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2023-2024学年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校九年级（上）第一次月考数学试卷
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这是一份2023-2024学年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校九年级（上）第一次月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，一次项系数和二次项系数分别为（ ）
A．5，﹣1B．5，4C．﹣4，5D．5x2，﹣4x
2．（3分）以﹣2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣x+2＝0B．x2﹣x﹣2＝0C．x2+x+2＝0D．x2+x﹣2＝0
3．（3分）若k＜0，则关于x的一元二次方程x2+x+k﹣1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．只有一个实数根
4．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）2的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．x轴上D．y轴上
5．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x﹣4）2＝2C．（x﹣2）2＝0D．（x﹣4）2＝1
6．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两根，则x12+x22的值是（ ）
A．0B．2C．﹣2D．4
7．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y1＞y2B．y3＜y2＜y1C．y3＞y2＞y1D．y3＜y1＜y2
8．（3分）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（ ）
A．10%B．19%C．9.5%D．20%
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表．下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
C．抛物线的对称轴为直线x＝
D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
10．（3分）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y＝|x2+bx+c|的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．bc＜0
B．c＝3
C．当直线y＝x+m与该图象恰有三个公共点时，则m＝1
D．关于x的方程|x2+bx+c|＝3的所有实数根的和为4
二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为 ．
12．（3分）一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．如果不及时控制，第三轮将又有 人被传染．
13．（3分）若x2﹣2x﹣2＝0，则代数式3x2﹣6x+2023的值是 ．
14．（3分）若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是 ．
15．（3分）小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣x2+3.5的一部分，如图所示，若球命中篮圈中心 m．
16．（3分）当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为 ．
三、解答题（共72分）
17．（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣3x+2＝0；
（2）3y（y﹣1）＝2y﹣2．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．
（1）判断方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．
19．（10分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象为抛物线C．
（1）写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当0≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围；
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当y≥0时，x的范围为 ．
20．（10分）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分），且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝ 米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能
21．（10分）某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，高度为3m．
（1）建立如图所示平面直角坐标系，求在第一象限部分的抛物线的解析式；
（2）不考虑其它因素，求水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外．
22．（12分）某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为14元/千克，如果售价为20元/千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出210千克（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天要获得利润1920元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定于多少元？
（3）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？
23．（12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标，请说明理由．
2023-2024学年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】要确定一次项系数和二次项系数，首先要把方程化成一般形式．
【解答】解：∵一元二次方程5x2﹣2＝4x化成一般形式为5x4﹣1﹣4x＝4，
