2023-2024学年吉林省白城市通榆县八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省白城市通榆县八年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列交通标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. a3⋅a3=2a3B. a12÷a3=a4C. (a5)2=a10D. (−2a)2=−4a2
3.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 3cm，5cm，7cmB. 3cm，3cm，7cm
C. 4cm，4cm，8cmD. 4cm，5cm，9cm
4.若分式2a+1有意义，则a的取值范围是( )
A. a=0B. a=1C. a≠−1D. a≠0
5.如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，其作图的依据是( )
A. SASB. ASAC. AASD. SSS
6.如图，OA=OB，OC=OD，∠O=50°，∠D=35°，则∠AEC等于( )
A. 60°B. 50°C. 45°D. 30°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.分解因式：3x2y−6x= ______ ．
8.一个氧原子的直径为0.000000000148m，用科学记数法表示为______m.
9.要使16x2−bx+9成为完全平方式，那么b的值是______．
10.自行车的支架做成三角形，这是利用三角形具有______．
11.如果点A(a,−2)和点B(−1,b)关于y轴对称，那么(a+b)2023= ______ ．
12.如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P.当∠A=70°时，则∠BPC的度数为______．
13.对于非零的两个实数a、b，规定a⊕b=1b−1a，若2⊕(2x−1)=1，则x的值为______．
14.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE=______．
三、计算题：本大题共2小题，共13分。
15.解方程：32x−2+11−x=3．
16.某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
(1)这项工程的规定时间是多少天？
(2)已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
四、解答题：本题共10小题，共71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
给出三个多项式：12x2+2x−1，12x2+4x+1，12x2−2x.请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．
18.(本小题5分)
一个多边形的内角和与外角和相加是1800°，求这个多边形的边数．
19.(本小题5分)
如图，CE=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E．
求证：∠B=∠D．
20.(本小题7分)
在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A，C的坐标分别为(−4,5)，(−1,3)．
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系．
(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′．
(3)求△ABC的面积．
21.(本小题7分)
(1)数学课堂上老师留了一道数学题，如图①，用式子表示空白部分的面积.甲，乙两名同学表示的式子是：甲：10×6−10x−6x；乙：(10−x)(6−x).正确的学生是______ ．
(2)如图②，有一块长为(8a+3b)米，宽为(7a−3b)米的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路.其余进行绿化，已知两条道路的宽分别为2a米和3a米，求绿化的面积.(用含a，b的式子来表示)
22.(本小题7分)
先化简，再求值：(2x+3y)2−(2x+y)(2x−y)，其中x=13，y=−12．
23.(本小题7分)
如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．
(1)求证：△ABO≌△DCO；
(2)△OBC是何种三角形？证明你的结论．
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动(点D不与BC重合)，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于E．
(1)当∠BDA=115°时，∠EDC= ______ °，∠AED= ______ °.
