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精品解析：广东省深圳市兰陵学校2021-2022学年九年级下学期四月月考数学测试题
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1. 的相反数为（ ）
A. 2021B. ﹣2021C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的定义即可求得
【详解】解：的相反数是．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，零的相反数是零．
2. 下列四个图案分别是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的标识，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形判断即可；
【详解】A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义准确分析判断是解题的关键．
3. 2021年3月20日至29日，“2021粤港澳大湾区深圳花展”将在深圳仙湖植物园开幕，届时将有7.1万m2的绝美花海，19个国家，5大主题，38座花园供游客欣赏．数据7.1万m2用科学记数法表示为（ ）
A. 71×104m2B. 7.1×104m2C. 7.1×105m2D. 0.71×105m2
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中0≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：7.1万．
故选B．
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示较大的数，正确的确定a和n的值是解答本题的关键．
4. 如图所示的是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体，和“富”字一面相对面的字是（ ）
A. 强B. 明C. 文D. 主
【答案】C
【解析】
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，和“富”字所在面相对的面上的字是“文”．
故选：C
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
5. 某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下:80，90，75，75，80，80.下列表述错误的是( )
A. 众数是80B. 中位数是75C. 平均数是80D. 极差是15
【答案】B
【解析】
【详解】（1）80出现的次数最多，所以众数是80，A正确；
（2）把数据按大小排列，中间两个数为80，80，所以中位数是80，B错误；
（3）平均数是80，C正确；
（4）极差是90-75=15，D正确．故选B
6. 八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据汽车的速度是骑车学生速度的2倍，得汽车的速度为2xkm/h，由一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达列得方程．
【详解】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，
可列方程为，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意确定题目中的等量关系是解题的关键，注意单位应统一，20min为．
7. 如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB，D是优弧AB上的一点（不与点A，B重合），若∠BOC=50°，则∠ADC等于（ ）
A. 40°B. 30°
C. 25°D. 20°
【答案】C
【解析】
【分析】连接OA，根据垂径定理即可推出∠BOC=∠AOC=50°，然后根据圆周角定理即可推出∠ADC的度数．
【详解】解：连接OB，
∵⊙O的半径OC垂直于弦AB，∠BOC=50°，
∴∠BOC=∠AOC=50°，
∴∠ADC=∠AOC=25°．
故选：C．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，关键在于正确的做出辅助线，求出∠BOC=∠AOC=50°．
8. 如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP=6千米，则AB两点的距离为（ ）千米．
A. 4B. C. 2D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】证明AB=PB，在中，求出PC=千米，在中，解直角三角形可求出PB的长，则可得出答案
【详解】解：由题意知：，
在中，
千米
千米，
在中，
，
千米
千米
故选：D
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义及方向角是解题关键．
9. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：①，②，③，④．正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由开口方向，对称轴方程，与轴的交点坐标判断的符号，从而可判断①②，利用与轴的交点位置得到＞，结合＜ 可判断③，利用当 结合图像与对称轴可判断④．
【详解】解：由函数图像的开口向下得＜
由对称轴为＞ 所以＞
由函数与轴交于正半轴，所以＞
＜ 故①错误；
，
故②正确；
由交点位置可得：＞，
＜
＞，
＜
＜ 故③错误；
由图像知：当
此时点在第三象限，
＜
＜ 故④正确；
综上：正确的有：②④，
故选B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，同时考查利用二次函数的图像判断代数式的符号，掌握以上知识是解题的关键．
10. 如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM、有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③CN=2AN；④∶=2∶5；⑤∠ADF=∠BMF．其中正确结论的个数为（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】①先由余角的性质得出∠ADF=∠DCE，根据“AAS”可证△ADF≌△DCE．
②根据AE=AF，∠NAF=∠NAE，AN=AN这三个条件，得出△ANF≌△ANE，即可得出结论．
③根据，得出CN与AN的比值，即可求出结果．
④连接CF，再设=1，即可得出与比值即可．
⑤延长DF与CB交于G，，得出△DEN与△MFB全等，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MB=BG=BC，进而得出结果．
【详解】解：①∵ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠DAF=∠EDC，
∵DF⊥CE，
∴∠EDM+∠DEM=90°，
∵∠DEM+∠DCE=90°，