∴一次项系数和二次项系数分别为﹣4、5．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．【分析】把x＝﹣2代入方程计算即可求解．
【解答】解：A、把x＝﹣2代入方程得左边＝4+8+2＝8≠3；
B、把x＝﹣2代入方程得左边＝4+3﹣2＝4≠8；
C、把x＝﹣2代入方程得左边＝4﹣6+2＝4≠3；
D、把x＝﹣2代入方程得左边＝4﹣2﹣2＝0＝右边．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＝5﹣4k，再利用k＜0可判断即Δ＞0，然后根据根的判别式的意义进行判断．
【解答】解：∵Δ＝12﹣4（k﹣1）＝5﹣4k，
而k＜0，
∴5﹣4k＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵函数y＝2（x﹣3）7的顶点为（3，0），
∴顶点在x轴上．
故选：C．
【点评】本题主要是考查二次函数的对称轴，顶点坐标的求法．
5．【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：移项，得：x2﹣4x＝﹣6，
配方：x2﹣4x+7＝﹣2+4，
即（x﹣2）2＝2．
故选：A．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．【分析】根据韦达定理得出x1+x2＝2，x1x2＝0，再代入到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2可得答案．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x3﹣2x＝0的两根，
∴x4+x2＝2，x8x2＝0，
则x62+x24＝（x1+x2）5﹣2x1x4＝4，
故选：D．
【点评】本题主要考查韦达定理，熟练掌握韦达定理是解题的关键．
7．【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点与对称轴的距离大小关系求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣4）2+1+c，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝7，
∵0﹣1＜2﹣1＜3﹣3，
∴y2＞y1＞y7，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，明确抛物线开口向下时离对称轴越近y最大是解题的关键．
8．【分析】降低后的价格＝降低前的价格×（1﹣降低率），如果设平均每次降价x，原价是1，则第一次降低后的价格是（1﹣x），那么第二次后的价格是（1﹣x）2，即可列出方程求解．
【解答】解：设平均每次降价x，根据题意得（1﹣x）2＝81%，
解得x＝6.1或1.8
x＝1.9不符合题意，舍去
平均每次降价10%．
故选：A．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）
9．【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式为y＝﹣x2+x+6，根据二次函数的性质，由a＜0可对A选项进行判断；解方程﹣x2+x+6＝0得x抛物线与x轴的交点坐标，则可对B选项进行判断；利用配方法把一般式化为顶点式得到y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，则根据二次函数的性质可对C、D选项进行判断．
【解答】解：把（﹣2，0），3），6）分别代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+7，
∵a＝﹣1，
∴抛物线开口向下，所以A选项正确；
当y＝0时，﹣x3+x+6＝0，
解得x5＝﹣2，x2＝4，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），6），符合题意．
∵y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，所以C选项正确；
当x＝时，y有最大值，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是求出该函数的解析式，利用二次函数的性质解答．
10．【分析】由（﹣1，0）（3，0）是函数图象和x轴的交点，解得：可判断A、B错误；由图象可判断C错误；由题意可得x2﹣2x﹣3＝3或 x2﹣2x﹣3＝﹣3，利用根与系数的关系可判断D正确．
【解答】解：∵（﹣1，0）（2，
∴，
解得：，
∴bc＝（﹣2）×（﹣8）＝6＞0，
故A、B错误；
如图，当直线y＝x+m与该图象恰有三个公共点时，
故C错误；
关于x的方程|x3+bx+c|＝3，即x2﹣3x﹣3＝3或x8﹣2x﹣3＝﹣2，
当x2﹣2x﹣2＝3时，，
当x2﹣2x﹣7＝﹣3时，，
∴关于x的方程|x2+bx+c|＝3的所有实数根的和为3+2＝4，
故D正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）
11．【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝3x2先向左平移2个单位，再向下平移2个单位2﹣4．
故答案为：y＝3（x+1）5﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
12．【分析】设一个患者一轮传染x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感．即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x值，再取其正值×64即可得出结论．
【解答】解：设一个患者一轮传染x人，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝64，
整理得：x4+2x﹣63＝0，
解得：x6＝7，x2＝﹣7（不合题意，舍去），
∴第三轮将传染64×7＝448（人）．
故答案为：448．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．【分析】直接将原式变形进而把已知代入求出答案．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣8＝0，
∴x2﹣6x＝2，
∴3x2﹣6x+2023
＝3（x5﹣2x）+2023
＝3×3+2023
＝2029．
故答案为：2029．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
14．【分析】方程利用因式分解法求出解得到x的值，确定出等腰三角形三边，求出周长即可．
【解答】解：方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）＝7，
可得x﹣2＝0或x﹣5＝0，
解得：x＝2或x＝5，
若2为腰，三角形三边为2，2，4，舍去；
若2为底，三角形三边为3，4，4，
