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内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗科尔沁左翼中旗保康第二中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题
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这是一份内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗科尔沁左翼中旗保康第二中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共25页。试卷主要包含了 下列命题中，真命题的个数是等内容，欢迎下载使用。
1. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念逐一判断即可.
【详解】解： A选项：不是中心对称图形，故不符合题意；
B选项：是中心对称图形, 符合题意；
C选项：不是中心对称图形，故不符合题意；
D选项：不是中心对称图形，故不符合题意.
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，解题的关键在于熟练掌握中心对称图形的概念．一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形．
2. 等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为（ ）
A. 8B. 8或10C. 10D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的三边关系以及因式分解法解一元二次方程，熟记三角形三边关系以及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，还需要注意的是对等腰三角形腰长和底的分类讨论．
【详解】解：，
，
解得：或4，
①当等腰三角形腰长为2，底为4时，更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 ，不能构成三角形；
②当等腰三角形腰长为4，底为2时，
，，能构成三角形．
∴周长为．
故选：C．
3. 函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A. y＝﹣2（x﹣1）2+2B. y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C. y＝﹣2（x+1）2+2D. y＝﹣2（x+1）2﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图像的平移方法“左加右减，上加下减”直接进行求解即可．
【详解】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟记“左加右减，上加下减”是解决图像平移的关键．
4. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程有实数根得出，求出不等式的解集，结合二次根式的意义求得答案即可.
【详解】解：当时，变为；
此时方程有实数根；
当时，由题意知，，且，
∴ .
综上所述：当时，关于的方程有实数根，
故选：C.
5. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质推出，，根据等边对等角即可求解．
【详解】解：由题意可得：
将绕点C顺时针旋转得，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查图形旋转的性质；熟知旋转图形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
6. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设每次降价的百分率为，根据降价后的价格＝降价前的价格（降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列出方程．
【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意得：
．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意并列出方程．
7. 抛物线和直线相交于两点，，则不等式的解集是( ).
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】把不等式整理成，然后写出直线在抛物线上方部分的的取值范围即可．
【详解】解：由不等式得，
∵两函数图象交点为，，，，，
∴不等式的解集是．
故选C.
【点睛】本题考查了根据二次函数图象与直线交点求不等式的解集，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
9. 如图，是等边三角形，是边上的一点，连接，把绕着点逆时针旋转，得到，连接，若，，则的周长是（ ）
A. 10B. 12C. 17D. 19
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质和等边三角形的性质与判定，利用旋转前后图形全等，得到线段相等，再结合题干条件，即可解题．
【详解】解：绕着点逆时针旋转，得到，
，，
，，
为等边三角形，
，
，
，
为等边三角形，，
，
，
的周长为，
故选：B．
10. 下列命题中，真命题的个数是（ ）
①圆的每一条直径都是它的对称轴；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④在同圆中，相等的弦所对的弧相等．
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查判断命题的真假，圆的对称性，垂径定理，圆周角定理．掌握相关知识点，是解题的关键．
【详解】解：①圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴；故①是假命题；
②平分弦（不是直径）的直径必定垂直于这条弦；故②是假命题；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故③是真命题；
④在同圆中，相等的弦所对的弧相等，故④是真命题；
故选C．
11. 已知二次函数， 其函数值与自变量之间的部分对应值如表所示：
点在函数的图象上， 当时， 与的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由表格中的点坐标，运用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数开口方向和对称轴，结合二次函数图象对称性，得出结论．
【详解】解：从表中可知，二次函数过点，，，
则有，，
解得，，
即二次函数为：，
该二次函数开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴由二次函数对称性得到，，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的对称性，掌握二次函数图象对称性是解题的关键．
12. 如图，、是圆O的直径，且，，点M是上一动点，下列结论：①；②；③的最小值为4；④设为x，则，上述结论中，正确的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】①由，可得，据此根据圆周角定理即可得结论；
②由点M是直径上一动点，而的位置是确定的，因此不一定成立，可得结论；
③由题意可得点D和点E关于对称，因此的最小值是在点M和点O重合时取到，即的长；
④过点C作于点N，利用解直角三角形可求得，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：①，
∴，
，
，故①正确；
②点M是直径上一动点，而确定，
不一定成立，故②错误；
③∵，
，，
∴，
，
点D和点E关于对称，
