+内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗保康第二中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+

这是一份+内蒙古通辽市科尔沁左翼中旗保康第二中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷+，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列数学图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. 毕达哥拉斯树B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图D. 卡西尼卵形线
2.下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④平分弦的直径垂直于弦；⑤圆内接四边形的对角互补.其中正确的结论有个．( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
3.如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，∠ADE=∠C，则下列比例式中正确的是( )
A. ADAB=AEACB. ADAB=DEBCC. AEAC=DEBCD. ADAC=AEAB
4.如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的49，则AO：AD的值为( )
A. 2：3B. 2：5C. 4：9D. 4：13
5.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，那么∠A的正弦值是( )
A. 34B. 43C. 35D. 45
6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，AB=4，BD=2，则CD的长为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点.若∠DCE=65°，则∠BOD的度数是( )
A. 65°
B. 115°
C. 130°
D. 140°
8.已知关于x的一元二次方程x2−2x+k=1有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A. k>1B. k<1C. k<2D. k>2
9.下列关于二次函数y=−x2+x+2的图象和性质的说法中，正确的是( )
A. 图象开口向上B. 对称轴是直线x=1
C. 顶点坐标是(−1,2)D. (−1,0)在此函数图象上
10.在平面直角坐标系中，将抛物线y=12x2先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式为( )
A. y=12(x+2)2+2B. y=12(x−2)2−2
C. y=12(x−2)2+2D. y=12(x+2)2−2
11.如图，一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(−1,4)，B(6,2)两点，则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为( )
A. −1≤x≤6
B. −1≤x<6
C. −1D. x≤−1或x≥6
12.如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(−1,3)，与x轴的交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，以下结论：
①b2−4ac=0；②a+b+c>0；③2a−b=0；④c−a=3
其中正确的有个．( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
13.已知一元二次方程x2−x−1=0两个实根分别为x1，x2，则x2x1+x1x2= ______ ．
14.已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为 cm2.(结果保留π)
15.如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是AC边的中点，过D作DE⊥AB，垂足为点E，如果AD=2，AB=6，那么cs∠ADE= ______ ．
16.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡度i=1： 3，坝高BC为5m，则AB的长度为______m.
17.如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止，点D的运动速度为1cm/s，点E的运动速度为2cm/s.若D，E两点同时出发，则当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为______ s.
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
(1)方程：x2−2x−8=0．
(2)计算：(π−3.14)0−| 3−2|−2cs30°+3−8．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，DE/​/BC，已知CD=1，BC=1.8，DE=1.5，求AD的长．
20.(本小题8分)
如图，已知△ABC中，AB=6，∠B=30°，tan∠ACB=32.求边AC的长．
21.(本小题8分)
如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，求国旗AB高多少米？(参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75)
22.(本小题8分)
某校在课后服务中，成立了以下社团：A.计算机，B.围棋，C.篮球，D.书法每人只能加入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为150°．

请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有______ 人；
(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；