故答案为：10．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．【分析】如图，实际是求AB的距离，而OA已知，所以只需求出OB即可；而OB的长，又是C点的横坐标，所以把C点的纵坐标3.05代入解析式即可解答．
【解答】解：如图，
把C点纵坐标y＝3.05代入y＝﹣x2+3.7中得：
x＝±1.5（舍去负值），
即OB＝2.5，
∴L＝3+5.5＝4.8米．
故答案为：4.5．
【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
16．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当y＝1时，有x2﹣3x+1＝1，
解得：x8＝0，x2＝5．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a＝3或a+1＝0，
∴a＝6或a＝﹣1，
故答案为：2或﹣5．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17．【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先利用因式分解法把方程转化为y﹣1＝0或3y﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣3x+4＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝8或x﹣1＝0，
所以x7＝2，x2＝3；
（2）3y（y﹣1）＝8y﹣2，
3y（y﹣4）﹣2（y﹣1）＝2，
（y﹣1）（3y﹣8）＝0，
y﹣1＝4或3y﹣2＝2，
所以y1＝1，y3＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18．【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，再根据根的判别式判断即可；
（2）把x＝﹣1代入方程，求出m的值，再设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系求出x2的值即可．
【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根．
∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝5中，
a＝1，b＝﹣2，
∴b6﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝8﹣4m，
∵m＜0，
∴5﹣4m＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）∵﹣2是方程的一个根，
∴（﹣1）2﹣3×（﹣1）+m＝0，
∴m＝﹣2；
设方程的另一个根为x2，
∵﹣1+x7＝2，
∴x2＝7．
∴m＝﹣3，方程的另一个根为3．
【点评】本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键．
19．【分析】（1）把一般式化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得；
（2）根据二次函数的性质可得出答案；
（3）利用图象直接得出y≥0时，即对应图象在x轴上方时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣5，
∴抛物线C的开口向上，对称轴为直线x＝1，﹣4）；
（2）∵抛物线C的开口向上，对称轴为直线x＝8，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小，
当x＝1时，y＝﹣6；
当x＝3时，y＝0；
∴当4≤x≤3时，该二次函数的函数值y的取值范围是﹣4≤y≤5；
（3）如图所示：
当y≥0时，x的范围为x≤﹣1或x≥6．
故答案为：x≤﹣1或x≥3．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，利用数形结合得出结论是解题关键．
20．【分析】（1）设栅栏BC长为x米，根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；
（2）根据矩形围栏ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（3）根据矩形围栏ABCD面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣31＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
【解答】解：（1）设栅栏BC长为x米，
∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB＝49+2﹣6x＝51﹣3x（米），
故答案为：（51﹣3x）；
（2）依题意，得：（51﹣4x）x＝210，
整理，得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x3＝7，x2＝10．
当x＝5时，AB＝51﹣3x＝30＞25，舍去，
当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，
答：栅栏BC的长为10米；
（3）不可能，理由如下：
依题意，得：（51﹣8x）x＝240，
整理得：x2﹣17x+80＝0，
∵Δ＝（﹣17）6﹣4×1×80＝﹣31＜4，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
21．【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，3），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，将（0，2.25）代入得，求出a的值即可；
（2）令y＝0，得，0＝﹣（x﹣1）2+3，解得x＝﹣1（舍）或x＝3，可得直径至少为2×3＝6（米）．
【解答】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）3+3，
将（0，4.25）代入得2+3＝7.25，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）5+3．
（2）令y＝0，得，7＝﹣2+3，
解得x＝﹣1（舍）或x＝4，
∵2×3＝2（米），
∴水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
22．【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”列方程求解后，根据要让消费者得到实惠可得答案；
（3）首先表示出每天的获利，进而利用配方法结合二次函数增减性得出答案．
【解答】解：（1）设一次函数表达式为y＝ax+b，
则，
解之得
