2023-2024学年辽宁省辽东南协作校高一上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省辽东南协作校高一上学期12月月考数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A=−2,−1,1，B=−1,0,1，则A∪B=( )
A. −1,1B. −1,0,1C. −2,0,1D. −2,−1,0,1
2.已知fx=−3x+2，则f2x+1等于
( )
A. −3x+2B. −6x−1C. 2x+1D. −6x+5
3.“x>1”是“x2>1”的
( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4.不等式x+1x+3<0的解集是
( )
A. RB. ⌀
C. {x∣−3−1}
5.函数fx=1 x−1+ 2−x的定义域为
( )
A. 1,2B. 1,2C. 1,2D. 1,2
6.在下列区间中，函数fx=2x−x−3的零点所在的区间为
( )
A. 0,1B. 1,2C. 2,3D. 3,4
7.已知一元二次方程2x2+3x−4=0的两根为x1与x2，则(x1−x2)2=( )
A. 412B. 414C. 254D. 54
8.设函数f(x)=x2+2(4−a)x+2在区间(−∞,3]上是减函数，则实数a的取值范围是
( )
A. a≥−7B. a≥7C. a≥3D. a≤−7
二、多选题：本题共4小题，共20分。
9.已知函数f(x)=xa的图象经过点(13,3)则
( )
A. f(x)的图象经过点(3,9)B. f(x)的图象关于y轴对称
C. f(x)在(0,+∞)上单调递减D. f(x)在(0,+∞)内的值域为(0,+∞)
10.若a，b，c∈R，则下列命题正确的是
( )
A. 若b>a>0，则1a>1b
B. 若a>b，则ac>bc
C. 若ac2>bc2，则a>b
D. 命题“∃x∈−3,+∞，x2≤9”的否定是“∀x∈−3,+∞，x2>9”
11.已知函数，关于函数fx=x+2,x≤1−x2+3,x>1,f(x)的结论正确的是
( )
A. f(x)的最大值为3B. f(0)=2
C. 若f(x)=−1，则x=2D. f(x)在定义域上是减函数
12.函数f(x)是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是
( )
A. f(0)=0
B. 若f(x)在[0,+∞)上有最小值−1，则f(x)在(−∞,0]上有最大值1
C. 若f(x)在[1,+∞)上为增函数，则f(x)在(−∞,−1]上为减函数
D. 若x>0时，f(x)=x2−2x，则x<0时，f(x)=−x2−2x
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数y=2x+1的值域为________．
14.函数y=2x+1xx>0的最小值为 ，此时x= ．
15.设fx是定义在−5,5上的偶函数，当x∈0,5时，fx的图象如图所示，则不等式fx<0的解集为______．
16.已知a=30.1，b=120.2，c=lg50.3，则a，b，c的大小关系为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17.求值：
(1)0.00113−(π−3)0+1634−(33)6
(2)4lg 10−eln3+lg23×lg316
18.已知指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)，过点(2,4)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若f(2m−1)−f(m+3)<0，求实数m的取值范围．
19.已知f(x)=2x+1x+1．
(Ⅰ)用定义证明f(x)在区间[1,+∞)上是增函数;
(Ⅱ)求该函数在区间[2,4]上的最大值．
20.已知二次函数f(x)图象的对称轴为直线x=−12，且f(0)=−1,f(1)=3．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在(−1,1)上的值域．
21.某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2lg5(A+1)进行奖励，没超出部分仍按销售利润的10%进行奖励．记奖金总额为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元)．
(1)写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数表达式；
(2)如果业务员老张获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
22.已知函数f(x)=lg(1+x)−lg(1−x)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)若f(x)>0，求x的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】由并集的 定义即可求解．
解：因为集合A=−2,−1,1，B=−1,0,1，
所以A∪B=−2,−1,0,1，
故选：D．
2.【答案】B
【解析】【分析】用2x+1替换解析式中的x，即可得答案．