(4)在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学.现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
23.(本小题8分)
如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点(不与AB重合)过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q．
(1)在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BP=6，AP=1，QP=8，求QC的长．
24.(本小题8分)
如图，已知▱ABCD，点E在边AD上，连接BE，交对角线AC于点F，且∠AFB=∠D．
(1)求证：△AFB∽△ABC；
(2)若AB=4，AC=6，求FC的值．
25.(本小题8分)
某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，平均每天可卖出80件.如果每件商品的售价每下降1元，则每天可多卖出10件.设每件商品的售价下降x元(x为正整数)，每天的销售利润为y元．
(1)求销售利润y(元)与下降价格x(元)的函数关系式；
(2)每件商品的售价下降多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
26.(本小题8分)
如图，已知抛物线y=ax2−4ax交x轴于点A，与直线y=kx交于点B(5,52)，过点B作BC/​/x轴交抛物线于点C.若P是线段BC上一点，过点P作x轴的垂线分别交直线OB与抛物线于E，F.点F在线段OB的下方．
(1)求a与k的值．
(2)求线段EF的最大值．
(3)作点F关于直线BC的对称点G，连结PG，BG.若△BEP∽△GBP，求G的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180°，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：①在同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧，故错误；
②任意不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
③同圆弧或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误；
④平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，故错误；
⑤圆内接四边形的对角互补，故正确．
故选：D．
此题考查圆的知识，正确理解等弧定义，确定圆的条件，垂径定理，圆内接四边形的性质，圆心角的性质是解题的关键．
本题考查命题与定理，圆的基本知识，正确记忆相关知识点是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，
∴△ADE∽ACB，
∴ADAC=AEAB=DEBC，故A、B、C错误，D正确，
故选：D．
证明△ADE∽ACB，得出ADAC=AEAB=DEBC，即可得解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质得到AO：DO=2：3，进而得出答案．
【解答】
解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的49，
∴ACDF=23，AC/​/DF，
∴AODO=ACDF=23，
∴AOAD=AOAO+DO=25．
故选B．
5.【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴sinA=BCAB=45，
故选D．
根据sinA=BCAB代入数据直接得出答案．
本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
6.【答案】D
【解析】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵AB=4，BD=2，
∴AD= AB2−BD2=2 3，
∵∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAD，
∵∠ADC=∠ADB=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴ADCD=BDAD=22 3= 33，
∴CD=6，
故选：D．
先利用勾股定理求出AD=2 3，再证明△ABD∽△CAD，利用三角形相似的性质即可求出CD的长．
本题考查了射影定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
7.【答案】C
【解析】解：∵∠DCE=65°，
∴∠DCB=180°−∠DCE=180°−65°=115°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD+∠DCB=180°，
∴∠BAD=65°，
∴∠BOD=2∠BAD=2×65°=130°，
故选：C．
根据邻补角互补求出∠DCB的度数，再根据圆内接四边形对角互补求出∠BAD的度数，最后根据圆周角定理即可求出∠BOD的度数．
本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：方程化为一般式为x2−2x+k−1=0，
根据题意得Δ=(−2)2−4(k−1)>0，
解得k<2，
即k的取值范围为k<2．
故选：C．
先把方程化为一般式为x2−2x+k−1=0，再利用根的判别式的意义得到Δ=(−2)2−4(k−1)>0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
9.【答案】D
【解析】解：根据题意得：
A、a=−1<0，图象开口向下，原说法错误，不符合题意；
B、−b2a=12，对称轴是直线x=12，原说法错误，不符合题意；
C、−b2a=12，4ac−b24a=4×(−1)×2−14×(−1)=94，顶点坐标为(12,94)，原说法错误，不符合题意；
D、当x=−1时，y=0，(−1,0)在此函数图象上，正确，故符合题意．
故选：D．
根据二次函数的图象与性质对每一个选项进行分析即可．
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：先将抛物线y=12x2先向右平移2个单位长度，得到抛物线的函数解析式为：y=12(x−2)2；再将抛物线y=12(x−2)2向上平移2个单位长度，得到的新抛物线的函数解析式为：y=12(x−2)2+2，
故选：C．
