2023-2024学年辽宁省朝阳市高一上学期12月月考数学试题（含解析）

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这是一份2023-2024学年辽宁省朝阳市高一上学期12月月考数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U=R，若集合A=x1−1x<0，则∁UA=( )
A. xx0或x1B. xx≤0或x≥1
C. x02.下列统计量中，能更好地度量样本x1，x2，…，xn的离散程度的有
( )
A. 样本x1，x2，…，xn的众数B. 样本x1，x2，…，xn的中位数
C. 样本x1，x2，…，xn的标准差D. 样本x1，x2，…，xn的平均数
3.函数fx=lnx+x−4的零点一定位于下列哪个区间
( )
A. 1,2B. 2,3C. 3,4D. 5,6
4.“a≥−2”是“函数fx=x2+2ax在区间2,+∞上是增函数”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.实数a，b，c在数轴上对应的点A，B，C如图所示，下列判断正确的是
( )
A. ab>cB. abc>12C. c+2b2b
6.已知函数f(x)=ax2+2x−1(x>2)12x−54(x≤2)是R上的减函数，则实数a的取值范围是
( )
A. (−∞,−1]B. −∞,−12C. (−∞,0]D. (−∞,1]
7.已知a=0.23，b=30.2，c=，则a，b，c的大小关系为
( )
A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b
8.已知fx是定义在R上的奇函数，且对任意00的解集为
( )
A. −∞,−3∪3,+∞B. −3,3
C. −3,0∪0,3D. −3,0∪3,+∞
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某工厂为了了解一批产品的质量，从中随机抽取了100件产品测量其长度，所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则
( )
A. a=0.05
B. 估计产品长度的样本数据的70%分位数是27mm
C. 估计产品长度的样本数据的众数是22.5mm
D. 估计产品长度的样本数据的平均数是23mm
10.以下结论中，正确的是( )
A. 方程组x+y=0,x2+y=2的解集是2,−2,−1,1
B. 若lg2x−1<1，则1C. 函数fx=bx−1+3(b>0且b≠1)的图象过的定点坐标为1,3
D. 函数y=x2与函数y=xx是相同函数
11.若x，y>0，且x+2y=1，则( )
A. xy≤18B. x+ 2y≤ 2
C. 1x+2y≥10D. x2+4y2≥12
12.已知定义域为R的函数fx满足f1−x=−fx+1，且函数fx在区间1,+∞上单调递增，若x1+x2>0，则下列说法正确的是
( )
A. 函数fx的图象关于点1,0中心对称B. 函数fx的图象关于直线x=1轴对称
C. f1−x1+f1−x2<0D. f1−x1+f1−x2>0
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.lg25⋅lg54−lnlne+21+lg24=______．
14.不等式组x−2≥0,x−a>0的解集为xx>a，则a的取值范围是______．
15.若y=m2−m−1xm2−2m是幂函数，且在0,+∞上单调递增，则m=______．
16.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)= ．
①f(x)在R上单调递增；
②f(x1)f(x2)f(x1+x2)=f(0)；
③f(0)>1．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数fx=x2+ax−3．
(1)当a=2时，解不等式fx>0；
(2)若函数fx在1,3上的最小值为1，求实数a的值．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+ax(a∈R)，且f(1)=5．
(1)求a的值；
(2)判断f(x)在区间(0,2)上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．
19.(本小题12分)
已知a，b是一元二次方程2mx2−2mx+m−1=0m≠1的两个不等实数根．
(1)求1a+1b的值(用m表示)；
(2)是否存在实数m，使2a−ba−2b=−3成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由；
(3)求ba+ab的取值范围．
20.(本小题12分)
研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x(单位：百辆)新能源汽车需另投入成本Cx(单位：万元)，且C(x)={0x2+100x,0(1)求2023年的利润Px(万元)关于年产量x(百辆)的函数关系式；
(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
21.(本小题12分)
已知fx=x−2+2x+1，
(1)用分段函数表示fx的解析式，作出其图象；并指出函数fx的定义域与值域，单调区间；

