2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省朝阳市建平实验中学高二（下）第一次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数列−1，43，−95，167，…的一个通项公式是( )
A. an=(−1)n⋅n22n−1B. an=(−1)n⋅n(n+1)2n−1
C. an=(−1)n⋅n22n+1D. an=(−1)n⋅n(n+1)2n+1
2.从甲、乙、丙、丁、戊5个人中选1名组长1名副组长，但甲不能当副组长，不同的选法种数是( )
A. 6B. 10C. 16D. 20
3.等差数列{an}中，a1<0，公差d>0，Sn为其前n项和，对任意自然数n，若点(n,Sn)在以下4条曲线中的某一条上则这条曲线应是( )
A. B. C. D.
4.已知数列的通项公式an=n− 97n− 98(n∈N*)，则数列{an}的前30项中最大值和最小值分别是( )
A. a10，a9B. a10，a30C. a1，a30D. a1，a9
5.已知两变量x和y的一组观测值如表所示：如果两变量线性相关，且线性回归方程为y =b x+72，则b =( )
A. −110B. −12C. 110D. 12
6.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )
A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项
7.若等差数列an与等差数列bn的前n项和分别为Sn和Tn，且SnTn=2n+53n−1，则a8b8=( )
A. 2123B. 1311C. 3544D. 3747
8.英国数学家贝叶斯(1701−1763)在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B，A−(A的对立事件)存在如下关系：P(B)=P(B|A)⋅P(A)+P(B|A−)⋅P(A−).若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为( )
A. 0.0688B. 0.0198C. 0.049D. 0.05
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若实数数列：3，2m，m2成等差数列，则圆锥曲线x29+y2m=1的离心率为( )
A. 33B. 2 23C. 66D. 63
10.下列有关说法正确的是( )
A. 设随机变量ξ服从正态分布N(μ,2)，若P(ξ<1)=P(ξ>9)，则μ与D(ξ)的值分别为μ=5，D(ξ)=2
B. 甲、乙、丙、丁4个人到4个国家做学术交流，每人只去一个国家，设事件A为“4个人去的国家各不相同”，事件B为“甲独自去一个国家”，则P(B|A)=1
C. (x−2y)6的展开式中含x2y4项的系数为240
D. 事件A∩B为不可能事件，则事件A与B是对立事件
11.已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是( )
A. 若Sn=2n2−6n+1，则an=4n−4
B. 若an=4n−25，则Sn的最小值为−66
C. 若an=4n−3，则数列{(−1)nan}的前17项和为−33
D. 若数列{an}为等差数列，且a1011+a1012<0，a1000+a1024>0，则当Sn<0时，n的最大值为2023
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.为了比较甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关系数，求得数值依次为−0.98，−0.27，0.36，0.93，则这四组数据中线性相关性最强的是______组数据．
13.已知列联表如下：
若K2=m+354(m>0)，则m=______.(附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d)
14.在等差数列{an}中，已知公差d>0，a3+a5=−4，a1a6=−12，则数列{|an|}的前n项和Sn= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n；
(1)设bn=an2n−1.证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，已知角A，B，C成等差数列．
(1)求csB2值；
(2)若a，b，c成等比数列，求sinAsinC值.