连接，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当、M、C三点共线时，最小，即最小，
的最小值是在点M和点O重合时取到，即的长，
，
，故③正确；
④连接，
∵，
，则为等边三角形，边长为2，
过点C作于N，则，
在中，以为底，边上高为，
，故④错误；
综上分析可知，①③正确，共2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，最小值问题，等边三角形判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
13. 已知A(a，1)与B(5，b)关于原点对称，则a﹣b=_____．
【答案】﹣4
【解析】
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得a、b的值，再根据有理数的减法法则可得答案．
【详解】∵A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，
∴a=﹣5，b=﹣1，
∴a﹣b=﹣5﹣（﹣1）=﹣4
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的两点的横、纵坐标间的关系是解题的关键．
14. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m．
【答案】10
【解析】
【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出x的值，x的正值即为所求．
【详解】在函数式中，令，得
，解得，（舍去），
∴铅球推出的距离是10m．
故答案为10．
【点睛】本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是中3代表的含义是铅球在起始位置距离地面的高度；当时，x的正值代表的是铅球最终离原点的距离．
15. 如图，点A，B，C在上，．若点D为上一点（不与点A，C重合），则度数为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况：当点D在优弧上时，当点D在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，即可得出答案．
【详解】解：
分两种情况：
当点D在优弧上时，根据圆内接四边形的性质，可知，
当点D在劣弧上时，，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，正确理解题意是解题的关键．
16. 如图，在中，已知弦，，，则半径长为___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是作直径，连接，证明，根据勾股定理求出．
【详解】解：作直径，连接，如图所示：
∵，
而，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
故答案为：．
17. 如图，在正方形中，，P为对角线上一动点，F为射线上一点，若，则的面积的最大值为________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值等知识点，作于M，根据正方形的性质易得，设，则，根据等腰三角形的性质即可得出，由三角形面积公式得出，根据二次函数的性质即可求得结果，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】如图，过点P作于M，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最大值，且最大值为16．
故答案为：16．
三．解答题（共9小题，共69分）
18. 解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴或，
∴；
【小问2详解】
解：，
∴，
∴或，
∴．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
19. 已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，与y轴的交点坐标为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）写出对称轴和顶点坐标；
（3）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）
（2）对称轴为直线，顶点坐标为
（3）函数值y为正数时，自变量x的取值范围为
【解析】
【分析】（1）将和两点代入二次函数，求得b和c；从而得出抛物线的解析式；
（2）将二次函数化为顶点式，然后求出对称轴和顶点坐标即可；
（3）令，解得，，得出此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标，进而求出当函数值时，自变量x的取值范围．
【小问1详解】
解：由二次函数的图象经过和两点，
得，
解这个方程组，得：，
抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：∵
；
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
【小问3详解】
解：令，得，
解这个方程，得，，
∴此二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为．
∴当时，，
即函数值y为正数时，自变量x的取值范围为．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的三种形式及待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式及待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若是这个方程的一个根，求m的值和它的另一根；
（2）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
【答案】（1）m的值为1，方程的另一根为3
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）把代入原方程求出m，根据根与系数的关系求出另一根；
（2）根据一元二次方程根的判别式解答；
【小问1详解】
解：将代入原方程得：，
解得：，
∵方程的另一根为．
∴m的值为1，方程的另一根为3．
【小问2详解】
证明： ．
∵，即，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
【点睛】本题考查了一元二次方程（a，b，c为常数）根与系数的大小，根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
21. 如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径．
【答案】
【解析】
【分析】连接CO，利用垂径定理求解再令⊙O的半径为rm，利用勾股定理建立方程求解半径即可得到答案.
【详解】解：连接CO．∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O，
∴EM⊥CD，且CM＝CD＝×4＝2．
在Rt△OCM中，令⊙O的半径为rm，
∵OC2＝OM2＋CM2，
∴，
解得：r＝．
【点睛】本题考查是垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握利用垂径定理构建直角三角形是解题的关键.
22. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）；
（1）作出关于原点O成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（______），（______）；
（2）把向上平移4个单位长度得到，画出；
（3）与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（________）．
【答案】（1）作图见解析；；；
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键.