本题考查函数解析式的应用求解，是基础题．
解：在fx=−3x+2中，用2x+1替换x，
可得f2x+1=−32x+1+2=−6x−1
故选：B．
3.【答案】A
【解析】【分析】直接利用充分条件和必要条件的判断方法，判断即可得出答案．
解：因为“x>1”能推出“x2>1”，
而“x2>1”推不出“x>1”，
所以“x>1”是“x2>1”的充分不必要条件．
故选：A．
4.【答案】C
【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；
解：由x+1x+3<0，解得−3故选：C
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查具体函数的定义域，属于基础题．
根据二次根式的性质以及分数分母不为0求出函数的定义域即可．
【解答】
解：由题意得：x−1>02−x≥0 ，解得1即fx的定义域为1,2．
故选：C．
6.【答案】C
【解析】【分析】根据零点存在定理，分别求各选项的端点函数值，找出函数值异号的选项即可
解：由题意，因为f2=22−2−3=−1<0，f3=23−3−3=2>0，
由零点存在定理，故函数fx=2x−x−3的零点所在的区间为2,3
故选：C
7.【答案】B
【解析】【分析】利用根与系数关系求得(x1−x2)2的正确结果．
解：依题意一元二次方程2x2+3x−4=0的两根为x1与x2，
所以x1+x2=−32,x1⋅x2=−2，
所以(x1−x2)2=x1+x22−4x1x2=−322−4×−2=94+8=414．
故选：B
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的性质的应用，考查函数单调性，属于基础题．
由题意，二次函数图象为开口向上的抛物线，可得a−4≥3即可求解．
【解答】
解：函数f(x)的对称轴为x=a−4，开口向上，
又∵函数在−∞,3上为减函数，
∴a−4≥3，即a≥7．
故选B．
9.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查指数函数的性质，属于基础题．
依题意，求出指数函数的解析式，由性质即可解题．
【解答】
解：函数f(x)=xa的图象经过点(13,3)，
(13)a=3，a=−1，
f(x)=1x，显然AB错误；
CD正确．
10.【答案】ACD
【解析】【分析】根据不等性质分别判断ABC选项，再根据命题的否定可判断D选项．
解：A选项：b>a>0，bab>aab>0，即1a>1b>0，A选项正确；
B选项：a>b，若c>0，则ac>bc，若c=0，则ac=bc=0，若c<0，则acC选项：ac2>bc2，c2>0，所以a>b，C选项正确；
D选项：命题“∃x∈−3,+∞，x2≤9”的否定是“∀x∈−3,+∞，x2>9”，D选项正确；
故选：ACD．
11.【答案】AB
【解析】【分析】根据分段函数的表达式分别进行判断即可．
A：分别求x≤1和x>1时f(x)的范围即可；
B：代入f(x)=x+2计算即可；
C：分类讨论f(x)=−1时x取值即可；
D：分别判断x≤1和x>1时单调性即可．
解：当x≤1时，f(x)=x+2是增函数，则此时f(x)≤f(1)=3，
当x>1，f(x)=−x2+3为减函数，则此时f(x)<−1+3=2，综上f(x)的最大值为3，故A正确；
f(0)=0+2=2，故 B正确；
当x≤1时，由f(x)=−1时，得x+2=−1，此时x=−3≤1，成立，故C错误；
当x≤1时，f(x)=x+2是增函数，故 D错误，
故选：AB．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查奇函数的定义、考查奇函数的图象关于原点对称、考查根据函数的奇偶性求函数的解析式，属于中档题．
先根据奇函数的定义判断出A对；根据奇函数的图象关于原点对称判断出B对C错；通过奇函数的定义求出当x<0的解析式，判断出D对．
【解答】
解：由得，故A正确；
当时，，
则时，，，
则f(x)在(−∞,0]上有最大值1，故B正确；
若在上为增函数，则在上为增函数，故C错误；
若时，，
则时，，
，
故D正确．
故选ABD．
13.【答案】(1,+∞)
【解析】【分析】根据指数函数的性质确定2x的范围，进而确定值域即可．
解：由指数函数的性质知：2x∈(0,+∞)，
∴y=2x+1∈(1,+∞)．
故答案为：(1,+∞)
14.【答案】2 2； 22或12 2
【解析】【分析】应用基本不等式求函数最小值，并确定对应自变量取值即可．
解：由x>0，则y=2x+1x≥2 2x⋅1x=2 2，当且仅当x= 22时等号成立，
所以函数在x= 22时取最小值2 2．
故答案为：2 2， 22
15.【答案】−5,−2∪2,5
【解析】【分析】由函数图象，结合偶函数的对称性求不等式解集即可．
解：由图知：在x∈0,5上fx<0的解集为2,5,
又fx是定义在−5,5上的偶函数，则在x∈[−5,0)上fx<0的解集为−5,−2,
所以不等式fx<0的解集为−5,−2∪2,5．
故答案为：−5,−2∪2,5
16.【答案】a>b>c
【解析】【分析】根据指对数的性质判断各数之间的大小关系．
解：由c=lg50.3<0所以a>b>c．
故答案为：a>b>c
17.【答案】解：(1)原式=110313−1+2434−3136
=110−1+8−9=−1910．
(2)原式=4lg1012−3+lg3lg2⋅lg16lg3
=2−3+lg16lg2
=−1+4lg2lg2=3．