17.(本小题15分)
某农科所培育一种新型水稻品种，首批培育幼苗2000株，株长均介于185mm～235mm，从中随机抽取100株对株长进行统计分析，得到如下频率分布直方图．
(Ⅰ)求样本平均株长x和样本方差s2
(同一组数据用该区间的中点值代替)；
(Ⅱ)假设幼苗的株长X服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2，试估计2000株幼苗的株长位于区间(201,219)的株数；
(Ⅲ)在第(Ⅱ)问的条件下，选取株长在区间(201,219)内的幼苗进入育种试验阶段，若每株幼苗开花的概率为34，开花后结穗的概率为23.设最终结穗的幼苗株数为ξ，求ξ的数学期望．
附： 83≈9；若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，
AB=1，AD=2，AC=CD= 5．
(1)求证：PD⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM/​/平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．
19.(本小题17分)
已知B(−2,0)，C(2,0)为△ABC的两个顶点，P为△ABC的重心，边AC，AB上的两条中线长度之和为3 6．
(1)求点P的轨迹Γ的方程；
(2)过C作不平行于坐标轴的直线交Γ于D，E两点，若DM⊥x轴于点M，EN⊥x轴于点N，直线DN与EM交于点Q．
①求证：点Q在一条定直线上，并求此定直线；
②求△DEQ面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了通过观察分析猜想归纳即可得出数列的通项公式，属于基础题．
利用由数列−1，43，−95，167，….可知：奇数项的符号为“−”，偶数项的符号为“+”，其分母为奇数2n−1，分子为n2.即可得出．
【解答】
解：由数列−1，43，−95，167，…
可知：奇数项的符号为“−”，偶数项的符号为“+”，
其分母为奇数2n−1，分子为n2．
∴此数列的一个通项公式为an=(−1)n⋅n22n−1．
故选：A．
2.【答案】C
【解析】解：由题意知本题是一个分类计数问题
首先不考虑限制条件有A52，
若甲偏要当副组长有A41，
用所有的结果减去不合题意的得到A52−A41=16为所求．
故选C．
本题是一个分类计数问题首先不考虑限制条件从5个人中选两个安排两个组长有A52，若甲当副组长只有从4个人中选一个做组长，共有A41，用所有的结果减去不合题意的得到结果．
本题考查分类计数原理，考查有限制条件的元素的排列，是一个基础题，解题时使用所有的排列减去不合题意的排列，本题也可以从正面来考虑．
3.【答案】A
【解析】解：由等差数列前n项和公式得，Sn=d2n2+(a1−d2)n，
因为a1<0，d>0，所以函数Sn的图象开口向上，排除C，D．
令Sn=0，得n=d−2a1d>0，排除B．
故选：A．
由已知结合等差数列的求和公式及数列的函数特性检验各选项即可判断．
本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：an=n− 97n− 98=1+ 98− 97n− 98
当n≥10时，an=n− 97n− 98=1+ 98− 97n− 98>1，n− 98为正值且随n减小而减小，则an越大；
数列{an}的前30项中最大值是a10，
当n≤9时，an=n− 97n− 98=1+ 98− 97n− 98<1，n− 98为负值且随n减小而减小，则an越大；
数列{an}的前30项中最小值是a9，
∴数列{an}的前30项中最大值和最小值分别是a10，a9；
故选：A．
将数列的通项看成关于n的函数，将通项分离常数，利用反比例函数的单调性判断出数列的单调性，根据数列自变量的特殊性，求出数列的最大值及最小值．
解决数列问题时，常将数列看成关于项数n的函数，处理函数的方法在数列中都能使用．注意数列是特殊的函数：自变量是正整数．
5.【答案】D
【解析】解：x−=13(2+3+4)=3，y−=13(5+4+6)=5，
因为回归直线经过样本中心，所以5=3b +72，
解得b =12，
故选：D．
求出样本中心坐标，代入回归直线方程，求解即可．
本题考查回归直线方程的求法与应用，是基础题．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了等差数列中的求和公式以及性质的应用，属于中档题．
设该等差数列为{an}，根据题意求出a1+an的值，再把这个值代入求和公式，进而求出数列的项数n．
【解答】
解：设该等差数列为{an}，
依题意a1+a2+a3=34，an+an−1+an−2=146，
∴a1+a2+a3+an+an−1+an−2=180，
又∵a1+an=a2+an−1=a3+an−2，
