2023-2024学年吉林省白城市镇赉二中八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省白城市镇赉二中八年级（上）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列运算正确的是( )
A. a⋅a2=a2B. (ab)3=ab3C. (a2)3=a6D. a10÷a2=a5
2.以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是( )
A. 1，1，2B. 1，1，3C. 2，2，1D. 2，2，5
3.在平面直角坐标系中，点P(−2,3)关于x轴的对称点在( )
A. 第四象限B. 第一象限C. 第二象限D. 第三象限
4.如图所示，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD和△ACD全等的条件是( )
A. AB=AC
B. ∠B=∠C
C. ∠BDA=∠CDA
D. BD=CD
5.如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，则∠P的度数为( )
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
6.如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数为( )
A. 24°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.4x4y2÷(−2xy)= ______ ．
8.如果代数式2x2+3x+7的值为8，那么代数式4x2+6x−9的值是______．
9.化简1x−1x−1=______．
10.点M(−2,1)关于x轴对称的点N的坐标是______．
11.一个等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的顶角应该为______．
12.如图，AC=DF，BC=EF，AD=BE，∠BAC=72°，∠F=32°，则∠ABC= ______ ．
13.如图，在△ABC中，BD⊥AD，∠A=15°，AC=BC=6，则BD的长是______．
14.如图，坐标平面上，△ABC≌△FDE，若A点的坐标为(a,1)，BC/​/x轴，B点的坐标为(b,−3)，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.先化简，再求值：(x+y)(x−y)−(4x3y−8xy3)÷2xy，其中x=−1，y=13．
四、解答题：本题共11小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：[(x+y)2−(x−y)2]÷4xy．
17.(本小题5分)
解分式方程：1−x2−x−3=xx−2．
18.(本小题5分)
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，且EC⊥CA于C，AE=BF，AE与BF交于点D，试说明AE和BF的位置关系．
19.(本小题7分)
阅读下面的解题过程：
已知x+x−1=3，求x3+x−3的值．
解：∵(x+x−1)2=x2+x−2+2=9，∴x2+x−2=7，
∴x3+x−3=(x2+x−2)(x+x−1)−(x+x−1)=7×3−3=18．
根据上述解题过程，解答下题：已知x+x−1=3，求x5+x−5的值．
20.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DB平分∠ABC交AC于点D，DE是AB的垂直平分线，交AB于点E．
(1)求∠A的度数．
(2)如果BC=6，AC=8，求△BDC的周长．
21.(本小题7分)
列分式方程解应用题：
某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价加价20%作为销售价，共获利6000元．第二个月商场搞促销活动，将商品的进价加10%作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加了100件，并且商场第二个月比第一个月多获利2000元．问此商品进价是多少元？商场第二个月共销售多少件？
22.(本小题7分)
观察下列算式：
①1×3−22=3−4=−1
②2×4−32=8−9=−1
③3×5−42=15−16=−1
④ ______
…
(1)请你按以上规律写出第4个算式；
(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；
(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
23.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AM平分∠BAC，D为AC的中点，且DM=12AC，E为BC延长线上一点，且CE=12BC．
(1)求ME的长；
(2)求证：△DBE是等腰三角形．
24.(本小题8分)
如图①，②，③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1.在图①，②中已画出线段AB，在图③中已画出点A.按下列要求画图．

(1)在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰非直角三角形；
(2)在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰直角三角形；
(3)在图③中，以点A为一个顶点，另外两个顶点也在格点上，画一个面积最大的等腰三角形．
