2022-2023学年湖北省宜昌市当阳市第一高级中学高二上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年湖北省宜昌市当阳市第一高级中学高二上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．某地举办“喜迎二十大，奋进新时代”主题摄影比赛，9名评委对某摄影作品的评分如下： ,去掉一个最高分和一个最低分后，该摄影作品的平均分为91分，后来有1个数据模糊，无法辨认，以表示，则（    ）

A．84 B．86 C．89 D．98

【答案】C

【分析】分别考虑，，时，计算平均数，排除不合题意情况，即可求得答案.

【详解】当时，，则不符合题意；

当时，，则不符合题意；

当时，，解得,

故选：C.

2．已知直线斜率为k，且，那么倾斜角的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角的取值范围.

【详解】解：直线l的斜率为k，且，

∴，.

∴.

故选：B.

3．某所学校在一个学期的开支分布的饼图如图1所示，在该学期的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该学期的电费开支占总开支的百分比为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合图表，通过计算可得：该学期的电费开支占总开支的百分比为 ×20%=11.25%，得解．

【详解】由图1，图2可知：该学期的电费开支占总开支的百分比为×20%=11.25%，

故选B．

【点睛】本题考查了识图能力及进行简单的合情推理，属简单题．

4．空间中有三点，，，则点P到直线MN的距离为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】A

【分析】根据空间中点线距离的向量求法即可求解.

【详解】因为，所以的一个单位方向向量为.

因为，故，,

所以点到直线的距离为.

故选：A

5．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】首先求点的轨迹方程，再利用数形结合求面积的最大值.

【详解】以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，

设，,

因为，所以，

整理为：，

则点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆，所以点到距离的最大值是，

所以面积的最大值是.

故选：B

6．已知幂函数的图像是等轴双曲线，且它的焦点在直线上，则下列曲线中，与曲线的实轴长相等的双曲线是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】双曲线的实轴长为双曲线与实轴交点的距离，计算出的实轴长，然后在选项中找出实轴相等的双曲线即可.

【详解】由双曲线几何性质知，双曲线的焦点在实轴上，实轴与双曲线的交点，是双曲线的顶点，故双曲线的实轴长，

显然选项A表示的是椭圆；

选项B的双曲线实轴长为；

选项C双曲线的实轴长为；

选项D的双曲线实轴长为.

故选：B

7．已知F是椭圆=1的左焦点，P为椭圆上的动点，椭圆内部一点M的坐标是（3，4），则|PM|+|PF|的最大值是（    ）

A．10 B．11 C．13 D．21

【答案】D

【分析】利用椭圆的定义转化为P到M和到另一焦点的距离的差的最大值来解决.

【详解】解：如图，

由椭圆=1，得

得，则椭圆右焦点为，

则

.

当与射线与椭圆的交点重合时取到等号,

的最大值为21.

故选：D.

8．已知椭圆C1：与双曲线C2：有相同的焦点F1 F2， 椭圆C1的离心率为e1，双曲线C2的离心率为e2， P为椭圆C1与双曲线C2的交点，且则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设P为第一象限的交点，由椭圆和双曲线的定义结合余弦定理化简得到，再利用柯西不等式求解.

【详解】设P为第一象限的交点，，，

在中，由余弦定理得，

即，则，

化简得，即，则，

由柯西不等式得，

所以，当且仅当时，等号成立，

故选：D

二、多选题

9．一箱产品有正品10件，次品2件，从中任取2件，有如下事件，其中互斥事件有（    ）

A．“恰有1件次品”和“恰有2件次品” B．

C．“至少有1件正品”和“至少有1件次品” D．“至少有1件次品”和“都是正品”

【答案】AD

【分析】判断各选项中的事件是否有同时发生的可能，即可确定答案.

【详解】A：“恰有1件次品”和“恰有2件次品”不可能同时发生，为互斥事件；

B：“都是次品”的基本事件中包含了“至少有1件次品”的事件，不是互斥事件；

C：“至少有1件正品” 的基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件正品” }，“至少有1件次品” 的基本事件为{“有1件正品和1件次品” ，“有2件次品” }，它们有共同的基本事件“有1件正品和1件次品” ，不是互斥事件；

D：由C分析知：“至少有1件次品”和“都是正品”不可能同时发生，为互斥事件；

故选：AD

10．已知圆，则下列说法正确的是（    ）

A．直线与圆A相切

B．圆A截y轴所得的弦长为4

C．点在圆A外

D．圆A上的点到直线的最小距离为3

【答案】BC

【分析】根据圆心到直线的距离即可判断AD,根据圆的弦长可判断B,根据点与圆的位置关系可判断C.