∴a1+an=1803=60，
∴前n项和Sn=(a1+an) n2=60n2=390，
∴n=13，则这个数列有13项，
故选：A．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等差数列的运算，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
推导出a8b8=2a82b8=a1+a15b1+b15=S15T15，由此能求出结果．
【解答】
解：等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且SnTn=2n+53n−1，
∴a8b8=2a82b8=a1+a15b1+b15=152(a1+a15)152(b1+b15)=S15T15=2×15+53×15−1=3544．
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查条件概率的应用，解题的关键是掌握条件概率的概率公式，考查运算能力，属于基础题．
利用条件概率的概率公式求解即可．
【解答】
解：设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件A−，
则P(B|A)=0.99，P(A)=0.02，P(B|A−)=0.05，P(A−)=0.98，
故所求概率P(B)=0.99×0.02+0.05×0.98=0.0688．
故选：A．
9.【答案】BD
【解析】解：∵实数数列：3，2m，m2成等差数列，故4m=m2+3，解得m=1或3，
当m=1时，x29+y2m=1即为x29+y2=1，是椭圆，则x29+y2=1的离心率为e=2 23；
当m=3时，x29+y2m=1即为x29+y23=1，是椭圆，则x29+y23=1的离心率为e= 63．
故选：BD．
根据等差中项性质可得m=1或3，再分别代入椭圆判断即可．
本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，等比数列的性质的应用，是基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：设随机变量ξ服从正态分布N(μ,2)，
若P(ξ<1)=P(ξ>9)，则曲线关于x=5对称，则μ与D(ξ)的值分别为μ=5，D(ξ)=2，故A正确；
设事件A为“4个人去的国家不相同”，事件B为“甲独自去一个国家”，
则P(A)=4!44,P(B)=4⋅3344=2764,P(AB)=4×3!44=332，则P(B|A)=P(AB)P(A)=1，故B正确；
由二项式定理得(x−2y)6的展开式中含x2y4项的系数为C64(−2)4=240，故C正确．
事件A∩B为不可能事件，事件A、B可能为对立事件，也可能为互斥不对立事件，故D错误．
故选：ABC．
利用正态分布的性质可判定A，根据条件概率可判定B，利用二项式定理可判定C，利用对立事件、不可能事件的定义可判定D．
本题考查命题真假的判断，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：选项A，在Sn=2n2−6n+1中，令n=1，得a1=S1=−3，
由an=4n−4，知a1=0≠−3，即A错误；
选项B，令an=4n−25<0，则n≤6，所以a6<0，a7>0，
所以当n=6时，Sn取得最小值，为S6=6(a1+a6)2=3(−21−1)=−66，即B正确；
选项C，设数列{(−1)nan}的前n项和为Tn，
则T17=−a1+a2−a3+a4+⋯+a16−a17=(−1+5)+(−9+13)+⋯+(−57+61)−65=4×8−65=−33，即C正确；
选项D，因为数列{an}为等差数列，且a1011+a1012<0，a1000+a1024>0，
所以a1+a2022=a1011+a1012<0，a1+a2023=a1000+a1024>0，
所以S2022=2022(a1+a2022)2<0,S2023=2023(a1+a2023)2>0，
所以当Sn<0时，n的最大值为2022，即D错误．
故选：BC．
选项A，令两个式子中的n=1，求得对应a1的值后，即可排除；
选项B，由an=4n−25，可得a6<0，a7>0，再求得S6的值，即可；
选项C，所求的和为−a1+a2−a3+a4+⋯+a16−a17，再观察规律，根据分组求和法，得解；
选项D，结合等差中项与等差数列的前n项和公式，推出S2022<0，S2023>0，得解．
本题考查数列的综合问题，熟练掌握等差中项的性质及其推广，分组求和法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】甲
【解析】解：相关系数r的绝对值|r|越接近于1，则数据的线性相关性越强，
∵|−0.98|>|0.93|>|0.36|>|−0.27|，