（1）根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点，，，然后顺次连接即可；
（2）根据平移特点先作出点，，平移后的对应点，，，然后顺次连接即可；
（3）连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，为所求作的三角形；
根据图可知，，，．
故答案为：；；．
【小问2详解】
解：如图，为所求作的三角形；
【小问3详解】
解：连接、，则、的交点即为对称中心，
∵，，
∴对称中心的坐标为，
即对称中心的坐标为．
故答案为：．
23. 如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由．
【答案】（1）AE＝BD，AE⊥BD；（2）成立，见解析
【解析】
【分析】（1）延长AE交BD于H．证明△ACE≌△BCD即可；
（2）延长AE交BD于H，交BC于O，只要证明△ACE≌△BCD，即可证明（1）中的结论还成立．
【详解】解：（1）如图1中，延长AE交BD于H．
在△ACE与△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，
∴∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，
故答案为：AE＝BD，AE⊥BD；
（2）（1）中的结论还成立，理由如下：
如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE与△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD，
∴AE＝BD，AE⊥BD，（1）中的结论还成立．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
24. 已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
【答案】（Ⅰ）求AC＝8，BD＝CD＝5；（Ⅱ）BD＝5
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝5 ；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5．
【详解】解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝
∵AD平分∠CAB，
∴ ，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
【点睛】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．
25. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，某公司在某网络平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价格为6元/，每日销售量（）与销售单价（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/．设公司销售板栗的日获利为（元）．
（1）请求出日销售量y与销售单价之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利不低于42000元？
【答案】（1）；
（2）销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
（3）当时，日获利w不低于42000元
【解析】
【分析】(1)用待定系数法求解即可；
(2)由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
(3)由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把x＝7，y＝4300和x＝8，y＝4200代入得：
，
解得：，
∴y＝﹣100x+5000；
【小问2详解】
解：由题意得：
w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）
＝﹣100x2+5600x﹣30000
＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为直线x＝28．
∵6≤x≤30，
∴当x＝28时，w有最大值为48400元
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
【小问3详解】
解：当w＝42000元时，有：42000＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∴x1＝20，x2＝36，
∵a＝﹣100＜0，
∴当20≤x≤36时，w≥42000，
又∵6≤x≤30，
∴当20≤x≤30时，日获利w不低于42000元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
26. 如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标．
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点E的坐标为
（3）存在；点P的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则，
得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可；
（3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵点，，
∴，，
∵，
∴，
把和代入二次函数中得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：如图1，∵直线经过点和，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵二次函数，
∴设点，则，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴点E的坐标为；
小问3详解】
解：存在，
∵，
∴对称轴为直线，
设，分三种情况：
①点B为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
②点A为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
③点P为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴或；
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知识，知识点较多，难度一般，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算．
0
1
2
3
4
0
（元/）
7
8
9
（）
4300
4200
4100
1. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成这四个图案中是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念逐一判断即可.
【详解】解： A选项：不是中心对称图形，故不符合题意；
B选项：是中心对称图形, 符合题意；
C选项：不是中心对称图形，故不符合题意；
D选项：不是中心对称图形，故不符合题意.
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，解题的关键在于熟练掌握中心对称图形的概念．一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形．
2. 等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为（ ）
A. 8B. 8或10C. 10D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查三角形的三边关系以及因式分解法解一元二次方程，熟记三角形三边关系以及因式分解法解一元二次方程的步骤是解题关键，还需要注意的是对等腰三角形腰长和底的分类讨论．
【详解】解：，
，
解得：或4，
①当等腰三角形腰长为2，底为4时，更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 ，不能构成三角形；
②当等腰三角形腰长为4，底为2时，
，，能构成三角形．
∴周长为．
故选：C．
3. 函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A. y＝﹣2（x﹣1）2+2B. y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C. y＝﹣2（x+1）2+2D. y＝﹣2（x+1）2﹣2
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图像的平移方法“左加右减，上加下减”直接进行求解即可．
【详解】解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，熟记“左加右减，上加下减”是解决图像平移的关键．
4. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围是 ( )
A. B. C. D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】根据方程有实数根得出，求出不等式的解集，结合二次根式的意义求得答案即可.
【详解】解：当时，变为；
此时方程有实数根；
当时，由题意知，，且，
∴ .