25.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，等腰三角形ABC的三个顶点A(0,1)，点B在x轴的负半轴上，∠ABO=30°，点C在y轴上．
(1)直接写出点C的坐标为______；
(2)点P关于直线AB的对称点P′在x轴上，AP=1，在图中标出点P的位置并说明理由；
(3)在(2)的条件下，在y轴上找到一点M，使PM+BM的值最小，则这个最小值为______．
26.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△DEF全等，其中A、B、C的对应顶点分别为D、E、F，且AB=BC.若A点的坐标为(−3,1)，B、C两点的纵坐标均为−3，D、E两点在y轴上．
(1)求证：等腰△BCA两腰上的高相等；
(2)求△BCA两腰上高线的长；
(3)求△DEF的高线FP的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、应为a⋅a2=a3，故A选项错误；
B、应为(ab)3=a3b3，故B选项错误；
C、(a2)3=a6，故C选项正确；
D、应为a10÷a2=a8，故D选项错误．
故选：C．
根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法计算后利用排除法求解．
本题主要考查幂的运算性质，熟练掌握性质是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵1+1=2，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；
B、∵1+1<3，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；
C、∵1+2>2，且有两边相等，∴本组数据可以构成等腰三角形；故本选项正确；
D、∵2+2<5，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；
故选：C．
根据三角形的三边关系对以下选项进行一一分析、判断．
此题考查了等腰三角形的判定和三角形的三边关系定理，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边．
3.【答案】D
【解析】解：点P(−2,3)满足点在第二象限的条件．
关于x轴的对称点的横坐标与P点的横坐标相同，是−2；纵坐标互为相反数，是−3，
则P关于x轴的对称点是(−2,−3)，在第三象限．
故选：D．
应先判断出所求的点的横纵坐标，进而判断所在的象限．
本题主要考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号，以及关于x轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数．
4.【答案】D
【解析】解：A、添加AB=AC可利用SAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
B、添加∠B=∠C可利用AAS定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
C、添加∠BDA=∠CDA可利用ASA定理判定△ABD≌△ACD，故此选项不合题意；
D、添加BD=CD不能判定△ABD≌△ACD，故此选项符合题意；
故选：D．
根据全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL分别进行分析即可．
本题考查三角形全等的判定；熟记三角形全等的判定方法是关键．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题综合考查角平分线的定义、三角形内角和等知识点．本题利用角平分线的定义计算，找到∠ACD与∠ABD的差是解题关键．延长DC与AB交于点E，由三角形内角和和邻补角性质得出∠ACD=∠A+∠AEC=50°+∠AEC，∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°，进而得出∠ACD−∠ABD=60°，再由三角形内角和得出∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD，即可运用整体代入法求出∠P的度数．
【解答】
解：延长DC与AB交于点E．
∵∠ACD=180°−[180°−(∠A+∠AEC)]，
∴∠ACD=∠A+∠AEC=50°+∠AEC．
∵∠AEC=180°−[180°−(∠ABD+∠D)]，
∴∠AEC=∠ABD+∠D=∠ABD+10°，
∴∠ACD=50°+∠AEC=50°+∠ABD+10°，
整理得∠ACD−∠ABD=60°．
设AC与BP相交于O，则∠AOB=∠POC，
∴∠P+12∠ACD=∠A+12∠ABD，
即∠P=50°−12(∠ACD−∠ABD)=20°．
故选：B．
6.【答案】B
【解析】解：∵∠A=60°，
∴∠AEF+∠AFE=180°−60°=120°，
∴∠FEB+∠EFC=360°−120°=240°，
∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，
∴∠1+∠2=240°−120°=120°，
∵∠1=95°，
∴∠2=120°−95°=25°，
故选：B．
首先根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°−120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，进而得到答案．
此题主要考查了翻折变换，关键是根据题意得到翻折以后，哪些角是对应相等的．
7.【答案】−2x3y
【解析】解：4x4y2÷(−2xy)，
=−2x4−1y2−1，
=−2x3y.
故应填：−2x3y.