∴这四组数据中线性相关性最强的是甲组数据．
故答案为：甲．
根据相关系数r的绝对值|r|越接近于1，数据的线性相关性越强判断即可．
本题主要考查了相关系数的性质，属于基础题．
13.【答案】5
【解析】解：∵K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=(35+m)(15×15−5m)220×(15+m)×(15+m)×20=m+354，解得m=5．
故答案为：5．
根据已知条件，结合独立性检验的公式，即可求解．
本题主要考查独立性检验的公式，属于基础题．
14.【答案】−n2+9n,n≤5n2−9n+40,n>5
【解析】解：因为等差数列{an}中，公差d>0，a3+a5=−4，a1a6=−12
所以2a1+6d=−4(a1+d)(a1+5d)=−12，
所以a1=−8d=2或a1=4d=−2(舍)，
所以an=2n−10，
所以n<5时，an<0；n≥5时，an≥0，
设数列{an}的前n项和为Tn=n(−8+2n−10)2=n2−9n，
所以①n<5时，Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=−(a1+a2+…+an)=−Tn=9n−n2，
②n≥5时，Sn=|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|+…+|an|
=−((a1+a2+a3+a4+a5)+(a6+…+an)
=−T5+Tn−T5=Tn−2T5=n2−9n+40，
所以Sn=−n2+9n,n≤5n2−9n+40,n>5．
故答案为：−n2+9n,n≤5n2−9n+40,n>5．
由已知结合等差数列的通项公式先求出首项及公差，然后结合项的正负特点对n进行分类讨论，结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)证明：∵an+1=2an+2n，
∴an+12n=an2n−1+1．
∵bn=an2n−1，
∴bn+1−bn=1，
∴数列{bn}是以b1=a120=1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)可知：bn=1+(n−1)×1=n．
∴n=an2n−1，
∴an=n⋅2n−1．
【解析】本题考查了可化为等差数列的数列的通项公式的求法、等差数列的通项公式等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
(1)由于an+1=2an+2n，可得an+12n=an2n−1+1.由于bn=an2n−1，于是得到bn+1−bn=1，因此数列{bn}是等差数列．
(2)由(1)利用等差数列的通项公式可得：bn，进而得到an．
16.【答案】解：(1)因角A，B，C成等差数列，则A+C=2B，又A+B+C=π=3B，
故B=π3，则csB2=csπ6= 32；
(2)由a，b，c三边成等比数列可得：ac=b2，
由余弦定理csB=a2+c2−b22ac，化简得：12=a2+c2−ac2ac，
即得：(a−c)2=0，故有：a=c，再由正弦定理可得sinAsinC=ac=1．
【解析】(1)根据角A，B，C成等差数列和三角形内角和易求得角B，再借助于三角降幂公式即得；(2)利用a，b，c三边成等比数列得到ac=b2，代入余弦定理推得a=c，最后由正弦定理即得．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)由频率分布直方图可得，x=190×0.02+200×0.315+210×0.35+220×0.275+230×0.04=210．
s2=202×0.02+102×0.315+102×0.275+202×0.04=83；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，μ=x=210,σ= 83≈9，
∴P(201则2000×0.683=1366，
∴2000株幼苗的株长位于区间(201,219)的株数大约是1366；
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，进入育种试验阶段的幼苗数1366，
每株幼苗最终结穗的概率P=34×23=12，
则ξ～B(1366,12)，
∴Eξ=1366×12=683．
【解析】本题考查了频率分布直方图，服从正态分布随机变量的期望，属于中档题．
(Ⅰ)使用加权平均数公式求x，再由方差公式求方差；
(Ⅱ)求出μ及σ的值，得到P(201(Ⅲ)求出每株幼苗最终结穗的概率，再由正态分布的期望公式求期望．
18.【答案】(1)证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，
∵PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD，