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+460；
（2）根据题意知，（x﹣14）（﹣10x+460）＝1920，
整理得：10x2﹣600x+8360＝0，
解得：x＝22或x＝38，
∵要让消费者得到实惠，
∴x＝22，
答：该超市每天要获得利润1920元，同时又要让消费者得到实惠；
（3）设每天获利W元，
W＝（x﹣14）（﹣10x+460）
＝﹣10x7+600x﹣6440
＝﹣10（x﹣30）2+2560，
∵a＝﹣10＜0，
∴开口向下，
∵对称轴为x＝30，
∴在6＜x≤28时，W随x的增大而增大，
∴x＝28时，W最大值＝2520（元），
答：售价为28元时，每天获利最大为2520元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一次函数应用，正确利用二次函数增减性分析是解题关键．
23．【分析】（1）将A、C点坐标分别代入抛物线解析式得，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；
（2）先求出抛物线的对称轴方程，从而得到D（，0），B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设F（x，﹣x2+x+2）（0＜x＜4），则E（x，﹣x+2），所以EF＝﹣x2+2x，利用三角形面积公式得到S△BCF＝﹣x2+4x，所以四边形CDBF的面积＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x+，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）利用勾股定理计算出CD＝，利用等腰三角形的性质分三种情况进行讨论：PD＝CD、PC＝CD、PD＝PC，列式解答即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），6）代入抛物线解析式得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图1，
∵抛物线的对称轴为：x＝﹣＝，
∴D（，4），0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B、C点坐标代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设F（x，﹣x2+x+2）（0＜x＜8），﹣x+4），
∴EF＝﹣x7+x+2﹣（﹣x2+3x，
∴S△BCF＝•5•（﹣x6+2x）＝﹣x2+3x，
四边形CDBF的面积＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x+•2•（2﹣7+4x+＝﹣（x﹣2）2+，
当x＝2时，四边形CDBF的面积最大，此时E点坐标为（7；
（3）∵C（0，2），0），
∴CD＝＝，
∵点P在对称轴上，
∴设P点坐标为（，t），
∴PD＝|t|，PC＝，
当PD＝CD时，|t|＝，
解得：t＝，此时点P坐标为（，，﹣）；
当PC＝CD时，＝，
解得：t＝3或t＝0（与D重合，舍去），4）；
当PD＝PC时，|t|＝，
解得：t＝，此时点P坐标为（，）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（，）、（，）、（、（，）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质x
﹣2
﹣1
0
1
y
0
4
6
6
1．（3分）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，一次项系数和二次项系数分别为（ ）
A．5，﹣1B．5，4C．﹣4，5D．5x2，﹣4x
2．（3分）以﹣2为根的一元二次方程是（ ）
A．x2﹣x+2＝0B．x2﹣x﹣2＝0C．x2+x+2＝0D．x2+x﹣2＝0
3．（3分）若k＜0，则关于x的一元二次方程x2+x+k﹣1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．没有实数根
C．有两个相等的实数根
D．只有一个实数根
4．（3分）抛物线y＝2（x﹣3）2的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．x轴上D．y轴上
5．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x﹣4）2＝2C．（x﹣2）2＝0D．（x﹣4）2＝1
6．（3分）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两根，则x12+x22的值是（ ）
A．0B．2C．﹣2D．4
7．（3分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+c，若点（0，y1）（1，y2）（3，y3）都在该抛物线上，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y3＞y1＞y2B．y3＜y2＜y1C．y3＞y2＞y1D．y3＜y1＜y2
8．（3分）某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的81%，则平均每次降价（ ）
A．10%B．19%C．9.5%D．20%
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表．下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0）
C．抛物线的对称轴为直线x＝
D．函数y＝ax2+bx+c的最大值为
10．（3分）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数y＝|x2+bx+c|的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．bc＜0
B．c＝3
C．当直线y＝x+m与该图象恰有三个公共点时，则m＝1
D．关于x的方程|x2+bx+c|＝3的所有实数根的和为4
二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为 ．
12．（3分）一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．如果不及时控制，第三轮将又有 人被传染．
13．（3分）若x2﹣2x﹣2＝0，则代数式3x2﹣6x+2023的值是 ．
14．（3分）若某等腰三角形的底和腰的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则这个等腰三角形的周长是 ．
15．（3分）小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣x2+3.5的一部分，如图所示，若球命中篮圈中心 m．
16．（3分）当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为 ．