【详解】由圆得，

所以圆心，半径，

对于A：圆心A到直线的距离为1，所以直线与圆A相交，故A错误；

对于B：圆心A在y轴上，则所截得的弦长为直径等于4，故B正确；

对于C：点到圆心A的距离，所以点B在圆A外，故C正确；

对于D：圆心A到直线的距离，所以圆A上的点到直线的最小距离为，故D错误．

故选:BC．

11．已知直线l与抛物线（）交于A，B两点，，，则下列说法正确的是（    ）

A．若点D的坐标为，则

B．直线过定点

C．D点的轨迹方程为（原点除外）

D．设与x轴交于点M，则的面积最大时，直线的斜率为1

【答案】ABC

【分析】对于A由条件求出直线方程，利用设而不求法结合条件求出，判断A，对于BCD，设直线的方程为，利用设而不求法证明，由此判断B，再由，求出D点的轨迹方程，判断C，结合D点的轨迹方程确定的面积最大时，直线的斜率，判断D.

【详解】，由知直线方程为，联立，

消去x有，设，，

则，由，∴，故A正确；

对选项BCD，可设直线：，代入有，

则，由，

故直线的方程为，所以直线过定点，即，故B正确；

由，得D在以为直径的圆：上运动（原点除外），故C正确；

当时，面积最大，此时，有，故D错误.

故选：ABC.

12．在正方体中，，点M在正方体内部及表面上运动，下列说法正确的是（    ）

A．若M为棱的中点，则直线平面

B．若M在线段上运动，则的最小值为

C．当M与重合时，以M为球心，为半径的球与侧面的交线长为

D．若M在线段上运动，则M到直线的最短距离为

【答案】ACD

【分析】作交点，连接，可证，进而得到平面；展开与到同一平面上，由两点间直线段最短，结合余弦定理可求； 在侧面上的射影为，确定交线为以为圆心的圆弧，结合弧长公式即可求解；平面与的距离最短恰为，能找出此点恰在上.

【详解】对选项A，作交点，连接，因为为中点，M为棱的中点，所以，又因为平面，所以平面，故A正确；

对选项B，展开与到同一平面上如图：

知，故B错误；

对选项C：M与重合时，在侧面上的射影为，故交线是以为圆心的一段圆弧（个圆），且圆半径，故圆弧长，所以C正确；

对选项D，直线与平面距离显然为，当为中点时，设中点为，易得，所以为M到直线最短距离，选项D正确.

故选：ACD

三、填空题

13．从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，则这三条线段能构成一个三角形的概率为___________．

【答案】##0.3

【分析】由列举法得所有基本事件，根据古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】从5条线段中任取3条线段的基本事件有,总数为10，能构成三角形的情况有：，共3个基本事件，故概率为．

故答案为：

14．双曲线的离心率为3，则=___________.

【答案】8或

【分析】先确定焦点的位置，再利用离心率公式可求.

【详解】设双曲线的实半轴长为，虚半轴长为，焦半距长为.

当双曲线的焦点在轴上时，，，

又离心率，即，即.

当双曲线的焦点在轴上时，，，

又离心率，即.

故答案为：8或

四、解答题

15．P点在椭圆上，B(0，3)，则BP长的最大值为___________.

【答案】

【分析】根据两点间距离公式，结合椭圆的范围，即可求解.

【详解】设，，

，

当时，的最大值是.

故答案为：

五、填空题

16．已知三棱锥中，，，，若二面角的大小为120°，则三棱锥的外接球的表面积为___________.

【答案】

【分析】首先根据几何体确定外接球的球心，再求外接球的半径，即可求解三棱锥外接球的表面积.

【详解】取的中点，中点，连结，

因为，所以，，

因为，所以，所以，

过点作平面，过点作平面，，

因为点分别是和的外心，所以点是三棱锥的外接球的球心，

因为，，所以，则，所以，

，所以,,

所以，则三棱锥的外接球的半径为，

所以外接球的表面积.