综上所述：当时，关于的方程有实数根，
故选：C.
5. 如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质推出，，根据等边对等角即可求解．
【详解】解：由题意可得：
将绕点C顺时针旋转得，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查图形旋转的性质；熟知旋转图形的对应角相等，对应边相等是解题的关键．
6. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为，下面所列的方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设每次降价的百分率为，根据降价后的价格＝降价前的价格（降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列出方程．
【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意得：
．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意并列出方程．
7. 抛物线和直线相交于两点，，则不等式的解集是( ).
A. B.
C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】把不等式整理成，然后写出直线在抛物线上方部分的的取值范围即可．
【详解】解：由不等式得，
∵两函数图象交点为，，，，，
∴不等式的解集是．
故选C.
【点睛】本题考查了根据二次函数图象与直线交点求不等式的解集，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
8. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC．若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为（ ）
A. 45°B. 50°C. 55°D. 60°
【答案】B
【解析】
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，再由圆周角定理得出∠DCE的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=105°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣105°=75°．
∵，∠BAC=25°，
∴∠DCE=∠BAC=25°，
∴∠E=∠ADC﹣∠DCE=75°﹣25°=50°．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理.圆内接四边形对角互补.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等，而同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，所以在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.
9. 如图，是等边三角形，是边上的一点，连接，把绕着点逆时针旋转，得到，连接，若，，则的周长是（ ）
A. 10B. 12C. 17D. 19
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查旋转的性质和等边三角形的性质与判定，利用旋转前后图形全等，得到线段相等，再结合题干条件，即可解题．
【详解】解：绕着点逆时针旋转，得到，
，，
，，
为等边三角形，
，
，
，
为等边三角形，，
，
，
的周长为，
故选：B．
10. 下列命题中，真命题的个数是（ ）
①圆的每一条直径都是它的对称轴；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④在同圆中，相等的弦所对的弧相等．
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查判断命题的真假，圆的对称性，垂径定理，圆周角定理．掌握相关知识点，是解题的关键．
【详解】解：①圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴；故①是假命题；
②平分弦（不是直径）的直径必定垂直于这条弦；故②是假命题；
③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故③是真命题；
④在同圆中，相等的弦所对的弧相等，故④是真命题；
故选C．
11. 已知二次函数， 其函数值与自变量之间的部分对应值如表所示：
点在函数的图象上， 当时， 与的大小关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由表格中的点坐标，运用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数开口方向和对称轴，结合二次函数图象对称性，得出结论．
【详解】解：从表中可知，二次函数过点，，，
则有，，
解得，，
即二次函数为：，
该二次函数开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴由二次函数对称性得到，，
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数图象的对称性，掌握二次函数图象对称性是解题的关键．
12. 如图，、是圆O的直径，且，，点M是上一动点，下列结论：①；②；③的最小值为4；④设为x，则，上述结论中，正确的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】①由，可得，据此根据圆周角定理即可得结论；
②由点M是直径上一动点，而的位置是确定的，因此不一定成立，可得结论；
③由题意可得点D和点E关于对称，因此的最小值是在点M和点O重合时取到，即的长；
④过点C作于点N，利用解直角三角形可求得，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：①，
∴，
，
，故①正确；
②点M是直径上一动点，而确定，
不一定成立，故②错误；
③∵，
，，
∴，
，
点D和点E关于对称，
连接，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴当、M、C三点共线时，最小，即最小，
的最小值是在点M和点O重合时取到，即的长，
，
，故③正确；
④连接，
∵，
，则为等边三角形，边长为2，
过点C作于N，则，
在中，以为底，边上高为，
，故④错误；
综上分析可知，①③正确，共2个，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，最小值问题，等边三角形判定和性质，三角形面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
13. 已知A(a，1)与B(5，b)关于原点对称，则a﹣b=_____．
【答案】﹣4
【解析】