三、解答题（共72分）
17．（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣3x+2＝0；
（2）3y（y﹣1）＝2y﹣2．
18．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0（m＜0）．
（1）判断方程根的情况，并说明理由；
（2）若方程的一个根为﹣1，求m的值和方程的另一个根．
19．（10分）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象为抛物线C．
（1）写出抛物线C的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当0≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围；
（3）请画出该函数图象，并根据图象写出当y≥0时，x的范围为 ．
20．（10分）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分），且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝ 米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若不可能
21．（10分）某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，高度为3m．
（1）建立如图所示平面直角坐标系，求在第一象限部分的抛物线的解析式；
（2）不考虑其它因素，求水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外．
22．（12分）某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为14元/千克，如果售价为20元/千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出210千克（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该超市每天要获得利润1920元，同时又要让消费者得到实惠，则售价x应定于多少元？
（3）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？
23．（12分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是线段BC上的一个动点（不与B、C重合），过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD为等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标，请说明理由．
2023-2024学年内蒙古乌兰察布市集宁区亿利东方学校九年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．【分析】要确定一次项系数和二次项系数，首先要把方程化成一般形式．
【解答】解：∵一元二次方程5x2﹣2＝4x化成一般形式为5x4﹣1﹣4x＝4，
∴一次项系数和二次项系数分别为﹣4、5．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．【分析】把x＝﹣2代入方程计算即可求解．
【解答】解：A、把x＝﹣2代入方程得左边＝4+8+2＝8≠3；
B、把x＝﹣2代入方程得左边＝4+3﹣2＝4≠8；
C、把x＝﹣2代入方程得左边＝4﹣6+2＝4≠3；
D、把x＝﹣2代入方程得左边＝4﹣2﹣2＝0＝右边．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．【分析】先计算根的判别式的值得到Δ＝5﹣4k，再利用k＜0可判断即Δ＞0，然后根据根的判别式的意义进行判断．
【解答】解：∵Δ＝12﹣4（k﹣1）＝5﹣4k，
而k＜0，
∴5﹣4k＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是直线x＝h，顶点坐标是（h，k）．
【解答】解：∵函数y＝2（x﹣3）7的顶点为（3，0），
∴顶点在x轴上．
故选：C．
【点评】本题主要是考查二次函数的对称轴，顶点坐标的求法．
5．【分析】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：移项，得：x2﹣4x＝﹣6，
配方：x2﹣4x+7＝﹣2+4，
即（x﹣2）2＝2．
故选：A．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6．【分析】根据韦达定理得出x1+x2＝2，x1x2＝0，再代入到x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2可得答案．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x3﹣2x＝0的两根，
∴x4+x2＝2，x8x2＝0，
则x62+x24＝（x1+x2）5﹣2x1x4＝4，
故选：D．
【点评】本题主要考查韦达定理，熟练掌握韦达定理是解题的关键．
7．【分析】由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据A，B，C三点与对称轴的距离大小关系求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣4）2+1+c，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝7，
∵0﹣1＜2﹣1＜3﹣3，
∴y2＞y1＞y7，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，明确抛物线开口向下时离对称轴越近y最大是解题的关键．
8．【分析】降低后的价格＝降低前的价格×（1﹣降低率），如果设平均每次降价x，原价是1，则第一次降低后的价格是（1﹣x），那么第二次后的价格是（1﹣x）2，即可列出方程求解．
【解答】解：设平均每次降价x，根据题意得（1﹣x）2＝81%，
解得x＝6.1或1.8
x＝1.9不符合题意，舍去
平均每次降价10%．
故选：A．
【点评】本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“﹣”）
9．【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式为y＝﹣x2+x+6，根据二次函数的性质，由a＜0可对A选项进行判断；解方程﹣x2+x+6＝0得x抛物线与x轴的交点坐标，则可对B选项进行判断；利用配方法把一般式化为顶点式得到y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，则根据二次函数的性质可对C、D选项进行判断．
【解答】解：把（﹣2，0），3），6）分别代入y＝ax2+bx+c得，