(2)线段DC的长度为______ 时，△ABD≌△DCE，请说明理由．
25.(本小题10分)
数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A、1张边长为b的正方形B和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形.观察图形并解答下列问题．

(1)由图①和图②可以得到的等式为______ (用含a，b的代数式表示)；并验证你得到的等式；
(2)嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+2b)的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；
(3)如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG.若AB=6，且两正方形的面积之和S1+S2=20，利用(1)中得到的结论求图中阴影部分的面积．
26.(本小题10分)
如图：△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点．由点A向点C运动(P与点A，C不重合)，Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q不与点B重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D．
(1)若设AP的长为x，则PC=______，QC=______；
(2)当∠BQD=30°时，求AP的长；
(3)过点Q作QF⊥AB交AB延长线于点F，则EP，FQ有怎样的数量关系？说明理由．
(4)点P，Q在运动过程中，线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：A、a3⋅a3=a6，故A不符合题意；
B、a12÷a3=a9，故B不符合题意；
C、(a5)2=a10，故C符合题意；
D、(−2a)2=4a2，故D不符合题意；
故选：C．
利用同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，幂的乘方的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】A
【解析】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两条边的和是否大于第三条边．
直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案．
解：根据三角形两边之和大于第三边，
A.因为3+5=8>7，
所以能组成三角形，符合题意；
B.因为3+3<7，
所以不能组成三角形，不符合题意；
C.因为4+4=8，
所以不能组成三角形，不符合题意；
D.因为4+5=9，
所以不能组成三角形，不符合题意．
故选：A．
4.【答案】C
【解析】【分析】
根据分式有意义的条件进行解答．
本题考查了分式有意义的条件，要从以下两个方面透彻理解分式的概念：
(1)分式无意义⇔分母为零；
(2)分式有意义⇔分母不为零；
【解答】
解：∵分式有意义，
∴a+1≠0，
∴a≠−1．
故选：C．
5.【答案】D
【解析】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C′O′D′，
故选：D．
由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，根据SSS可得到三角形全等．
本题考查的是作图−基本作图及全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定及性质；解题过程中用到了三角形、四边形的内角和的知识，要根据题目的要求及已知条件的位置综合运用这些知识．
首先由已知可求得∠OAD的度数，通过三角形全等及四边形的知识求出∠AEB的度数，然后其邻补角就可求出了．
【解答】
解：∵在△AOD中，∠O=50°，∠D=35°，
∴∠OAD=180°−50°−35°=95°，
∵在△AOD与△BOC中，OA=OB，OC=OD，∠O=∠O，
∴△AOD≌△BOC，
故∠OBC=∠OAD=95°，
在四边形OBEA中，∠AEB=360°−∠OBC−∠OAD−∠O，
=360°−95°−95°−50°，
=120°，
又∵∠AEB+∠AEC=180°，
∴∠AEC=180°−120°=60°．
故选：A．
7.【答案】3x(xy−2)
【解析】解：原式=3x(xy−2)，
故答案为：3x(xy−2)．
利用提公因式法因式分解即可．
本题考查提公因式法因式分解，找到正确的公因式是解题的关键．
8.【答案】1.48×10−10
【解析】解：0.000 000 000148=1.48×10−10．
故答案为：1.48×10−10．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值是易错点，由于0.000000000148有10个0，所以可以确定n=−10．
此题考查科学记数法表示较小的数的方法，准确确定n值是关键．
9.【答案】±24
【解析】解：16x2−bx+9=(4x)2−bx+32，
所以−bx=±2×4x×3，
解得b=±24．
故答案是：±24．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定b的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
10.【答案】稳定性
【解析】解：自行车的三角形车架，这是利用了三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
根据三角形具有稳定性解答．
本题考查了三角形的稳定性，是基础题．
11.【答案】−1
【解析】解：∵点A(a,−2)和点B(−1,b)关于y轴对称，
∴a=1，b=−2，
∴(a+b)2023=(−1)2023=−1．
故答案为：−1．
直接利用关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，分别得出a，b的值，即可得出答案．
此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．
12.【答案】125°
【解析】【分析】