(2)解不等式fx≥6；
(3)讨论直线y=a与fx图象的交点个数，并写出实数a的取值范围(不需要证明)．
22.(本小题12分)
已知函数fx=lnex+1−ax是偶函数．
(1)求a的值；
(2)设gx=fx+32x，hx=x2−2x+m，若∀x1∈0,+∞，存在∃x2∈R，使得gx1≥hx2，求m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】首先解不等式求出集合A，再由补集的概念求解答案即可．
解：∵集合A=x|1−1x<0=x|0∴ ∁UA=x|x≤0或x≥1，
故选：B．
2.【答案】C
【解析】【分析】利用众数，中位数，标准差，平均数定义及含义分析求解．
解：众数、中位数是反映数据的集中趋势的量；平均数是反映数据的平均水平及集中趋势的量；极差是最大值与最小值之差，能在一定程度上刻画数据的离散程度，但可能会忽略一些重要的信息，因此能更好地反映一组数据离散程度的是标准差．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】利用零点的存在性定理进行分析判断即可．
解：fx=lnx+x−4在0,+∞上为单调递增函数，
又f2=ln2−2<0,f3=ln3−1>0，故f2⋅f3<0，
所以fx的零点一定在2,3内.
故选：B．
4.【答案】C
【解析】【分析】由二次函数的性质结合充要条件的概念求解即可．
解：fx=x2+2ax的对称轴为x=−2a2×1=−a，且图象开口向上，
则要使其在区间2,+∞上是增函数，需−a≤2，解得a≥−2．
当a≥−2时，−a≤2，即对称轴x=−a在区间2,+∞左侧，图象开口向上，
fx=x2+2ax在区间2,+∞上是增函数．
故选：C．
5.【答案】D
【解析】【分析】根据数轴点的位置以及不等式相关性质直接求解．
解：对于A，由数轴可得−1所以12<−a<1，0<−b<12，则0对于B，由12<−a<1，0<−b<12，12对于C，因为−12又−1a，故选项 C错误；
对于D，因为−1所以02b，故选项 D正确．
故选：D
6.【答案】A
【解析】【分析】首先由题意有f(2)=−1，若fx是R上的减函数，故只需当x>2时，fx=ax2+2x−1单调递减，从而列出不等式组，解不等式组即可．
解：当x≤2时，f(x)=12x−54单调递减，a∈R，且fx最小值为f(2)=−1，
当x>2时，当a=0时，fx=2x−1单调递增，不符题意，
又注意到fx是R上的减函数，
故只能抛物线fx=ax2+2x−1的开口向下即a<0，其对称轴为x=−1a，
则由题意有a<0−1a≤2a×22+2×2−1≤−1，解得a≤−1．
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】根据“分段法”求得正确答案．
解：由题意知，0<0.23<0.20=1，即01=30<30.2<30.5= 3<2，即1+lg0.30.2，又1=lg0.30.32，
∴a故选：C
8.【答案】D
【解析】【分析】根据题意，构造函数gx=fxxx≠0，由题可知gx在0,+∞上单调递增，结合fx是定义在R上的奇函数可知，gx是定义域上的偶函数，得到gx在−∞,0上单调递减，再求出不等式的解集．
解：因为0设函数gx=fxxx≠0，
则函数gx=fxx在0,+∞上单调递增，且g3=f33=1．
当x>0时，不等式fx−x>0等价于fx>x，
即gx=fxx>1，即gx>g3，解得x>3．
当x=0时，f0−0=0，不满足fx−x>0．
因为fx是定义在R上的奇函数，
所以gx=fxx为偶函数且在−∞,0单调递减，则g−3=g3=1，
当x<0时，不等式fx−x>0等价于fx>x，
即gx=fxx<1，即gx综上，不等式fx−x>0的解集为−3,0∪3,+∞．
故选：D．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】根据频率和为1计算A正确，确定70%分位数位于25,30内，计算得到 B正确，根据众数定义计算得到C正确，计算平均数得到D错误，得到答案．
解：对选项A：0.01×3+0.02+0.04+a+0.06×5=1，解得a=0.05，正确；
对选项B：长度在25以下的比例为0.01+0.01+0.04+0.06×5=0.6，
长度在30以下的比例为0.01+0.01+0.04+0.06+0.05×5=0.85，
故70%分位数位于25,30内，设为x，则x−255×0.05×5+0.6=0.7，解得x=27，
正确；
对选项C：产品长度的样本数据的众数是20+252=22.5mm，正确；
对选项D：平均数为7.5×0.01×5+12.5×0.01×5+⋯+37.5×0.01×5=23.25，错误．
故选：ABC．
10.【答案】AB
【解析】【分析】A选项消元法解方程组；B选项根据对数函数的单调性解不等式；C选项中可令x−1=0得定点坐标；D选项通过判断两函数定义域和对应法则是否相同判断函数相等．
解：对于A选项，由x2−x−2=x−2x+1=0，可得x=2或x=−1，
当x=2时，x+y=2+y=0，即y=−2；当x=−1时，x+y=−1+y=0，即y=1，
所以原方程组的解集为2,−2,−1,1， A正确；
对于B选项，由lg2x−1<1，得0对于C选项，当x−1=0时，即x=1，f1=b0+3=4，
故fx的图象恒过点1,4，C选项错误；
对于D选项，y=x2与函数y=xx定义域相同但对应法则不同，故不是相同函数．
故D选项错误．
故选：AB．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
根据题意，由基本不等式和不等式的性质依次分析选项，综合可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及不等式的基本性质，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，若x，y>0，且x+2y=1，则x=1−2y，则有xy=y(1−2y)=2y(1−2y)2⩽122y+(1−2y)22=18，当且仅当x=2y=12时等号成立，A正确；
对于B， x+ 2y2=1+2 2xy，由A可得xy⩽18，故1+2 2xy⩽2，所以 x+ 2y⩽ 2，故B正确；
对于C，1x+2y=(1x+2y)(x+2y)=5+2yx+2xy≥5+4 yx×xy=9，当且仅当x=y=13时等号成立，C错误；
对于D，x+2y=1，则有(x+2y)2=1，变形可得x2+4y2+4xy=1，又由x2+4y2≥4xy，则有x2+4y2≥12，D正确；
故选：ABD．
12.【答案】AC
【解析】【分析】由f1−x=−fx+1首先得出函数fx的图象关于点1,0中心对称，由此即可判断AB，结合函数fx在区间1,+∞上单调递增，且x1+x2>0，以及f1−x=−fx+1即可判断CD．
解：由题意fx定义域为R，且满足f1−x=−fx+1，所以函数fx关于点1,0中心对称， A正确，B错误．
又fx在1,+∞上递增，故fx在R上递增．
由f1−x=−fx+1⇒f1−x1=−fx1+1，
因为x1+x2>0⇒x1>−x2⇒1+x1>1−x2，所以f1+x1>f1−x2，
则f1+x1=−f1−x1>f1−x2，所以f1−x1+f1−x2<0， C正确，D错误
故选：AC．
13.【答案】10
【解析】【分析】由对数的运算性质求解即可．
解：lg25⋅lg54−lnlne+21+lg24=lg25×lg24lg25−ln1+2lg22+lg24=2−0+8=10．
故答案为：10．
14.【答案】2,+∞
【解析】【分析】首先解不等式组，再结合解集为xx>a可确定a的取值范围．
解：由x−2≥0x−a>0得x≥2x>a，因为不等式组的解集为xx>a，所以a≥2，
即a的取值范围是2,+∞．
故答案为：2,+∞．
15.【答案】−1
【解析】【分析】由幂函数的定义求出m的值，再结合幂函数的单调性验证即可．
解：因为y=m2−m−1xm2−2m是幂函数，所以m2−m−1=1，解得m=−1或2，
当m=−1时，y=x3在0,+∞上单调递增，满足题意；
当m=2时，y=x0=1，不满足题意．
故答案为：−1．
16.【答案】2x+1(答案不唯一)
【解析】【分析】
结合指数函数的性质分析可得答案．
本题主要考查函数的单调性，指数函数的性质，属于基础题．
【解答】
解：根据题意，分析可得f(x)为指数型函数，且底数a>1，
故要求函数可以为f(x)=2x+1，
故答案为：2x+1(答案不唯一)．
17.【答案】解：(1)当a=2时，fx=x2+2x−3，fx>0，
即x2+2x−3>0即x−1x+3>0，解得x<−3或x>1，
所以fx>0的解集是x|x<−3或x>1．
(2)fx的对称轴为x=−a2，图象开口向上，
①当−a2≤1，即a≥−2时，
fxmin=f1=a−2=1，即a=3，符合题意；
②当−a2≥3，即a≤−6时，
fxmin=f3=3a+6=1，即a=−53，不符合题意；
③当1<−a2<3，即−6fxmin=f−a2=−a24−3=1，无解，不符合题意．
综上，可得a=3．