解得，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+7，
∵a＝﹣1，
∴抛物线开口向下，所以A选项正确；
当y＝0时，﹣x3+x+6＝0，
解得x5＝﹣2，x2＝4，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），6），符合题意．
∵y＝﹣x2+x+6＝﹣（x﹣）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝，所以C选项正确；
当x＝时，y有最大值，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是求出该函数的解析式，利用二次函数的性质解答．
10．【分析】由（﹣1，0）（3，0）是函数图象和x轴的交点，解得：可判断A、B错误；由图象可判断C错误；由题意可得x2﹣2x﹣3＝3或 x2﹣2x﹣3＝﹣3，利用根与系数的关系可判断D正确．
【解答】解：∵（﹣1，0）（2，
∴，
解得：，
∴bc＝（﹣2）×（﹣8）＝6＞0，
故A、B错误；
如图，当直线y＝x+m与该图象恰有三个公共点时，
故C错误；
关于x的方程|x3+bx+c|＝3，即x2﹣3x﹣3＝3或x8﹣2x﹣3＝﹣2，
当x2﹣2x﹣2＝3时，，
当x2﹣2x﹣7＝﹣3时，，
∴关于x的方程|x2+bx+c|＝3的所有实数根的和为3+2＝4，
故D正确，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键．
二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）
11．【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝3x2先向左平移2个单位，再向下平移2个单位2﹣4．
故答案为：y＝3（x+1）5﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解题的关键．
12．【分析】设一个患者一轮传染x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感．即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x值，再取其正值×64即可得出结论．
【解答】解：设一个患者一轮传染x人，
根据题意得：1+x+x（1+x）＝64，
整理得：x4+2x﹣63＝0，
解得：x6＝7，x2＝﹣7（不合题意，舍去），
∴第三轮将传染64×7＝448（人）．
故答案为：448．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
13．【分析】直接将原式变形进而把已知代入求出答案．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣8＝0，
∴x2﹣6x＝2，
∴3x2﹣6x+2023
＝3（x5﹣2x）+2023
＝3×3+2023
＝2029．
故答案为：2029．
【点评】此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
14．【分析】方程利用因式分解法求出解得到x的值，确定出等腰三角形三边，求出周长即可．
【解答】解：方程分解得：（x﹣2）（x﹣4）＝7，
可得x﹣2＝0或x﹣5＝0，
解得：x＝2或x＝5，
若2为腰，三角形三边为2，2，4，舍去；
若2为底，三角形三边为3，4，4，
故答案为：10．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
15．【分析】如图，实际是求AB的距离，而OA已知，所以只需求出OB即可；而OB的长，又是C点的横坐标，所以把C点的纵坐标3.05代入解析式即可解答．
【解答】解：如图，
把C点纵坐标y＝3.05代入y＝﹣x2+3.7中得：
x＝±1.5（舍去负值），
即OB＝2.5，
∴L＝3+5.5＝4.8米．
故答案为：4.5．
【点评】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
16．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a≤x≤a+1时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当y＝1时，有x2﹣3x+1＝1，
解得：x8＝0，x2＝5．
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a＝3或a+1＝0，
∴a＝6或a＝﹣1，
故答案为：2或﹣5．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值是解题的关键．
三、解答题（共72分）
17．【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先利用因式分解法把方程转化为y﹣1＝0或3y﹣2＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）x2﹣3x+4＝0，
（x﹣2）（x﹣5）＝0，
x﹣2＝8或x﹣1＝0，
所以x7＝2，x2＝3；
（2）3y（y﹣1）＝8y﹣2，
3y（y﹣4）﹣2（y﹣1）＝2，
（y﹣1）（3y﹣8）＝0，
y﹣1＝4或3y﹣2＝2，
所以y1＝1，y3＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
18．【分析】（1）求出b2﹣4ac的值，再根据根的判别式判断即可；
（2）把x＝﹣1代入方程，求出m的值，再设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系求出x2的值即可．
【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根．
∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝5中，
a＝1，b＝﹣2，
∴b6﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×m＝8﹣4m，
∵m＜0，
∴5﹣4m＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
（2）∵﹣2是方程的一个根，
∴（﹣1）2﹣3×（﹣1）+m＝0，
∴m＝﹣2；
设方程的另一个根为x2，
∵﹣1+x7＝2，
∴x2＝7．
∴m＝﹣3，方程的另一个根为3．
【点评】本题考查了解一元二次方程、根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系是解此题的关键．
19．【分析】（1）把一般式化成顶点式，根据二次函数的性质即可求得；
（2）根据二次函数的性质可得出答案；
（3）利用图象直接得出y≥0时，即对应图象在x轴上方时，x的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2x﹣5＝（x﹣1）2﹣5，