根据单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式解答．
本题考查了单项式相除法则，在计算的时候注意处理符号问题．
8.【答案】−7
【解析】解：∵2x2+3x+7=8，
∴2x2+3x=1，
∴4x2+6x−9=2(2x2+3x)−9=2−9=−7，故本题答案为：−7．
观察题中的两个代数式2x2+3x和4x2+6x，可以发现4x2+6x=2(2x2+3x)，因此由2x2+3x+7的值为8，求得2x2+3x=1，再代入代数式求值．
代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式2x2+3x的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
9.【答案】−1x(x−1)
【解析】解：1x−1x−1=x−1x(x−1)−xx(x−1)=x−1−xx(x−1)=−1x(x−1)．
故答案为−1x(x−1)．
将分式通分后，再按照同分母分式的加减即可求出结论．
本题考查了分式的加减法，熟练掌握异分母分式的加减法是解题的关键．
10.【答案】(−2,−1)
【解析】解：根据题意，M与N关于x轴对称，
则其横坐标相等，纵坐标互为相反数；
所以N点坐标是(−2,−1)．
故答案为：(−2,−1)．
本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于x轴对称的点的坐标是(x,−y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；据此可得答案．
本题考查关于x轴对称的两点的坐标之间的关系，关键是掌握两点关于x轴对称则横坐标相等，纵坐标互为相反数．
11.【答案】20°或80°
【解析】解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，
则此顶角为：180°−100°=80°；
②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，
此底角为：180°−100°=80°；
∴顶角为：180°−80°−80°=20°；
故这个等腰三角形的顶角为：20°或80°．
故答案为：20°或80°．
由等腰三角形的一个外角是100°，可分别从①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角；②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角去分析求解，即可求得答案．
此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，解题的关键是注意分类讨论思想的应用，小心别漏解．
12.【答案】76°
【解析】解：∵AD=BE，
∴AD+AE=BE+AE，即DE=AB．
∴在△DEF与△ABC中，DF=ACEF=BCDE=AB，
∴△DEF≌△ABC(SSS)，
∴∠F=∠C=32°，
又∵∠BAC=72°，
∴∠ABC=180°−32°−72°=76°．
故答案为：76°．
由全等三角形的判定定理SSS得到：△DEF≌△ABC，则该全等三角形的对应角相等：∠F=∠C，然后结合三角形内角和定理来求∠ABC的度数．
本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
13.【答案】3
【解析】解：如图，
∵在△ABC中，∠A=15°，AC=BC，
∴∠A=∠CBA=15°，
∴∠BCD=∠A+∠CBA=30°．
又BD⊥AD，AC=BC=6，
∴BD=12BC=12×6=3．
故答案是：3．
由三角形外角性质，等腰三角形的性质得到∠BCD=30°，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，据此解答．
本题考查了等腰三角形的性质与含30度角的直角三角形的性质．
14.【答案】4
【解析】解：如图，作AH⊥BC于H，FP⊥DE于P，
∵△ABC≌△FDE，
∴AC=DF，∠C=∠FDE，
在△ACH和△DFP中，
∠C=∠FDP∠AHC=∠FPDFD=AC，
∴△ACH≌△DFP(AAS)，
∴AH=FP，
∵A点的坐标为(a,1)，BC/​/x轴，B点的坐标为(b,−3)，
∴AH=4，
∴FP=4，
∴F点到y轴的距离为4，
故答案为：4．
如图，作AH⊥BC于H，FP⊥DE于P，根据全等三角形的性质得到AC=DF，∠C=∠FDE，推出△ACH≌△DFP(AAS)，根据全等三角形的性质得到AH=FP，根据A点的坐标为(a,1)，BC/​/x轴，B点的坐标为(b,−3)，得到AH=4，即可得到结论．
本题考查了坐标与图象的性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
15.【答案】解：原式=x2−y2−2x2+4y2=−x2+3y2，
当x=−1，y=13时，原式=−1+13=−23．