【解析】【分析】(1)根据一元二次不等式的解法求得正确答案．
(2)根据fx的对称轴进行分类讨论，根据fx的最值求得a．
18.【答案】解：(1)因为f(x)=x2+ax，
所以f(1)=1+a=5，
所以a=4；
(2)f(x)=x2+4x=x+4x在(0,2)上单调递减，证明如下：
设0则f(x1)−f(x2)
=x1+4x1−x2−4x2
=x1−x2+4(x2−x1)x1x2
=(x1−x2)(1−4x1x2)，
又x1−x2<0，1−4x1x2<0，
所以f(x1)−f(x2)>0
所以f(x1)>f(x2)，
所以f(x)在区间(0,2)上单调递减．
【解析】本题主要考查了求解函数解析式，还考查了函数单调性定义在单调性判断中的应用，属于基础题．
(1)由f(1)=5直接代入即可求解a；
(2)先设019.【答案】解：(1)因为一元二次方程2mx2−2mx+m−1=0m≠1，
所以Δ=4m2−8mm−1>0，解得0由韦达定理可得a+b=1，ab=m−12m，1a+1b=a+bab=1m−12m=2mm−1．
所以，1a+1b的值为2mm−1m≠1．
(2)由韦达定理可知2a−ba−2b=2a2+b2−5ab=2a+b2−9ab=2−9m−12m．
令2−9m−12m=−3，整理得m+9=0，解得m=−9．
由(1)可知m∈0,1∪1,2，所以不存在实数m，使2a−ba−2b=−3成立．
(3)ba+ab=a2+b2ab=a+b2ab−2=2mm−1−2=2m−1，
记fx=2x−1，fx在−∞,1和1,+∞上单调递减．
由(1)知m∈0,1∪1,2.所以ba+ab∈−∞,−2∪2,+∞．