【解析】【分析】(1)利用有理数指数幂的运算性质计算即可；
(2)利用对数的运算性质即可得到结果．
18.【答案】解：(1)将点(2,4)代入f(x)=ax(a>0且a≠1)中 ，得4=a2,a=2 (负值舍去)，
故fx=2x ；
(2)∵a=2>1 ，∴fx 是R上的增函数，
f2m−1−fm+3<0 ，即f2m−12m−1综上，m的取值范围为(−∞,4)．

【解析】本题考查指数函数的解析式和单调性，属于基础题．
(1)将点(2,4)代入函数解析式即可；
(2)根据指数函数的单调性，即可求出m的取值范围．
19.【答案】解：(Ⅰ)任取x1，x2∈[1,+∞)，且x1则f(x1)−f(x2)=2x1+1x1+1−2x2+1x2+1
=x1−x2(x1+1)(x2+1)．
∵1≤x1∴x1−x2<0，，(x1+1)(x2+1)>0，
∵f(x1)−f(x2)<0，
即f(x1)故函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知函数f(x)在区间[2,4]上是增函数，
∴f(x)max=f(4)=2×4+14+1=95．

【解析】本题考查函数的单调性，掌握单调性的定义是解题关键，属于基础题．
(Ⅰ)用函数的单调性定义证明f(x)在[1,+∞)上是增函数．
(Ⅱ)由f(x)在[1,+∞)上是增函数，直接得f(x)在区间[2,4]上的最大值．
20.【答案】解：(1)由题设，令f(x)=a(x+12)2+m且a≠0，
则f(0)=a4+m=−1f(1)=9a4+m=3⇒a=2m=−32，故f(x)=2(x+12)2−32．
(2)由f(x)在(−1,−12)上递减，在(−12,1)上递增，结合二次函数对称性，
在(−1,1)上，最小值f(−12)=−32，且f(x)所以f(x)在(−1,1)上的值域为[−32,3)．

【解析】【分析】(1)设f(x)=a(x+12)2+m且a≠0，结合已知，应用待定系数法求解析式；
(2)由f(x)在(−1,−12)上递减，在(−12,1)上递增，结合二次函数的对称性即可确定(−1,1)上的值域．
21.【答案】(1)∵当销售利润不超过15万元时，按销售利润的10%进行奖励；当销售利润超过15万元时，若超过部分为A万元，则超出部分按2lg5(A+1)进行奖励，
∴0x>15时，y=1.5+2lg5(x−14)，
∴该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型为y=0.1x,015．
(2)∵当x∈(0,15]时，0.1x≤1.5，
又y=5.5>1.5，∴x>15，
∴1.5+2lg5(x−14)=5.5，解得x=39．
所以老张的销售利润是39万元．
【解析】本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查学生的计算能力，属于中档题．
(1)根据奖励方案，可得分段函数；
(2)确定x>15，利用函数解析式，即可得到结论．
22.【答案】解：函数f(x)=lg(1+x)−lg(1−x)．
(1)∵1+x>01−x>0，解得−1∴函数f(x)的 定义域(−1,1)；
(2)∵f(−x)=lg(1−x)−lg(1+x)=−f(x)．
∴f(x)为奇函数；
(3)∵f(x)>0,lg(1+x)>lg(1−x)，
∴−11−x求解得出：0故x的取值范围：(0,1)．

【解析】【分析】(1)由1+x>01−x>0，求得x的范围，可得函数的定义域；
(2)根据函数的定义域关于原点对称，且f(−x)=−f(x)，可得f(x)为奇函数；
(3)由f(x)>0，可得lg(1+x)>lg(1−x)，分别利用函数的定义域和单调性求出不等式的解集．