∴∠ADF=∠DCE，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE，故正确；
②∵ABCD是正方形，
∴∠NAF=∠NAE，
∵△ADF≌△DCE，
∴DE=AF，
∵AE=DE，
∴AE=AF，
在△ANF和△ANE中
，
∴△ANF≌△ANE，
∴NF=NE，
∵NM⊥CE，
∴NE＞MN，
∴NF＞MN，故错误；
③∵，
∴∠CDN=∠NFA，∠DCN=∠NAF，
∴△DCN∽△FAN，
∴，
又∵△ADF≌△DCE，且四边形ABCD为正方形，
∴AF=AB=DC，
∴，
∴CN=2AN，故正确；
④连接CF，
设=1，
△DCN∽△FAN，
∴，
∴，
则=3，=2，
∴=6，
∴=5，
∴∶=2：5，故正确；
⑤延长DF与CB交于G，则∠ADF=∠G，根据②的结论F为AB中点，即AF=BF，
△DAF与△GBF中，
，
∴△DAF≌△GBF（AAS），
∴BG=AD，又AD=BC，
∴BC=BG，
∵DF⊥CE于M，
∴∠CMG=90°，
∴△CMG是直角三角形，
∴MB=BG=BC，
∴∠G=∠BMF，
因此∠ADF=∠BMF，故正确．
所以正确的有①③④⑤共4个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形性质问题，在解题时要注意全等三角形、相似等知识的综合利用，综合运用各知识点是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每题3分，5*3=15分）
11. 分解因式： _______________．
【答案】
【解析】
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式解答，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
12. 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到．
【详解】解： 的垂直平分线交于点F，
（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴
∵，是角平分线
∴
∵
∴，
∴
【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．
13. 将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“稻草人”中的“○”的个数，则第20个“稻草人”中有____个“○”．
【答案】385
【解析】
【详解】试题分析：分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为1+4=5；
第2个图形中小圆的个数为1+5+1=7；
第3个图形中小圆的个数为1+6+4=11；
第4个图形中小圆的个数为1+7+9=17；
…
∴第n个图形中小圆的个数为1+（n+3）+（n﹣1）2．
∴第20个“稻草人”中的“○”的个数为1+23+192=385，
考点：图形的变化规律以及数字规律
14. 定义新运算“”，规则：，如，若的两根分别为，，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】先通过因式分解法解方程，求出，，根据新定义的运算规则，的值为和中较大的那个数，由此可解．
【详解】解：方程，
分解因式得：，
解得：或，
则或．
故答案为：3．
【点睛】本题考查新定义运算和解一元二次方程，读懂题意，理解新定义的运算规则是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为，反比例函数的图象与菱形对角线交于点，连接，当轴时，的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出OC=5，再利用菱形的性质得到AC=OB=OC=5，AC∥OB则B（-5,0），故而得到点A的坐标为（-8,4），再利用待定系数法确定直线OA的解析式为y=-x，则可确定D（-5,），将点D的坐标代入中可得到k的值.
【详解】过点C作CE⊥x轴于点E，
∵C,
∴OE=-a，CE=4，
∵=，
∴OE=3，OC=5，
∵四边形OBAC是菱形，
∴AC=OB=OC=5，AC∥OB
∴B（-5,0），A（-8,4），
设直线OA的解析式为y=mx，
将点A坐标代入得到-8m=4，解得m=-，
∴直线OA的解析式为y=-x，
当x=-5时，y=，
∴D（-5，），
将点D的坐标代入，
∴k==，
故答案为：.
【点睛】此题考查菱形的性质，锐角三角函数，待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，此题中根据菱形的性质求出点A的坐标是解题的关键.
三．解答题（共7小题）
16. 计算：.
【答案】5.
【解析】
【分析】将60°的正切值代入，再依次计算零次幂，负指数幂，化简二次根式，最后算加减法.
【详解】解：原式=
=
=
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟记特殊角度的三角函数值，掌握零次幂，负指数幂和二次根式的化简是解决本题的关键.
17. 先化简再求值：，其中．
【答案】；1
【解析】
【分析】先把分式化简后，再把的值代入求出分式的值即可．
【详解】原式
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
18. 某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x分（x为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的a ，b＝ ，m＝ ．
（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图．
（3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）8，12，30%；（2）40名，补图见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意列式计算即可得到结论；
（2）用D等级人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）a＝16÷40%×20%＝8，b＝16÷40%×（1﹣20%﹣40%﹣10%）＝12，m＝1﹣20%﹣40%﹣10%＝30%；
故答案为：8，12，30%；
（2）本次调查共抽取了4÷10%＝40名学生；
补全条形图如图所示；
（3）将男生分别标记为A，B，女生标记为a，b，
∵共有12种等可能的结果，恰为一男一女的有8种，
∴抽得恰好为“一男一女”的概率为＝．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图、扇形统计图应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 在“新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如下表所示：
（1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．
【答案】（1）酒精消毒液的进价为10元，测温枪的进价为200元；
（2）该公司销售完这1000件商品获得的最大利润为元.