又PD⊥PA，且PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，
∴PD⊥平面PAB；
(2)解：取AD中点为O，连接CO，PO，
∵CD=AC= 5，
∴CO⊥AD，
又∵PA=PD，
∴PO⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
且PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则P(0,0,1)，B(1,1,0)，D(0,−1,0)，C(2,0,0)，
则PB=(1,1,−1),PD=(0,−1,−1)，PC=(2,0,−1)，
设n=(x0,y0,z0)为平面PCD的法向量，
则由n⋅PD=0n⋅PC=0，得−y0−z0=02x0−z0=0，令z0=1，则n=(12,−1,1)．
设PB与平面PCD的夹角为θ，则
sinθ=|cs|=|n⋅PB|n||PB||=|12−1−1 14+1+1× 3|= 33；
(3)解：假设存在M点使得BM/​/平面PCD，设AMAP=λ∈(0,1)，M(0,y1,z1)，
由(2)知，A(0,1,0)，P(0,0,1)，AP=(0,−1,1)，B(1,1,0)，AM=(0,y1−1,z1)，
则有AM=λAP，可得M(0,1−λ,λ)，
∴BM=(−1,−λ,λ)，
∵BM/​/平面PCD，n=(12,−1,1)为平面PCD的法向量，
∴BM⋅n=0，即−12+λ+λ=0，解得λ=14．
综上，存在点M，即当AMAP=14时，M点即为所求．
【解析】本题考查线面垂直的判定，考查了直线与平面所成的角，建系利用空间向量求解降低了问题的难度，属拔高题．
(1)由已知结合面面垂直的性质可得AB⊥平面PAD，进一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由线面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；
(2)取AD中点为O，连接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD.以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面PCD的法向量n，即可求得直线PB与平面PCD所成角的正弦值；
(3)假设存在M点使得BM/​/平面PCD，设AMAP=λ，M(0,y1,z1)，由AM=λAP可得M(0,1−λ,λ)，BM=(−1,−λ,λ)，由BM/​/平面PCD，可得BM⋅n=0，由此列式求得当AMAP=14时，M点即为所求．
19.【答案】(1)解：因为P为△ABC的重心，且边AC，AB上的两条中线长度之和为6，
所以|PB|+|PC|=23×3 6=2 6>|BC|，
故由椭圆的定义可知P的轨迹Γ是以B(−2,0)，C(2,0)为焦点的椭圆(不包括长轴的端点)，
且a= 6,c=2，所以b= 2，
所以P的轨迹Γ的方程为x26+y22=1(x≠± 6)．
(2)证明：①依题意，设直线DE方程为x=my+2(m≠0)．
联立x=my+2x26+y22=1，得(m2+3)y2+4my−2=0，
易知Δ=16m2+8(m2+3)=24(m2+1)>0
设D(x1,y1)，E(x2,y2)，则y1+y2=−4mm2+3，y1⋅y2=−2m2+3．
因为DM⊥x轴，EN⊥x轴，
所以M(x1,0)，N(x2,0)．
所以直线DN：y=y1x1−x2(x−x2)，
直线EM：y=y2x2−x1(x−x1)，
联立解得xQ=x1y2+x2y1y1+y2=(my1+2)y2+(my2+2)y1y1+y2=2+2my1y2y1+y2=3．
从而点Q在定直线x=3上．
②解：因为S△DEQ=12|EN|⋅|xQ−x1|=12|y2|⋅|3−x1|=12|y2(3−x1)|
=12|3y2−(my1+2)y2|=12|y2−my1y2|，
又my1y2y1+y2=12，则S△DEQ=12|y1−y1+y22|=14|y1−y2|=14 (y1−y2)2= 62 m2+1m2+3，
设 m2+1=t>1，则S△DEQ= 62⋅tt2+2= 62⋅1t+2t≤ 34，
当且仅当t=2t，即m=±1时，等号成立，
故△DEQ面积的最大值为 34．
【解析】(1)根据椭圆的定义求解即可；
(2)①求出直线DN与EM方程，得到Q点坐标，即可判定；②将面积表示出来，然后换元，利用基本不等式求最值．
本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的综合问题，属于难题．x
2
3
4
y
5
4
6
温度低于30℃
温度高于30℃
总计
高产量
15
m
15+m
低产量
5
15
20
总计
20
15+m
35+m