【解析】【分析】(1)利用判别式求得m的范围，然后根据根与系数关系求得正确答案．
(2)根据根与系数关系化简已知等式，根据m的范围确定正确答案．
(3)用m表示ba+ab，然后根据函数的单调性求得ba+ab的取值范围．
20.【答案】解：(1)∵C(x)={0x2+100x,0∴当0当x≥40时，Px=500x−501x−10000x+4500−2500=2000−x+10000x．
故P(x)={10x2+400x−2500,0(2)由(1)得P(x)={10x2+400x−2500,0当0∴Pxmax=P20=1500；
当x≥40时，Px=2000−x+10000x≤2000−2 x+10000x=2000−200=1800，
当且仅当x=10000x，即x=100时等号成立，故Pxmax=P100=1800．
∵1800>1500，故当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元．

【解析】【分析】(1)根据给定的函数表达式结合利润的求法即可得到函数关系；
(2)分021.【答案】解：(1)当x≤−1时，fx=2−x−2x+1=−3x，
当−1当x≥2时，fx=x−2+2x+2=3x，
所以，fx=−3x,x≤−1x+4,−1作出函数fx的图象，如下图所示：

函数fx的定义域为R，值域为3,+∞．
函数fx的单调递增区间为：−1,+∞；
函数fx的单调递减区间为：−∞,−1
(2)当x≤−1时，由fx=−3x≥6可得x≤−2，此时，x≤−2，
当−1当x≥2时，由fx=3x≥6可得x≥2，此时，x≥2．
综上所述，不等式fx≥6的解集为−∞,−2∪2,+∞．
(3)由(1)中的图可知，当a>3时，直线y=a与fx图象有2个交点；
当a=3时，直线y=a与fx图象只有1个交点；
当a<3时，直线y=a与fx图象有0个交点．
综上所述，当a>3时，直线y=a与fx图象有2个交点；
当a=3时，直线y=a与fx图象只有1个交点；
当a<3时，直线y=a与fx图象有0个交点

【解析】【分析】(1)采用分段讨论法可求fx解析式，由解析式画出图形，结合图形写出fx的定义域与值域，单调区间；
(2)采用分段讨论法，解分段函数对应不等式即可；
(3)结合图形可判断，需讨论a>3,a=3,a<3三种情况下y=a与fx图象的交点个数．
22.【答案】解：(1)fx的定义域为R，
∵fx=lnex+1−ax是偶函数，所以f−x=fx，
即lne−x+1+ax=lnex+1−ax，
∴lnex+1−lne−x+1−2ax=0，
∴lnex+1−ln1+exex−2ax=0，
∴lnex+11+exex−2ax=0，
∴lnex−2ax=0，
∴x−2ax=0，即1−2ax=0，
∵对∀x∈R，上式都成立，
∴1−2a=0，即a=12；
(2)gx=fx+32x=lnex+1+x，
∵∀x1∈0,+∞，存在∃x2∈R，使得gx1≥hx2，
∴gx在0,+∞上的最小值不小于hx在R上的最小值，
∵gx=lnex+1+x在0,+∞上单调递增，
∴gxmin=g0=ln2，
∵hx=x2−2x+m=x−12+m−1，
∴hx在−∞,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
∴hxmin=h1=m−1，
∴ln2≥m−1，解得m≤1+ln2，
∴m的取值范围为−∞,1+ln2．

【解析】【分析】(1)由fx为偶函数可得f−x=fx，代入即可求解；
(2)若∀x1∈0,+∞，存在∃x2∈R，使得gx1≥hx2，即gx1min≥hx2min，转化为函数的最值问题即可求解．

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