【解析】
【分析】（1）设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是，根据第一次购买30件酒精消毒液和40件测温枪的总费用为8300可以列出，根据第二次购买40件酒精消毒液和30件测温枪的总费用为6400可以列出，联立这两个方程即可求解；
（2）设购进酒精消毒液件，则购进测温枪件，销售完这1000件商品获得的利润为，根据酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售，可以得到酒精消毒液每件的利润为10元，测温枪每件的利润为40元，由此可以求出利润的表达式；同时结合酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍列出不等式，即可求出的取值范围，从而求出最大利润；
【详解】（1）设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是元，y元
由题意可得：
解得：
酒精消毒液的进价为10元，测温枪的进价为200元
（2）设购进酒精消毒液件，则购进测温枪件，销售完这1000件商品获得的利润为
由题意可得：
酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍
解得：
利润是关于的一次函数，同时
随着的增大而减小
当时，有最大值为
该公司销售完这1000件商品获得的最大利润为元
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，同时结合一次函数的性质求最值，充分理解题意列出方程组，以及利润的表达式是求解本题的关键.
20. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，连接AD，点E是AD的中点，延长BE至F，使EF=BE，连接AF，CF，BF与AC交于点G，连接DG．
（1）求证：四边形ADCF是矩形．
（2）若AB=5，BC=6，求线段DG的长．
【答案】（1）见解析 （2）DG=
【解析】
【分析】（1）证△AEF≌△DEB（SAS），得AF=DB，∠AFE=∠DBE，证出，再由等腰三角形的性质得DB=DC，AD⊥BC，则AF=DC，∠ADC=90°，即可得出结论；
（2）过G作GH⊥CD于H，由勾股定理得AD=4，再证△AGF∽△CGB，得，则AG=CG，得AG=AC=，CG=AC-AG=，然后证△CGH∽△CAD，求出GH=AD=，CH=CD=2，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵点E是AD中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中，
∴△AEF≌△DEB（SAS），
∴AF=DB，∠AFE=∠DBE，
∴，
∵AB=AC，点D是BC中点，
∴DB=DC，AD⊥BC，
∴AF=DC，∠ADC=90°，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCF是矩形；
【小问2详解】
解：过G作GH⊥CD于H，如图所示：
则，
∵AB=AC=5，点D是BC中点，
∴AD⊥BC，BD=CD=BC=3，
∴AD===4，
由（1）得：AF=DC=BD=3=BC，，
∴△AGF∽△CGB，
∴，
∴AG=CG，
∴AG=AC=，
∴CG=AC-AG=，
∵，
∴△CGH∽△CAD，
∴，
∴GH=AD=，CH=CD=2，
∴DH=CD-CH=1，
∴DG==．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
21. 如图1，等腰△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD⊥AB于点D，F为弧AB上的一个动点，连接CF交AB于点G，P为射线AB上的一个动点，连接PF，AF．
（1）求证：CF•CG＝CA2；
（2）如图1，若PG＝PF，求证：PF为⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，如图2，连接PC，若∠FAP＝∠PCB，AB＝CD＝4，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先判断出∠CAG＝∠CFA，进而得出△CAG∽△CFA，即可得出结论；
（2）连接OF，先判断出∠OFC＋∠PGF＝90°，再判断出∠PGF＝∠PFG，得出∠PFG＋∠OFC＝90°，即可得出结论；
（3）过点B作BM⊥PC于M，BN⊥FC于N，先判断出BC平分∠PCF，得出BM＝BN，再利用面积法判断出，BG＝x，BP＝y，则DG＝BD−BG＝2−x，DP＝BD＋BP＝2＋y，进而根据勾股定理得，CG2＝x2−4x＋20，CP2＝y2＋4y＋20，进而得出，化简即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵AC＝BC，
∴，
∴∠CAG＝∠CFA，
∵∠ACG＝∠FCA，
∴△CAG∽△CFA，
∴，
∴CA2＝CF•CG；
【小问2详解】
证明：如图1，连接OF，
∵OC＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC；
∵CD⊥AB，
∴∠CDG＝90°，
∴∠OCF+∠CGD＝90°，
∴∠OFC+∠CGD＝90°，
∵∠CGD＝∠PGF，
∴∠OFC+∠PGF＝90°，
∵PG＝PF，
∴∠PGF＝∠PFG，
∴∠PFG+∠OFC＝90°，
∴OF⊥PF，
又OF为半径，
∴PF为为⊙O的切线；
【小问3详解】
解：如图2，过点B作BM⊥PC于M，BN⊥FC于N，
∵∠PCB＝∠FAP＝∠FCB，
∴BC平分∠PCF，
∴BM＝BN，
∴＝，
∵＝，
∴=，
∵CD⊥AB，
∴BD＝AD＝AB＝2，
设BG＝x，BP＝y，
则DG＝BD﹣BG＝2﹣x，DP＝BD+BP＝2+y，
根据勾股定理得，CG2＝CD2+DG2＝42+（2﹣x）2＝x2﹣4x+20，CP2＝CD2+DP2＝42+（2+y）2＝y2+4y+20，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴xy＝5（y﹣x），
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线定理，判断出=是解本题的关键．
22. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：
（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值．
【答案】（1）见解析；（2）当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立；理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据四边形ABCD和AEFG是正方形的性质证明△EAB≌△GAD即可；
（2）根据菱形AEFG和菱形ABCD的性质以及角的和差证明△EAB≌△GAD即可说明当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立；
（3）如图：连接EB，BD,设BE和GD相交于点H，先根据四边形AEFG和ABCD为矩形的性质说明△EAB∽△GAD，再根据相似的性质得到，最后运用勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD，
∵四边形AEFG为正方形
∴AE=AG，
∴
在△EAB和△GAD中有：
∴△EAB≌△GAD
∴BE=DG；
(2)当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立。
证明：∵四边形ABCD菱形
∴AB=AD
∵四边形AEFG为正方形
∴AE=AG
∵∠EAG=∠BAD
∴
∴
在△EAB和△GAD中有：
∴△EAB≌△GAD
∴BE=DG；
(3)连接EB，BD,设BE和GD相交于点H
∵四边形AEFG和ABCD为矩形
∴
∴
∵
∴△EAB∽△GAD
∴
∴
∴
∴
，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用所学知识是解答本题的关键．
等级
频数（人数）
频率
A
a
20%
B
16
40%
C
b
m
D
4
10%
A
B
a
b
A
（A，B）
（A，a）
（A，b）
B
（B，A）
（B，a）
（B，b）
a
（a，A）
（a，B）
（a，b）
b
（b，A）
（b，B）
（b，a）
项目
购进数量（件）
购进所需费用（元）
酒精消毒液
测温枪
第一次
30
40
8300
第二次
40
30
6400
1. 的相反数为（ ）
A. 2021B. ﹣2021C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的定义即可求得
【详解】解：的相反数是．
故选：D．
【点睛】本题考查了相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，零的相反数是零．
2. 下列四个图案分别是厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其他垃圾的标识，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形判断即可；
【详解】A、是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义准确分析判断是解题的关键．
3. 2021年3月20日至29日，“2021粤港澳大湾区深圳花展”将在深圳仙湖植物园开幕，届时将有7.1万m2的绝美花海，19个国家，5大主题，38座花园供游客欣赏．数据7.1万m2用科学记数法表示为（ ）
A. 71×104m2B. 7.1×104m2C. 7.1×105m2D. 0.71×105m2
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中0≤a<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：7.1万．
故选B．
【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示较大的数，正确的确定a和n的值是解答本题的关键．
4. 如图所示的是一个正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体，和“富”字一面相对面的字是（ ）
A. 强B. 明C. 文D. 主
【答案】C
【解析】
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，和“富”字所在面相对的面上的字是“文”．
故选：C
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
5. 某班抽取6名同学参加体能测试，成绩如下:80，90，75，75，80，80.下列表述错误的是( )
A. 众数是80B. 中位数是75C. 平均数是80D. 极差是15
【答案】B
【解析】
【详解】（1）80出现的次数最多，所以众数是80，A正确；
（2）把数据按大小排列，中间两个数为80，80，所以中位数是80，B错误；
（3）平均数是80，C正确；
（4）极差是90-75=15，D正确．故选B
6. 八年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车学生的速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据汽车的速度是骑车学生速度的2倍，得汽车的速度为2xkm/h，由一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达列得方程．
【详解】解：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，
可列方程为，
故选：C．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意确定题目中的等量关系是解题的关键，注意单位应统一，20min为．
7. 如图，⊙O的半径OC垂直于弦AB，D是优弧AB上的一点（不与点A，B重合），若∠BOC=50°，则∠ADC等于（ ）
A. 40°B. 30°
C. 25°D. 20°
【答案】C
【解析】
【分析】连接OA，根据垂径定理即可推出∠BOC=∠AOC=50°，然后根据圆周角定理即可推出∠ADC的度数．
【详解】解：连接OB，
∵⊙O的半径OC垂直于弦AB，∠BOC=50°，
∴∠BOC=∠AOC=50°，
∴∠ADC=∠AOC=25°．
