参考数据：）
A．2037年B．2047年
C．2057年D．2067年
【答案】C
【分析】根据指对互化，即可求解.
【详解】，即，
故
故选：C
7．函数在区间上的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将函数分离常数，再利用函数的单调性求解.
【详解】函数，易得函数在上单调递减，在上单调递减，
当时，；当时，；
所以函数的值域为.
故选：D.
8．若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】确定函数是上的减函数，且为偶函数，考虑和两种情况，根据函数的单调性和奇偶性解不等式得到答案.
【详解】对任意的，且，都有，
即对任意两个不相等的正实数，，不妨设，
都有，所以有，
所以函数是上的减函数，
又因为为奇函数，即有，有
所以有，所以为偶函数，
所以在上单调递增.
①当，即时，有，由，
得，所以，解得，此时无解；
②当，即时，由，得，
所以，解得或.
综上所述：不等式的解集为.
故选：B
二、多选题
9．若函数的图象是连续的，且函数的唯一零点同在区间，，，内，则与符号不同的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据二分法及函数零点的存在性定理，逐步分析可得.
【详解】由二分法的步骤可知，
①零点在内，则有，不妨设，，取中点2；
②零点在内，则有，则，，取中点1；
③零点在内，则有，则，，取中点；
④零点在内，则有，则，，则取中点；
⑤零点在内，则有，则，，
所以与符号不同的是，，，
故选：ABD.
10．下列判断正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据指数函数单调性知A正确，计算得到B正确，不成立，C错误，计算得到D错误，得到答案.
【详解】对选项A：，正确；
对选项B：，故，，正确；
对选项C：要证，即，即，不成立；
对选项D：，错误；
故选：AB.
11．下列说法错误的是（ ）
A．函数的值域为，则，或
B．若，则函数的最小值为
C．是的充分不必要条件
D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
【答案】BD
【分析】根据值域得到，解得A正确，均值不等式等号成立条件不满足，B错误，根据函数单调性得到C正确，当时，不等式恒成立，D错误，得到答案.
【详解】对选项A：函数的值域为，则，
解得或，正确；
对选项B：，
当且仅当，即时等号成立，等号成立条件不满足，错误；
对选项C：，即，
函数单调递增，故，即；
取，满足，，，不成立，正确；
对选项D：当时，不等式恒成立，错误；
故选：BD.
12．己知函数是定义在R上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的值可能为（ ）
A．B．0C．D．
【答案】AC
【分析】先根据解析式得出当时，恒成立.进而根据奇函数的性质得出当时，.作出函数在时的图象，解方程得出或.结合图象及已知可知有3个解，根据图象，即可得出的值.根据奇函数的对称性，即可得出的情况.
【详解】由已知可得，当时，恒成立，
根据函数解析式可知，当时，恒成立.
又函数是定义在R上的奇函数，
所以，当时，恒成立，且.
作出图象，
解方程可得或.
根据图象可知与图象有一个公共点，
则图象与图象有三个公共点，
由图象可知，.
根据奇函数的性质，可知当时，图象与图象也有三个公共点.
所以实数的值是
故选：AC
三、填空题
13．已知，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由对数的运算性质化简可得，再由基本不等式求解即可.
【详解】由题得，，且，
所以，
，当且仅当时等号成立.
故答案为：.
14．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】由具体函数的定义域求解即可.
【详解】函数的定义域满足：，
解得且.
故答案为：.
15．若、是关于的方程的两个根，则 .
【答案】/
【分析】先根据韦达定理得到，进而求得，，再结合诱导公式化简求值即可.
【详解】由题意得，，则或，
又，即，解得或（舍去），
则，
所以
.
故答案为：.
16．定义域为的函数满足，且当时，0恒成立，设，则的大小关系为 .（从大到小排列）
【答案】
【分析】由函数的对称性和单调性的定义可得在上单调递增，则在上单调递减，即可比较的大小.
【详解】因为函数满足，所以函数的图象关于直线成轴对称，
因为当时，，由，则，即，
所以在上单调递增，则在上单调递减，
由，
由，根据函数在上单调递增，则；
由，根据函数在上单调递增，则.
由函数在上单调递减，则，即.
故答案为：.
四、解答题
17．（1）计算：；
（2）已知关于的不等式的解集为，求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由对数的运算性质化简即可得出答案；
（2）由题意可得出是方程的两根，由韦达定义可得代入解一元二次不等式即可得出答案.
【详解】（1）
.
（2）由不等式的解集为，
则是方程的两根，
得，解答
则，即，解得，
即原不等式的解集为.
18．已知，
（1）求的值；
（2）求；
【答案】（1）2；（2）.
【分析】（1）由已知，化简整理可得，即可得解；
（2）化简，根据（1）的结果代入即可得解．
【详解】（1）由已知，
化简得，整理得故
（2）
．
【点睛】本题考查了三角函数的运算，考查了知弦求切和知切求弦，主要利用了诱导公式，属于简单题.
19．已知集合，集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先解对数不等式求出集合，再根据和两种情况讨论，即可求出参数的取值范围；
（2）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】（1）由，即，
所以，解得，所以，
因为，
当时，，解得．
当时，或，
解得或，
综上可得实数的取值范围为．
（2）是的充分条件，
，
，解得或，
即实数的取值集合为．
20．杭州亚运会田径比赛 10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段. 现一60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，假设其稳定阶段作速度为 的匀速运动，该阶段每千克体重消耗体力 （表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大变为 的减速运动（表示该阶段所用时间）.疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力 已知该运动员初始体力为不考虑其他因素，所用时间为（单位：h），请回答下列问题：
(1)请写出该运动员剩余体力关于时间的函数；
(2)该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少?
【答案】(1)
(2)时有最小值，最小值为.
【分析】（1）先写出速度关于时间的函数，进而求出剩余体力关于时间的函数；
（2）分和两种情况，结合函数单调性，结合基本不等式，求出最值.
【详解】（1）由题可先写出速度关于时间的函数，
代入与公式可得
解得；
（2）①稳定阶段中单调递减，此过程中最小值；
②疲劳阶段，
则有，
当且仅当，即时，“”成立，
所以疲劳阶段中体力最低值为，
由于，因此，在时，运动员体力有最小值.
21．已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，有.
(1)解不等式：；
(2)若对所有恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据函数的奇偶性结合单调性的定义可判断在上单调递增.即可求解，
（2）根据单调性求解函数的最值即可.
【详解】（1）为奇函数，所以，
则由，得，得，
故函数在上单调递增.
则,解得，
故不等式的解集为.
（2）因为，所以.
若对所有恒成立，
则成立，且，
所以对恒成立，即对恒成立.
令，
则即得
解得
故实数的取值范围是.
22．已知函数的单调递减区间为，函数.
(1)求实数的值，并写出函数的单调递增区间（不用写出求解过程）；
(2)证明：方程在内有且仅有一个根；
(3)在条件（2）下，证明：.
（参考数据：，，.）
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据单调区间得到，确定函数定义域，根据复合函数单调性得到答案.
（2）确定，构造函数，确定函数单调递增，计算，得到证明.
（3）变换，构造函数，确定函数单调递增，计算最值得到证明.
【详解】（1）函数的单调递减区间为，故，，
，，
函数定义域满足：，解得或，
在上单调递增，在上单调递增，
故函数的单调递增区间为；
（2），即，即，
设，函数在上单调递增，
，，故在上有唯一零点，
即方程在内有且仅有一个根；
（3），要证，即，，
函数在上单调递增，
故，即，得证.