∴抛物线C的开口向上，对称轴为直线x＝1，﹣4）；
（2）∵抛物线C的开口向上，对称轴为直线x＝8，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小，
当x＝1时，y＝﹣6；
当x＝3时，y＝0；
∴当4≤x≤3时，该二次函数的函数值y的取值范围是﹣4≤y≤5；
（3）如图所示：
当y≥0时，x的范围为x≤﹣1或x≥6．
故答案为：x≤﹣1或x≥3．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，利用数形结合得出结论是解题关键．
20．【分析】（1）设栅栏BC长为x米，根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出AB的长；
（2）根据矩形围栏ABCD面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
（3）根据矩形围栏ABCD面积为240平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣31＜0，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
【解答】解：（1）设栅栏BC长为x米，
∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴AB＝49+2﹣6x＝51﹣3x（米），
故答案为：（51﹣3x）；
（2）依题意，得：（51﹣4x）x＝210，
整理，得：x2﹣17x+70＝0，
解得：x3＝7，x2＝10．
当x＝5时，AB＝51﹣3x＝30＞25，舍去，
当x＝10时，AB＝51﹣3x＝21，
答：栅栏BC的长为10米；
（3）不可能，理由如下：
依题意，得：（51﹣8x）x＝240，
整理得：x2﹣17x+80＝0，
∵Δ＝（﹣17）6﹣4×1×80＝﹣31＜4，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
21．【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，3），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3，将（0，2.25）代入得，求出a的值即可；
（2）令y＝0，得，0＝﹣（x﹣1）2+3，解得x＝﹣1（舍）或x＝3，可得直径至少为2×3＝6（米）．
【解答】解：（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为（1，
∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）3+3，
将（0，4.25）代入得2+3＝7.25，
解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）5+3．
（2）令y＝0，得，7＝﹣2+3，
解得x＝﹣1（舍）或x＝4，
∵2×3＝2（米），
∴水池的直径至少要6米才能使喷出的水流不落到池外．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．
22．【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；
（2）根据“总利润＝单件利润×销售量”列方程求解后，根据要让消费者得到实惠可得答案；
（3）首先表示出每天的获利，进而利用配方法结合二次函数增减性得出答案．
【解答】解：（1）设一次函数表达式为y＝ax+b，
则，
解之得
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+460；
（2）根据题意知，（x﹣14）（﹣10x+460）＝1920，
整理得：10x2﹣600x+8360＝0，
解得：x＝22或x＝38，
∵要让消费者得到实惠，
∴x＝22，
答：该超市每天要获得利润1920元，同时又要让消费者得到实惠；
（3）设每天获利W元，
W＝（x﹣14）（﹣10x+460）
＝﹣10x7+600x﹣6440
＝﹣10（x﹣30）2+2560，
∵a＝﹣10＜0，
∴开口向下，
∵对称轴为x＝30，
∴在6＜x≤28时，W随x的增大而增大，
∴x＝28时，W最大值＝2520（元），
答：售价为28元时，每天获利最大为2520元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一次函数应用，正确利用二次函数增减性分析是解题关键．
23．【分析】（1）将A、C点坐标分别代入抛物线解析式得，然后解方程组求出m、n即可得到抛物线解析式；
（2）先求出抛物线的对称轴方程，从而得到D（，0），B（4，0），再利用待定系数法求出直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设F（x，﹣x2+x+2）（0＜x＜4），则E（x，﹣x+2），所以EF＝﹣x2+2x，利用三角形面积公式得到S△BCF＝﹣x2+4x，所以四边形CDBF的面积＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x+，然后利用二次函数的性质解决问题；
（3）利用勾股定理计算出CD＝，利用等腰三角形的性质分三种情况进行讨论：PD＝CD、PC＝CD、PD＝PC，列式解答即可．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），6）代入抛物线解析式得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；
（2）如图1，
∵抛物线的对称轴为：x＝﹣＝，
∴D（，4），0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
将B、C点坐标代入得：，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设F（x，﹣x2+x+2）（0＜x＜8），﹣x+4），
∴EF＝﹣x7+x+2﹣（﹣x2+3x，
∴S△BCF＝•5•（﹣x6+2x）＝﹣x2+3x，
四边形CDBF的面积＝S△BCF+S△BCD＝﹣x2+4x+•2•（2﹣7+4x+＝﹣（x﹣2）2+，
当x＝2时，四边形CDBF的面积最大，此时E点坐标为（7；
（3）∵C（0，2），0），
∴CD＝＝，
∵点P在对称轴上，
∴设P点坐标为（，t），
∴PD＝|t|，PC＝，
当PD＝CD时，|t|＝，
解得：t＝，此时点P坐标为（，，﹣）；
当PC＝CD时，＝，
解得：t＝3或t＝0（与D重合，舍去），4）；
当PD＝PC时，|t|＝，
解得：t＝，此时点P坐标为（，）；
综上所述，满足条件的P点坐标为（，）、（，）、（、（，）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质x
﹣2
﹣1
0
1
y
0
4
6
6
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