2023-2024学年湖北省宜昌市宜都市第一中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖北省宜昌市宜都市第一中学高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】对一元二次不等式求解得到解集，再计算．
【详解】不等式解得或，
则，
又，所以．
故选：C.
2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】分别利用函数的奇偶性和单调性的定义去判断即可.
【详解】选项A, 在上为增函数，在上单调递减；选项B，在和上单调递减，不能说在定义域上单调递减；选项C，在上为减函数，在上单调递增，且为偶函数，只有选项D在其定义域内既是奇函数又是减函数.故选D.
【点睛】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断，注意要优先考虑定义域，及函数单调区间的写法，考查了推理与运算能力，属于基础题.
3．下列命题中，正确的是（ ）
A．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2B．若ab＜0，则
C．若b＜a＜0，c＜0，则D．若a，b∈R，则a4＋b4≥2a2b2
【答案】D
【分析】利用不等式的性质可判断AC；利用基本不等式可判断B，利用作差法可判断D．
【详解】解：对于A，，则，故A错误；
对于B，即异号，当且仅当时等号；
对于C，由得，又，则，故C错误；
对于D，由，得，故D正确．
故选：D．
4．若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据“，”是真命题得到方程有解，然后根据根的判别式列方程求解即可.
【详解】因为“，”是真命题，所以，解得.
故选：C.
5．集合，，则（ ）
A．B．⫋C．⫋D．
【答案】B
【解析】首先求出集合M、N中的元素，由集合的包含关系即可求解.
【详解】，
，
可表示全体整数，表示全体奇数，
，
故选：B
【点睛】本题考查了集合与集合之间的关系，解题的关键是确定集合中的元素，属于基础题.
6．已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由偶函数性质得函数在上的单调性，然后由单调性解不等式．
【详解】因为偶函数在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，
因为，
所以，解得：.
故选：A．
7．已知，那么命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据必要条件的定义对每个选择进行分析即可求解．
【详解】，
根据充分条件、必要条件的定义可知：
对于A，是的充要条件,A错误；
对于B，是的必要不充分条件，B正确；
对于C，是的充分不必要条件，C错误；
对于D，是的既不充分也不必要条件，D错误．
故选:B．
8．用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由条件可得，结合，易得或，由定义分类讨论方程的根计算即可.
【详解】由已知得，因为，所以或．
当时，若要满足题意，则有一个实根，即，
此时没有实根，所以符合题意；
当时，若要满足题意，有两个不等实根，
则有两个相等且异于上面两个根的实根，即且，所以，
此时的三个根为，符合题意．
综上，或，故．
故选：B．
二、多选题
9．已知集合，，则 （ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【分析】解不等式化简集合B，再利用交集、补集、并集的定义逐项求解判断即得．
【详解】集合，，，
因此，，AB正确；
，，，CD错误.
故选：AB
10．给出下列四个命题是真命题的是（ ）
A．函数与函数表示同一个函数；
B．关于的不等式在上恒成立的充要条件是；
C．函数的图像可由的图像向右平移个单位得到；
D．若函数的定义域为，则函数的定义域为．
【答案】BCD
【分析】根据同一函数的概念判断选项A;根据充分条件与必要条件的判定判断选项B;根据函数的图象变换判断选项C；根据抽象函数定义域的求法判断选项D．
【详解】对A，函数的定义域为，函数的定义域为，
两函数的定义域不同，所以它们不表示同一函数，故A错误；
对B，关于的不等式在上恒成立，
则，解得，
关于的不等式在上恒成立的充要条件是，故B正确；
对C，函数的图像可由的图像向右平移个单位得到，故C正确；
对D,若函数的定义域为，则，解得，
所以函数的定义域为，故D正确．
故选：BCD．
11．已知有两个零点，且，则下列说法正确的有（ ）
A．，
B．
C．若，则的最小值为
D．且，都有
【答案】BD
【分析】根据函数零点的定义，结合一元二次方程根的判别式、作差法逐一判断即可.
【详解】因为有两个零点，且，
所以是方程的两个不等实根，
于是有：，故B正确；
若，显然满足，此时，故A错误；
当时，由，
此时，所以C错误；
，
因为，
所以，所以D正确，
故选：BD
12．已知函数的定义域为，当时，恒成立，则（ ）
A．在上单调递减
B．在上单调递减
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用定义法判断函数单调性，进而可判断CD选项.
【详解】A选项：由，，得，所以在上单调递减，A选项正确；
B选项：，所以在上单调递减，
C选项与D选项：由A选项得，令，，则，所以C选项正确，D选项错误；
故选：ABC.
三、填空题
13．函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
14．已知函数，则 .