故答案为：

六、解答题

17．从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；

(2)产品质量指标值在185与215之间的每个盈利200元，在175与185或215与225之间的每个亏损50元，其余的每个亏损300元.该企业共生产这种产品10000个，估计这批产品可获利或亏损多少元？

【答案】(1),

(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图，结合平均数和方差公式，即可求解；

（2）根据频率，可计算获利或亏损.

【详解】（1）样本平均数

（2）由频率分布直方图可知，质量指标值在的频率为，

质量指标值在和的频率为，

质量指标值在和的频率为，

所以10000件产品的获利情况是

元.

18．已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等.

(1)求曲线的方程；

(2)求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程.

【答案】(1)

(2)或或

【分析】（1）根据抛物线的定义可得曲线方程；

（2）分类讨论：斜率为0，即与抛物线的对称轴平行；斜率不存在与抛物线相切，斜率存在且与抛物线相切（应用判别式为0），分别求解可得．

【详解】（1）设的坐标，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，且焦点在轴上，焦点坐标，所以的轨迹方程为.

故曲线C的方程为：

（2）当直线过点，且斜率为0时，即直线与拋物线的对称轴平行时，直线与曲线有一个公共点，

此时直线的方程为；

当过的直线的斜率不存在时，即直线的方程为，显然与拋物线相切；

当过的直线斜率存在时，设直线的方程为，

联立，整理可得，

则，即，解得，

此时直线的方程为，

综上所述，满足条件的直线的方程为或或.

19．已知在三棱柱中，底面是正三角形，底面ABC，，，点E，F分别为侧棱和边的中点.

(1)求证：平面ACE；

(2)求二面角的余弦值.

【答案】(1)详见解析

(2)

【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标关系，表示，即可证明；

（2）求平面和的法向量，利用法向量夹角的余弦值表示二面角的余弦值.

【详解】（1）以点为原点，所在直线为轴，作，得到轴，建立空间直角坐标系，

，，，,,

,，,

因为,,

所以，且，且平面，平面，

所以平面

（2）由（1）可知，，

设平面的法向量，

则，则，令，则，，

则平面的法向量，平面的法向量为,

所以,

二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

20．10月9日晚，2022年世界乒乓球团体锦标赛在中国成都落幕.中国队女团与男团分别完成了五连冠与十连冠的霸业.乒乓球运动在我国一直有着光荣历史，始终领先世界水平，被国人称为“国球”，在某次团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在一局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛结果相对独立.

(1)求这场选拔赛三局结束的概率；

(2)求甲在第四局获胜的概率.

【答案】(1)0.28

(2)0.2592

【分析】(1)根据题意，找出这场选拔赛三局结束的事件，利用概率公式即可求解；

(2)先找出满足条件的事件，然后利用概率公式即可求解.

【详解】（1）设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5），

记“三局结束比赛”，则，

∴

；

（2）记“甲在第四局获胜”，则说明甲在前3局胜了2局，输了1局，第4局甲胜，则.

21．如图，在四棱锥中，，，，平面平面，E为中点.

(1)求证：面；

(2)点Q在棱上，设（），若二面角的余弦值为，求.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，通过作辅助线，构造平行四边形，即可证明；

（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和两个平面的法向量，利用法向量的夹角公式，即可求解.

【详解】（1）证明：取中点F，连接，，

则，又，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∴，

又面，面，

∴面；

（2）以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

∴，，，

由，有，

令是平面的一个法向量，

则，

令，有，

取面的一个法向量，

由.

解得.

22．已知椭圆C：（）过点，A为左顶点，且直线的斜率为.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设在椭圆内部，在椭圆外部，过Ｍ作斜率不为0的直线交椭圆C于P，Q两点，若，求证：为定值，并求出这个定值.

【答案】(1)

(2)为定值4，证明见解析

【分析】（1）利用点坐标代入椭圆方程、直线的斜率为可得答案；

（2）设，，：，与椭圆方程联立，求出，，    根据，可得，再进行化简可得答案.

【详解】（1）由题意：，

∴，解得，

故椭圆C的标准方程为；

（2）设：，

联立消去x，

有，

记，，因为在椭圆内部，，

所以，，    

若，则，可得，

即，

，可得，

（），

∴（定值），

综上：为定值4.