本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的定义，熟知三角形的内角和定理是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠2+∠4的度数，由三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数．
【解答】
解：∵△ABC中，∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−70°=110°，
∴BP，CP分别为∠ABC与∠ACB的平分线，
∴∠2+∠4=12(∠ABC+∠ACB)=12×110°=55°，
∴∠P=180°−(∠2+∠4)=180°−55°=125°．
故答案为125°．
13.【答案】56
【解析】解：2⊕(2x−1)=1可化为12x−1−12=1，
方程两边都乘以2(2x−1)得，2−(2x−1)=2(2x−1)，
解得x=56，
检验：当x=56时，2(2x−1)=2(2×56−1)=43≠0，
所以，x=56是原分式方程的解，
即x的值为56．
故答案为：56．
先根据规定运算把方程转化为一般形式，然后把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．
本题考查了解分式方程，(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．(2)解分式方程一定注意要验根．
14.【答案】10°
【解析】解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，
∴AD=BD，AE=CE，
∴∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，
∵∠B=40°，∠C=45°，
∴∠B+∠C=85°，∠BAC=95°，
∴∠BAD+∠CAE=85°，
∴∠DAE=∠BAC−(∠BAD+∠CAE)=95°−85°=10°，
故答案为：10°
根据线段的垂直平分线得出AD=BD，AE=CE，推出∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，求出∠BAD+∠CAE的度数即可得到答案．
本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
15.【答案】解：方程两边同乘以2(x−1)，
得：3−2=6(x−1)，
整理得：1=6x−6，
解得：x=76．
经检验：x=76是原方程的解．
【解析】因为2x−2=2(x−1)，1−x=−(x−1)，所以方程最简公分母为：2(x−1)，故方程同乘以最简公分母化为整式方程求解．
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
(2)解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】解：(1)设这项工程的规定时间是x天，
根据题意得：(1x+11.5x)×15+5x=1．
解得：x=30．
经检验x=30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
(2)该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷(130+11.5×30)=18(天)，
则该工程施工费用是：18×(6500+3500)=180000(元)．
答：该工程的费用为180000元．
【解析】(1)设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可．
(2)先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
17.【答案】解：情况一：12x2+2x−1+12x2+4x+1=x2+6x=x(x+6)．
情况二：12x2+2x−1+12x2−2x=x2−1=(x+1)(x−1)．
情况三：12x2+4x+1+12x2−2x=x2+2x+1=(x+1)2．
【解析】本题考查整式的加法运算，找出同类项，然后只要合并同类项就可以了．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．
熟记公式结构是分解因式的关键．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)；完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2．
18.【答案】解：设这个多边形的边数为n，
则依题意可得(n−2)×180+360=1800，
解得n=10，
故这个多边形是十边形．
【解析】本题可根据这个多边形的内角和与外角和相加是1800°，列出方程，解出即可．
本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．
19.【答案】证明：∵∠BCE=∠DCA，
∴∠ACB=∠ECD，
在△ACB和△ECD中，
∠A=∠EAC=EC∠ACB=∠ECD，
∴△ACB≌△ECD，
∴∠B=∠D．
【解析】欲证明∠B=∠D，只要证明△ACB≌△ECD即可；
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形的全等的条件，属于中考常考题型．
20.【答案】解：(1)如图所示：
(2)如图所示：
(3)△ABC的面积：3×4−12×4×2−12×2×1−12×2×3=12−4−1−3=4．
【解析】(1)根据C点坐标确定原点位置，然后作出坐标系即可；
(2)首先确定A、B、C三点关于y轴对称的点的位置，再连接即可；
(3)利用长方形的面积剪去周围多余三角形的面积即可．
此题主要考查了作图--轴对称变换，关键是确定组成图形的关键点的对称点位置．
21.【答案】乙
【解析】解：(1)空白部分的面积为：10×6−10x−6x+x2，故甲错误；
∵(10−x)(6−x)=10×6−10x−6x+x2，
∴乙正确；
故答案为：乙；
(2)由题意可得：
(8a+3b−3a)(7a−3b−2a)
=(5a+3b)(5a−3b)
=25a2−9b2(平方米)，
答：绿化的面积为(25a2−9b2)平方米．
(1)结合图形表示出绿地的面积，即可判断；