【答案】32
【分析】根据题中所给的分段函数运算求值.
【详解】由题意可得：，则
故答案为：32.
15．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东方向处的热带风暴中心正以的速度向正北方向移动，距风暴中心以内的地区都将受到影响，据以上预报估计，该码头将受到热带风暴的影响时长大约为 .
【答案】
【分析】本题考查了一元二次不等式的解法以及学生解决实际问题的能力，难度一般．设风暴中心最初在处，经小时后到达处，自向轴作垂线，垂足为若在点处受到热带风暴的影响，则，求出的范围，即可得出结论．
【详解】解：记现在热带风暴中心的位置为点，小时后热带风暴中心到达点位置，
自向轴作垂线，垂足为由题意，，
则，，
若在点处受到热带风暴的影响，则，
即，
即，
上式两边平方并化简、整理得，
解得：，
所以该码头将受到热带风暴影响的时间为．
故答案为：．
16．已知，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】由可知，，，利用基本不等式即可求最值.
【详解】因为，所以，，

当且仅当 即，时等号成立，
故答案为：
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
四、问答题
17．已知关于的不等式的解集为．
(1)求实数的值；
(2)若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解集即可知相应方程的根为和，进而可求出的值；（2）一元二次不等式在上恒成立，根据判别式即可求出参数的范围.
【详解】（1）因为的解集为，
所以而且的两根为和，
，所以．
（2）因为恒成立，即恒成立，
所以，解得，
所以实数的取值范围为．
五、解答题
18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝﹣x2+2x．
(1)求函数f（x）在R上的解析式；
(2)解关于x的不等式f（x）＜3．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．
（2）利用分段函数的表达式分别进行求解即可．
【详解】（1）当时，，则，
由是定义在R上的奇函数，得，且，
故．
（2）当时，恒成立；
当时，显然成立；
当时，解得，即.
综上所述：不等式的解集为．
19．已知函数的定义域为，集合，．
(1)求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数定义域的求法可求得集合；解一元二次不等式可求得集合，由补集和交集定义可求得结果；
（2）分别在和的情况下，根据包含关系构造不等式求得结果.
【详解】（1）由得：，即，；
由得：，即，.
（2）由（1）知：；
当时，，解得：，此时满足；
当时，由得：，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
20．销售甲、乙两种所获利润为和单位：万元，它们与投入的资金单位：万元的关系分别为，，今投入万元的资金经营甲、乙两种商品，为了获取最大利润，对甲乙两种商品的投入分别应为多少万元？此时最大利润为多少？
【答案】对甲投资万元，对乙商品投资万元时，总利润最大，最大值为万元
【分析】设对甲种商品投资万元，列出总利润关于的函数关系式，利用换元法求函数的最大值和此时的值.
【详解】设对甲种商品投资万元，，
则对乙商品投资万元，
由已知有总利润，，
令，则，
则，
所以当时，，
即时，总利润最大，此时，
所以对甲投资万元，对乙商品投资万元时，总利润最大，最大值为万元．
21．已知二次函数的最小值为1，且
(1)求的解析式;
(2)若在区间上不单调，求实数的取值范围;
(3)若，试求的最小值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据二次函数的对称性以及最值即可求解解析式；
（2）根据二次函数的单调性即可求解；
（3）分类讨论，结合二次函数的单调性即可求解.
【详解】（1）由已知，可得对称轴为，
则函数的顶点坐标为，
设，由，得，
故；
（2）因为函数的对称轴为1，在区间上不单调，
所以对称轴在区间内，即，
解得；
（3）当时，函数在上单调递增，.
当时，即时，，
当时，即时，函数在上单调递减，
，
综上所述：
.
22．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．
(1)已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”，并说明理由；
(2)若为定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．
【答案】(1)函数为“局部奇函数”，理由见解析；
(2).
【分析】（1）利用给定的定义，列式求解即得.
（2）利用给定的定义，建立含有参数的方程，换元结合一元二次方程在有解，分类讨论即得.
【详解】（1）依题意，函数为“局部奇函数”等价于关于的方程在其定义域内有解，
由二次函数，得，
由，得，即，解得，
即关于的方程在其定义域内有解，
因此函数为“局部奇函数”.
（2）因为为定义在上的“局部奇函数”，
于是关于的方程在上有解，
即关于的方程在上有解，
则关于的方程在上有解．
令，，则，
因此关于的方程在上有解．
令，，则函数是偶函数，
因此关于的方程在上有解，
又因为当时，，其开口向上，对称轴为，
要关于的方程在上有解，
必有当时，，解得，
因此为所求；
当时，，解得，
因此为所求，
综上所述，实数的取值范围是．