【解析】原式利用平方差公式，多项式除以单项式法则计算，合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】解：原式=[(x2+2xy+y2)−(x2−2xy+y2)]÷4xy
=(x2+2xy+y2−x2+2xy−y2)÷4xy
=4xy÷4xy
=1．
【解析】先利用完全平方公式展开，再去括号、合并同类项，然后计算单项式除以单项式即可．
本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握整式的混合运算法则．
17.【答案】解：1−x2−x−3=xx−2；
去分母，等式两边同时乘以2−x得：
1−x−3(2−x)=−x；
整理得：1−3(2−x)=0；
3x=5；
解得：x=53；
检验：把x=53代入(2−x)中，2−x≠0；
所以x=53是分式方程的解．
【解析】找到最简公分母，合理去分母是解题的关键，通过观察最简公分母是2−x，最后注意分式方程必须检验．
本题主要考查解分式方程，解题的关键是注意检验是否为增根．
18.【答案】解：AE⊥BF.理由如下，
∵∠BAC=90°，EC⊥CA，
∴∠BAF=∠ACE=90°，
在Rt△ABF和Rt△CAE中，
AE=BFAB=AC，
∴Rt△ABF≌Rt△CAE(HL)，
∴∠ABF=∠EAC，
∵∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠BAD+∠ABD=90°，
∴∠ADB=90°，
∴AE⊥BF．
【解析】利用“HL”先证明Rt△ABF≌Rt△CAE，得到∠ABF=∠EAC，据此即可证明∠ADB=90°．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．
19.【答案】解：∵(x+x−1)2
=x2+x−2+2
=9，
∴x2+x−2=7．
∴x3+x−3
=(x2+x−2)(x+x−1)−(x+x−1)
=7×3−3
=18．
∴(x2+x−2)2=72．
∴x4+2+x−4=49．
∴x4+x−4=47．
∴(x+x−1)(x4+x−4)=3×47．
即x5+x−3+x3+x−5=141．
∴x5+x−5
=141−(x3+x−3)
=141−18
=123．
【解析】根据题例的解题过程，通过完全平方式计算x4+x−4的值，通过变形(x+x−1)(x4+x−4)=3×47可得结论．
本题考查了完全平方式等知识点，看懂题例、理解题例、应用题例是解决本题的关键．
20.【答案】解：(1)∵DB平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB．
∴∠ABD=∠A．
∴∠ABD=∠CBD=∠A．
∵∠ABD+∠CBD+∠A=90°，
∴3∠A=90°．
∴∠A=30°．
(2)∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD．
∴△DBC的周长=CD+BC+BD=CD+AD+BC=AC+BC=6+8=14．
【解析】(1)利用角平分线的定义和线段垂直平分线的性质，可得到∠ABD=∠CBD=∠A；
(2)利用线段垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
本题主要考查角平分线的定义和线段垂直平分线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．
21.【答案】解：设此商品进价是x元．
则：6000+200010%x−600020%x=100．
解得：x=500．
经检验：x=500是方程的根．
则6000+200010%x=160(件)．
答：商品进价为500元，商场第二个月共销售160件．
【解析】本题考查了分式方程的应用，应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
求的是单价，总价明显，一定是根据数量来列等量关系．本题的关键描述语是：第二个月的销售量比第一个增加了100件．等量关系为：第二个月的销售量−第一个月的销售量=100，算出后可得到此商品的进价．
22.【答案】(1)4×6−52=24−25=−1；
(2)答案不唯一，如n(n+2)−(n+1)2=−1；
(3)一定成立，
理由：n(n+2)−(n+1)2=n2+2n−(n2+2n+1)
=n2+2n−n2−2n−1=−1，
故n(n+2)−(n+1)2=−1成立．
【解析】解：(1)第4个算式为：4×6−52=24−25=−1，
故答案为：4×6−52=24−25=−1；
(2)见答案；
(3)见答案．
【分析】(1)根据①②③的算式中，变与不变的部分，找出规律，写出新的算式；
(2)将(1)中，发现的规律，由特殊到一般，得出结论；
(3)一定成立．利用整式的混合运算方法加以证明．
本题是规律型题，考查了整式的混合运算的运用．关键是由特殊到一般，得出一般规律，运用整式的运算进行检验．
23.【答案】(1)解：∵AB=AC，AM平分∠BAC，
∴BM=CM=12BC=CE=3，
∴ME=MC+CE=3+3=6．
(2)证明：∵AB=AC，AM平分∠BAC，
∴AM⊥BC，
∵D为AC的中点，
∴DM=12AC，
过点D作DN⊥MC，则有MN=NC，
又∵BM=CE，