根据“上加下减，左加右减”的法则解答即可．
本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟记平移变换的基本法则是解答本题的关键．
11.【答案】A
【解析】解：∵一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(−1,4)，B(6,2)两点，
根据图象可得关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集是：−1≤x≤6．
故选：A．
根据图象关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集就是两个函数的交点的横坐标，以及一次函数的图象在二次函数的图象的上边部分对应的自变量的取值范围．
本题考查了二次函数与不等式的关系，理解不等式的解集就是对应的自变量的取值范围是关键．
12.【答案】B
【解析】解：抛物线与x轴有两个交点，
∴△>0，
∴b2−4ac>0，故①错误；
由于对称轴为x=−1，
∴x=−3与x=1关于x=−1对称，
∵x=−3时，y<0，
∴x=1时，y=a+b+c<0，故②错误；
∵对称轴为x=−b2a=−1，
∴2a−b=0，故③正确；
∵顶点为B(−1,3)，
∴y=a−b+c=3，
∴y=a−2a+c=3，
即c−a=3，故④正确；
故选：B．
根据抛物线的图象与性质即可判断．
本题考查抛物线的图象与性质，解题的关键是熟练运用抛物线的图象与性质，本题属于中等题型．
13.【答案】−3
【解析】解：∵一元二次方程x2−x−1=0两个实根分别为x1，x2，
∴x1+x2=1，x1⋅x2=−1，
∴x2x1+x1x2
=x22x1⋅x2+x12x1⋅x2
=(x1+x2)2−2x1⋅x2x1⋅x2
=12−2×(−1)−1
=−3．
故答案为：−3．
利用根与系数的关系可得出x1+x2=1，x1⋅x2=−1，将其代入x2x1+x1x2=(x1+x2)2−2x1⋅x2x1⋅x2中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于−ba，两根之积等于ca”是解题的关键．
14.【答案】15π
【解析】【分析】
本题主要考查圆锥的计算，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键．
根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，即可得出答案．
【解答】
解：底面圆的半径为3cm，则底面周长=6π，侧面面积=12×6π×5=15πcm2．
故答案为：15π．
15.【答案】 53
【解析】解：∵D是AC边的中点，AD=2，
∴AC=2AD=4，
∵∠C=90°，
∴由勾股定理得BC= AB2−AC2=2 5，
∴csB=BCAB= 53，
∵DE⊥AB，
∴∠A+∠ADE=90°，
又∵∠A+∠B=90°，
∴∠ADE=∠B，
∴cs∠ADE=csB= 53，
故答案为： 53．
先由线段中点的定义得到AC=4，则由勾股定理可得BC=2 5，则csB=BCAB= 53，再证明∠ADE=∠B，则cs∠ADE=csB= 53．
本题主要考查了解直角三角形，关键是勾股定理的应用．
16.【答案】10
【解析】解：∵迎水坡AB的坡比为1： 3，
∴BCAC=1 3，
∵BC=5 3m，
∴AC=5m，
由勾股定理得，AB= 52+(5 3)2=10(m)．
故答案为：10m．
根据坡比的定义可得BCAC=1 3，即可得AC=5 3m，再结合勾股定理可得答案．
本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题、勾股定理，熟练掌握坡比的定义以及勾股定理是解答本题的关键．
17.【答案】3或4.8
【解析】解：设运动时间为t s时，以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，
则AD=t，CE=2t，AE=AC−CE=12−2t，
①当D与B对应时，△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，
即t6=(12−2t)12，
∴t=3；
②当D与C对应时，△ADE∽△ACB，
∴ADAC=AEAB，
即t12=(12−2t)6，
∴t=4.8，
∴当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为3s或4.8s，
故答案为：3或4.8．
分△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB两种情况分别求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)x2−2x−8=0，
(x−4)(x+2)=0，
解得：x1=4，x2=−2；
(2)(π−3.14)0−| 3−2|−2cs30°+3−8
=1−(2− 3)−2× 32−2
=1−2+ 3− 3−2
=−3．
【解析】(1)利用十字相乘法解方程得出答案；
(2)利用绝对值的性质以及立方根的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
19.【答案】解：∵在△ABC中，DE/​/BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴ADAC=DEBC，
∵CD=1，BC=1.8，DE=1.5，
∴ADAD+1=1.51.8，
解得：AD=5．
【解析】由在△ABC中，DE/​/BC，可得△ADE∽△ACB，又由CD=1，BC=1.8，DE=1.5，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AD的长．
此题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的对应边成比例．
20.【答案】解：如图，过A作AH⊥BC，垂足为H，

∵AB=6，∠B=30°，AH⊥BC，
∴AH=12AB=3，
∵tan∠ACB=32，
∴AHHC=32，
∴CH=2，
∴AC= 32+22= 13．
【解析】过A作AH⊥BC，垂足为H，由直角三角形的性质得出AH=3，由三角函数求出CH=2，再根据勾股定理求出AC的长即可．
本题考查了解直角三角形，正确作出辅助线和理解直角三角形中的边角关系是关键．
21.【答案】解：如图，根据题意得，DB=CE=9米，

在Rt△BCD中，BD=9米，∠BCD=45°，则BD=CD=9米．
在Rt△ACD中，CD=9米，∠ACD=37°，
则AD=CD⋅tan37°≈9×0.75=6.75(米)．