(2)把两条道路平移，可得绿地的长为(8a+3b−3a)米，宽为(7a−3b−2a)米，即可计算．
本题考查了多项式乘以多项式，生活中的平移现象，把道路平移，表示出绿地的长和宽是解题的关键．
22.【答案】解：(2x+3y)2−(2x+y)(2x−y)
=(4x2+12xy+9y2)−(4x2−y2)
=4x2+12xy+9y2−4x2+y2
=12xy+10y2，
当x=13，y=−12时，原式=12×13×(−12)+10×(−12)2=12．
【解析】解答：见答案。
此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：多项式的乘法法则，去括号法则，以及合并同类项法则，灵活运用完全平方公式及平方差是解本题的关键．解此类化简求值题应先将原式化为最简后再代入求值．
将原式的第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并同类项后，得到最简结果，然后将x与y的值代入，计算后即可得到原式的值．
23.【答案】(1)证明：在Rt△ABC和Rt△DCB中，
BC=CBAC=BD，
∴Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)，
∴AB=DC，
在△ABO和△DCO中，
∠A=∠D∠AOC=∠DOCAB=DC，
∴△ABO≌△DCO(AAS)；
(2)解：△OBC是等腰三角形．
理由如下：∵△ABO≌△DCO，
∴OB=OC，
∴△OBC是等腰三角形．
【解析】(1)利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△DCB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=DC，然后利用“角角边”证明△ABO和△DCO全等即可；
(2)根据全等三角形对应边相等可得OB=OC，再根据等腰三角形的定义解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，先利用“HL”证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点．
24.【答案】25 115 2
【解析】解：(1)∠EDC=180°−∠ADB−∠ADE=180°−115°−40°=25°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
∠DEC=180°−∠EDC−∠C=180°−40°−25°=115°，
故答案为：25；115；
(2)当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，
在△ABD和△DCE中
∠ADB=∠DEC∠B=∠CAB=DC，
∴△ABD≌△DCE(AAS)．
故答案为：2．
(1)根据∠BDA=115°以及∠ADE=40°，即可得出∠EDC=180°−∠ADB−∠ADE，进而求出∠DEC的度数；
(2)当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌△DCE．
此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定等知识，熟练地应用等腰三角形的性质是解决问题的关键．
25.【答案】(a+b)2=a2+2ab+b2
【解析】解：(1)(a+b)2=a2+2ab+b2，
验证：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2，
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；
(2)∵(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2，
∴所需A、B两种纸片各2张，C种纸片5张；
(3)设AC=a，BC=CF=b则a+b=6，
∵S1+S2=20，
∴a2+b2=20，
∵(a+b)2=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab，
∴20=62−2ab，
∴ab=8，
∴阴影部分的面积=12ab=12×8=4．
(1)图②的正方形的边长为(a+b)，是由1张A卡片，1张B卡片，2张C卡片拼成的，根据面积法可得答案；
(2)计算(2a+b)(a+2b)的结果可得答案；
(3)设AC=a，BC=b，可得出a+b=6，a2+b2=20，由(1)的结论可求出ab，进而求出三角形的面积．
本题考查了多项式乘以多项式，完全平方公式的几何背景，掌握用不同的方法表示图形的面积是关键．
26.【答案】解：(1)6−x，6+x；
(2)因为∠ACB=60°，∠BQD=30°，
所以∠QPC=90°，
所以QC=2PC，
所以6+x=2(6−x)，
所以x=2，
所以AP=2，
(3)EP=FQ，
理由如下：
如图，
∵点P、Q速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
∵AP=BQ，∠AEP=∠QFB，∠A=∠QBF，
在△AEP和△BFQ中
∠AEP=∠BFQ∠A=∠QBFAP=BQ
∴△AEP≌△BFQ(AAS)，
∴QF=EP．
(4)DE的长度不变．
连接EQ，PF，
∵△AEP≌△BFQ
∴AE=BF，
∴BE+AE=BF+BE，
∴AB=EF=6．
∵PE⊥AB，QF⊥AB，
∴QF//EP，且QF=PE，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=DF=12EF=3．
【解析】解：(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB=60°，AB=BC=AC=6
设AP=x，则PC=6−x，QB=x，
∴QC=QB+BC=6+x，
故答案为：6−x，6+x；
(2)见答案；
(3)见答案；
(4)见答案.
【分析】
(1)由线段和差关系可求解；
(2)由直角三角形的性质可列方程6+x=2(6−x)，即可求AP的长；
(3)由“AAS”可证△AEP≌△BFQ，可得QF=EP；
(4)连接EQ，PF，由全等三角形的性质可证AB=EF，由题意可证四边形PEQF是平行四边形，可得DE=DF=12EF=3．
本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质，熟练全等三角形判定是解答此题的关键．