∴BN=NE，
∴D在线段BE的垂直平分线上，
∴BD=DE，即△DEB是等腰三角形．

【解析】(1)根据等腰三角形的性质可得BM=CM=12BC=CE=3，再根据线段的和差即可解答；
(2)根据等腰三角形的性质可得AM⊥BC，再根据直角三角形的性质可得DM=12AC，过点D作DN⊥MC，则有MN=NC；再说明D在线段BE的垂直平分线上即可解答．
本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质等知识点，掌握等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线是斜边的一半成为解题的关键．
24.【答案】解：(1)如图①，只要在网格顶点中找到使AB=BC线段即可，答案不唯一．

(2)如图②，可以过点B作BC⊥AB交格点或过点A作AC⊥AB，再由全等检验边相等，当然也可以先满足边相等，在看是否满足直角．

(3)如图③，多种情况讨论：分别以A为顶角和以A为底角顶点讨论；
分析先以A为顶角的等腰三角形，再分析以A为底角的等腰三角形，直观发现都能做出等腰三角形，但是A为顶角的三角形以面积并不是最大的，见图④，最终选择以A底角画出等腰三角形ABC面积最大，通过全等验证AB=BC．

【解析】(1)根据等腰三角形的定义可以画出与线段AB等长的线段，注意线段两端点必须在网格顶点处．
(2)一线三直角模型是最直接的想法，直接构造两个直角三角形即可，并让这两个三角形全等，即可构画出一个等腰直角三角形．
(3)首先先满足等腰三角形的条件，那么就要分析先以A为顶角的等腰三角形，再分析以A为底角的等腰三角形，直观发现都能做出等腰三角形，但是A为顶角的三角形以面积并不是最大的，最终选择以A底角画出等腰三角形即可．
本题主要考查网格点等腰三角形的作图问题，掌握其作图方法是解决此题的关键．
25.【答案】(0,3)或(0,−1) 3
【解析】解：(1)符合条件的有两点，如图，以A为圆心，以AB为半径画弧，交y轴于C、C′点，
∵A(0,1)，
∴OA=1，
∵在Rt△AOB中，OA=1，∠ABO=30°，
∴AB=2OA=2，OB= 3，
即AC=AC′=2，
∴OC=1+2=3，OC′=2−1=1，
∴C的坐标是(0,3)或(0,−1)，
故答案为：(0,3)或(0,−1)；
(2)∵OA=1，AO⊥x轴，
∴x轴和以A为圆心，以1为半径的圆相切，
∵AP=1，
∴P在⊙A上，
∵点P关于直线AB的对称点P′在x轴上，AP=1，
∴P′点和O重合，
如图所示，作点P′关于AB的对称点P，则点P即为所求；
(3)如图，连接PP′，交AB于D，
∵P和P′关于直线AB对称，
∴PP′⊥AB，
∴∠AP′D=30°，
∴Rt△AP′D中，AD′=12AO=12，DP′= 32，
由轴对称的性质可得，PP′=2DP′= 3，
过P作PE⊥y轴于E，则PE=12PP′= 32，EP′=32，
即P的坐标是(− 32,32)，
如图，作点B关于y轴的对称点B′，则B′(2,0)，
连接PB′，与y轴交于一点，则该交点即为点M，
连接BM，则BM=B′M，
∴PM+BM=PM+B′M=PB′，
∴PM+BM的最小值为PB′的长，
∴由勾股定理可得，PB′= (32 3)2+(32)2=3，
∴PM+BM的最小值为3．
故答案为：3．
(1)先确定A的位置，再作出△AOB，就可以求出AB=2，OB= 3，在y轴上符合条件的有两点，求出OC即可；
(2)根据AP=AO=1，得出P的对称点P′和O重合，作点P′关于AB的对称点P，则点P即为所求；
(3)求出OD，即可得出OP，进而得到点P的坐标，再作出B关于y轴的对称点，连接PB′即可得出M点的位置，求出PB′长即可．
本题属于三角形综合题，主要考查了轴对称−最短路线问题，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识点的应用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
26.【答案】解：(1)如图，在△ABC中，分别作高线AH、CK，则∠AKC=∠CHA．
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA．
在△AKC和△CHA中，
∠AKC=∠CHA∠BAC=∠BCAAC=CA，
∴△AKC≌△CHA(AAS)，
∴CK=AH．
(2)∵A点的坐标为(−3,1)，
B、C两点的纵坐标均为−3，
∴AH=4．
又∵CK=AH，
∴CK=AH=4．
(3)∵△ABC≌△DEF，
∴∠BAC=∠EDF，AC=DF．
在△AKC和△DPF中，
∠AKC=∠DPF∠BAC=∠EDFAC=DF，
∴△AKC≌△DPF(AAS)，
∴PF=KC=4．
【解析】(1)如图，作辅助线；证明△AKC≌△CHA，即可解决问题．
(2)如图，证明∠BAC=∠EDF，AC=DF，进而证明△AKC≌△DPF，即可解决问题．
该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用全等三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．