【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，可得a、b的值，再根据有理数的减法法则可得答案．
【详解】∵A（a，1）与B（5，b）关于原点对称，
∴a=﹣5，b=﹣1，
∴a﹣b=﹣5﹣（﹣1）=﹣4
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的两点的横、纵坐标间的关系是解题的关键．
14. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是______m．
【答案】10
【解析】
【分析】要求铅球推出的距离，实际上是求铅球的落脚点与坐标原点的距离，故可直接令，求出x的值，x的正值即为所求．
【详解】在函数式中，令，得
，解得，（舍去），
∴铅球推出的距离是10m．
故答案为10．
【点睛】本题是二次函数的实际应用题，需要注意的是中3代表的含义是铅球在起始位置距离地面的高度；当时，x的正值代表的是铅球最终离原点的距离．
15. 如图，点A，B，C在上，．若点D为上一点（不与点A，C重合），则度数为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况：当点D在优弧上时，当点D在劣弧上时，根据圆内接四边形的性质，即可得出答案．
【详解】解：
分两种情况：
当点D在优弧上时，根据圆内接四边形的性质，可知，
当点D在劣弧上时，，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，正确理解题意是解题的关键．
16. 如图，在中，已知弦，，，则半径长为___________.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，解题的关键是作直径，连接，证明，根据勾股定理求出．
【详解】解：作直径，连接，如图所示：
∵，
而，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
故答案为：．
17. 如图，在正方形中，，P为对角线上一动点，F为射线上一点，若，则的面积的最大值为________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值等知识点，作于M，根据正方形的性质易得，设，则，根据等腰三角形的性质即可得出，由三角形面积公式得出，根据二次函数的性质即可求得结果，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】如图，过点P作于M，
∵是正方形的对角线，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当时，有最大值，且最大值为16．
故答案为：16．
三．解答题（共9小题，共69分）
18. 解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用因式分解法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
∴，
∴或，
∴；
【小问2详解】
解：，
∴，
∴或，
∴．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
19. 已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为，与y轴的交点坐标为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）写出对称轴和顶点坐标；
（3）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
【答案】（1）
（2）对称轴为直线，顶点坐标为
（3）函数值y为正数时，自变量x的取值范围为
【解析】
【分析】（1）将和两点代入二次函数，求得b和c；从而得出抛物线的解析式；
（2）将二次函数化为顶点式，然后求出对称轴和顶点坐标即可；
（3）令，解得，，得出此二次函数的图象与x轴的另一个交点的坐标，进而求出当函数值时，自变量x的取值范围．
【小问1详解】
解：由二次函数的图象经过和两点，
得，
解这个方程组，得：，
抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：∵
；
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为．
【小问3详解】
解：令，得，
解这个方程，得，，
∴此二次函数的图象与轴的另一个交点的坐标为．
∴当时，，
即函数值y为正数时，自变量x的取值范围为．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数的三种形式及待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点，解题的关键是熟练的掌握二次函数的三种形式及待定系数法求二次函数解析式及抛物线与坐标轴的交点．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若是这个方程的一个根，求m的值和它的另一根；
（2）求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
【答案】（1）m的值为1，方程的另一根为3
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）把代入原方程求出m，根据根与系数的关系求出另一根；
（2）根据一元二次方程根的判别式解答；
【小问1详解】
解：将代入原方程得：，
解得：，
∵方程的另一根为．
∴m的值为1，方程的另一根为3．
【小问2详解】
证明： ．
∵，即，
∴无论m取任何实数，方程总有实数根；
【点睛】本题考查了一元二次方程（a，b，c为常数）根与系数的大小，根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
21. 如下图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是中弦的中点，经过圆心O交圆O于点E，并且．求的半径．
【答案】
【解析】
【分析】连接CO，利用垂径定理求解再令⊙O的半径为rm，利用勾股定理建立方程求解半径即可得到答案.
【详解】解：连接CO．∵M是弦CD的中点，且EM经过圆心O，
∴EM⊥CD，且CM＝CD＝×4＝2．
在Rt△OCM中，令⊙O的半径为rm，
∵OC2＝OM2＋CM2，
∴，
解得：r＝．
【点睛】本题考查是垂径定理的应用，勾股定理的应用，掌握利用垂径定理构建直角三角形是解题的关键.
22. 在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系是格点三角形（顶点在网格线的交点上）；
（1）作出关于原点O成中心对称的，并写出三个顶点坐标（_____），（______），（______）；
（2）把向上平移4个单位长度得到，画出；
（3）与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标（________）．
【答案】（1）作图见解析；；；
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键.