则AB=AD+BD=9+6.75=15.75(米)，
答：国旗AB高15.75米．
【解析】根据等腰直角三角形的性质求出CD，根据正切的概念计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
22.【答案】360
【解析】解：(1)∵D所占扇形的圆心角为150°，
∴这次被调查的学生共有：150÷150360=360(人)；
故答案为：360．
(2)C组人数为：360−120−30−150=60(人)，
故补充条形统计图如下图：
(3)1800×60360=300(人)，
答：这1800名学生中有300人参加了篮球社团，
(4)设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
∵一共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种，
∴P(一男一女)=812=23．
(1)由D的人数除以所占比例即可；
(2)求出C的人数，即可解决问题；
(3)由该校共有学生人数除以参加篮球社团的学生所占的比例即可；
(4)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有8种再由概率公式求解即可．
此题考查了用树状图法求概率、扇形统计图、条形统计图以及用样本估计总体，画树状图法求概率，根据条形统计图和扇形统计图获取信息和数据与正确画树状图是解题的关键．
23.【答案】(1)解：CD与⊙O相切．理由如下：如图，
∵OC=OB，
∴∠2=∠B，
∵DQ=DC，
∴∠1=∠Q，
∵QP⊥PB，
∴∠BPQ=90°，
∴∠Q+∠B=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠DCO=180°−∠1−∠2=90°，
∴OC⊥CD，
而OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线；
(2)解：连接AC，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△BPQ中，BQ= QP2+BP2= 82+62=10，
∵∠ACB=∠QPB=90°，∠ABC=∠QPB，
∴△ABC∽△QBP，
∴BCBP=ABBQ，
∵AB=AP+BP=1+6=7，
∴BC6=710，
∴BC=4.2，
∴QC=BQ−BC=10−4.2=5.8．
【解析】(1)连结OC，由OC=OB得∠2=∠B，DQ=DC得∠1=∠Q，根据QP⊥PB得到∠Q+∠B=90°，则∠1+∠2=90°，再利用平角的定义得到∠DCO=90°，然后根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；
(2)连结AC，由AB为⊙O的直径得∠ACB=90°，根据勾股定理求得BQ、BC，然后根据三角形相似的性质求得BC，最后利用QC=BQ−BC进行计算即可．
本题考查了切线的判定和勾股定理的应用，切线的判定定理是：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查等腰三角形的性质以及三角形相似的判定和性质．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D．
又∵∠AFB=∠D，
∴∠AFB=∠ABC．
又∵∠FAB=∠BAC，
∴△AFB∽△ABC．
(2)解：∵△AFB∽△ABC，
∴AFAB=ABAC，即AF4=46，
∴AF=83．
∴FC=AC−AF=6−83=103．
【解析】(1)根据平行四边形的性质证明∠AFB=∠ABC，即可证明；
(2)根据相似三角形的性质可得AF，再根据FC=AC−AF即可求解．
本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
25.【答案】解：(1)由题意得，y=(60−40−x)(80+10x)
=(20−x)(80+10x)
=1600−80x+200x−10x2
=−10x2+120x+1600；
(2)由(1)得y=−10x2+120x+1600
=−10(x−6)2+1960，
∵−10<0，
∴当x=6时，y最大，最大值为1960，
∴每件商品的售价下降6元时，每天的销售利润最大，最大利润是1960元．
【解析】(1)根据利润=(原售价−降价−)×销售量进行求解即可；
(2)根据(1)所求，结合二次函数的性质求解即可．
本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系是解题的关键．
26.【答案】解：(1)将B(5,52)代入y=ax2−4ax，得52⋅a−4×5a=52，
解得a=12，
将B(5,52)代入y=kx，得5k=52，
解得k=12；
(2)由(1)得抛物线解析式为y=12x2−2x，直线OB的解析式为y=12x，
设点P横坐标为m，则点E的坐标为(m,12m)，点F的坐标为(m,12m2−2m)，
∵点F在线段OB的下方，
∴EF=12m−(12m2−2m)=−12m2+52m=−12(m−52)2+258，
∵若P是线段BC上一点，且点F在线段OB的下方，
∴0∴当m=52时，EF取最大值，最大值为258；
(3)如图，设BC与y轴的交点为M，则BM=5，OM=52，

由题意知∠OMB=∠EPB=90°，∠OBM=∠EBP，
∴△OBM∽△EBP，
∴PBPE=BMOM=552=2；
∵点F与点G关于直线BC对称，点F的坐标为(m,12m2−2m)，
∴PG=PF=52−(12m2−2m)=−12m2+2m+52，
∴点G坐标为(m,−12m2+2m+52+52)，即(m,−12m2+2m+5)，
若△BEP∽△GBP，则PGPB=PBPE=2或PBPG=PBPE=2，
当PGPB=2时，−12m2+2m+525−m=2，
解得m=3或m=5，
由(2)得0∴m=3，
∴点G的坐标为(3,132)；
当PBPG=2时，5−m−12m2+2m+52=2，
解得m=0或m=5，均不合题意，
综上可知，点G的坐标为(3,132)．
【解析】(1)将B(5,52)代入y=kx和y=ax2−4ax即可求解；
(2)设点P横坐标为m，用含m代数式表示EF长度，进而求解；
(3)先证△OBM∽△EBP，推出PBPE=BMOM=552=2，进而可得PG与BP的长度比为2：1或1：2，进而求解．
本题考查二次函数与图形的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质等，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键．