（1）根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点，，，然后顺次连接即可；
（2）根据平移特点先作出点，，平移后的对应点，，，然后顺次连接即可；
（3）连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可．
【小问1详解】
解：如图，为所求作的三角形；
根据图可知，，，．
故答案为：；；．
【小问2详解】
解：如图，为所求作的三角形；
【小问3详解】
解：连接、，则、的交点即为对称中心，
∵，，
∴对称中心的坐标为，
即对称中心的坐标为．
故答案为：．
23. 如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由．
【答案】（1）AE＝BD，AE⊥BD；（2）成立，见解析
【解析】
【分析】（1）延长AE交BD于H．证明△ACE≌△BCD即可；
（2）延长AE交BD于H，交BC于O，只要证明△ACE≌△BCD，即可证明（1）中的结论还成立．
【详解】解：（1）如图1中，延长AE交BD于H．
在△ACE与△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，
∴∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，
故答案为：AE＝BD，AE⊥BD；
（2）（1）中的结论还成立，理由如下：
如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．
∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE与△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD，
∴AE＝BD，AE⊥BD，（1）中的结论还成立．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．
24. 已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．
【答案】（Ⅰ）求AC＝8，BD＝CD＝5；（Ⅱ）BD＝5
【解析】
【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝5 ；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5．
【详解】解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠BDC＝90°．
∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，
∴由勾股定理得到：AC＝
∵AD平分∠CAB，
∴ ，
∴CD＝BD．
在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，
∴易求BD＝CD＝5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，
∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°，
∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．
又∵OB＝OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD＝OB＝OD．
∵⊙O的直径为10，则OB＝5，
∴BD＝5．
【点睛】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．
25. 网络销售已经成为一种热门的销售方式，某公司在某网络平台上进行直播销售板栗．已知板栗的成本价格为6元/，每日销售量（）与销售单价（元/）满足一次函数关系，下表记录的是有关数据，经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/．设公司销售板栗的日获利为（元）．
（1）请求出日销售量y与销售单价之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当销售单价在什么范围内时，日获利不低于42000元？
【答案】（1）；
（2）销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
（3）当时，日获利w不低于42000元
【解析】
【分析】(1)用待定系数法求解即可；
(2)由题意可得w关于x的二次函数，将其写成顶点式，然后根据二次函数的性质可得答案；
(3)由题意可得w关于x的一元二次方程，求得方程的根，再结合x的取值范围，可得答案．
【小问1详解】
解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
把x＝7，y＝4300和x＝8，y＝4200代入得：
，
解得：，
∴y＝﹣100x+5000；
【小问2详解】
解：由题意得：
w＝（x﹣6）（﹣100x+5000）
＝﹣100x2+5600x﹣30000
＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为直线x＝28．
∵6≤x≤30，
∴当x＝28时，w有最大值为48400元
∴当销售单价定为28元时，销售这种板栗日获利w最大，最大利润为48400元；
【小问3详解】
解：当w＝42000元时，有：42000＝﹣100（x﹣28）2+48400，
∴x1＝20，x2＝36，
∵a＝﹣100＜0，
∴当20≤x≤36时，w≥42000，
又∵6≤x≤30，
∴当20≤x≤30时，日获利w不低于42000元．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握待定系数法、二次函数的性质及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
26. 如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标．
（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）点E的坐标为
（3）存在；点P的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则，
得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可；
（3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵点，，
∴，，
∵，
∴，
把和代入二次函数中得：
，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：如图1，∵直线经过点和，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为：，
∵二次函数，
∴设点，则，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴点E的坐标为；
小问3详解】
解：存在，
∵，
∴对称轴为直线，
设，分三种情况：
①点B为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
②点A为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：，
∴；
③点P为直角顶点时，由勾股定理得：，
∴，
解得：或，
∴或；
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及二次函数与几何最值、动态问题、待定系数法求二次函数的解析式、求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、解二元一次方程、解一元一次方程、解一元二次方程等知识，知识点较多，难度一般，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关联信息，利用数形结合和分类讨论的思想方法进行推理、探究和计算．
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