故选：C．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，关键在于正确的做出辅助线，求出∠BOC=∠AOC=50°．
8. 如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP=6千米，则AB两点的距离为（ ）千米．
A. 4B. C. 2D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】证明AB=PB，在中，求出PC=千米，在中，解直角三角形可求出PB的长，则可得出答案
【详解】解：由题意知：，
在中，
千米
千米，
在中，
，
千米
千米
故选：D
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义及方向角是解题关键．
9. 如图，二次函数的图象的对称轴是直线，则以下四个结论中：①，②，③，④．正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由开口方向，对称轴方程，与轴的交点坐标判断的符号，从而可判断①②，利用与轴的交点位置得到＞，结合＜ 可判断③，利用当 结合图像与对称轴可判断④．
【详解】解：由函数图像的开口向下得＜
由对称轴为＞ 所以＞
由函数与轴交于正半轴，所以＞
＜ 故①错误；
，
故②正确；
由交点位置可得：＞，
＜
＞，
＜
＜ 故③错误；
由图像知：当
此时点在第三象限，
＜
＜ 故④正确；
综上：正确的有：②④，
故选B．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像与系数的关系，同时考查利用二次函数的图像判断代数式的符号，掌握以上知识是解题的关键．
10. 如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM、有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③CN=2AN；④∶=2∶5；⑤∠ADF=∠BMF．其中正确结论的个数为（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】①先由余角的性质得出∠ADF=∠DCE，根据“AAS”可证△ADF≌△DCE．
②根据AE=AF，∠NAF=∠NAE，AN=AN这三个条件，得出△ANF≌△ANE，即可得出结论．
③根据，得出CN与AN的比值，即可求出结果．
④连接CF，再设=1，即可得出与比值即可．
⑤延长DF与CB交于G，，得出△DEN与△MFB全等，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MB=BG=BC，进而得出结果．
【详解】解：①∵ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠DAF=∠EDC，
∵DF⊥CE，
∴∠EDM+∠DEM=90°，
∵∠DEM+∠DCE=90°，
∴∠ADF=∠DCE，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE，故正确；
②∵ABCD是正方形，
∴∠NAF=∠NAE，
∵△ADF≌△DCE，
∴DE=AF，
∵AE=DE，
∴AE=AF，
在△ANF和△ANE中
，
∴△ANF≌△ANE，
∴NF=NE，
∵NM⊥CE，
∴NE＞MN，
∴NF＞MN，故错误；
③∵，
∴∠CDN=∠NFA，∠DCN=∠NAF，
∴△DCN∽△FAN，
∴，
又∵△ADF≌△DCE，且四边形ABCD为正方形，
∴AF=AB=DC，
∴，
∴CN=2AN，故正确；
④连接CF，
设=1，
△DCN∽△FAN，
∴，
∴，
则=3，=2，
∴=6，
∴=5，
∴∶=2：5，故正确；
⑤延长DF与CB交于G，则∠ADF=∠G，根据②的结论F为AB中点，即AF=BF，
△DAF与△GBF中，
，
∴△DAF≌△GBF（AAS），
∴BG=AD，又AD=BC，
∴BC=BG，
∵DF⊥CE于M，
∴∠CMG=90°，
∴△CMG是直角三角形，
∴MB=BG=BC，
∴∠G=∠BMF，
因此∠ADF=∠BMF，故正确．
所以正确的有①③④⑤共4个．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了正方形性质问题，在解题时要注意全等三角形、相似等知识的综合利用，综合运用各知识点是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每题3分，5*3=15分）
11. 分解因式： _______________．
【答案】
【解析】
【分析】先提出公因式，再利用完全平方公式解答，即可求解．
【详解】解：
故答案为：
【点睛】本题主要考查了提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．
12. 如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点F，作，则周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】知道和是角平分线，就可以求出，的垂直平分线交于点F可以得到AF=FD，在直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半，再求出DE，得到．
【详解】解： 的垂直平分线交于点F，
（垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
∴
∵，是角平分线
∴
∵
∴，
∴
【点睛】此题考查角平分线的性质、直角三角形的性质、垂直平分线的性质的综合题，掌握运用三者的性质是解题的关键．
13. 将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“稻草人”中的“○”的个数，则第20个“稻草人”中有____个“○”．
【答案】385
【解析】
【详解】试题分析：分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为1+4=5；
第2个图形中小圆的个数为1+5+1=7；
第3个图形中小圆的个数为1+6+4=11；
第4个图形中小圆的个数为1+7+9=17；
…
∴第n个图形中小圆的个数为1+（n+3）+（n﹣1）2．
∴第20个“稻草人”中的“○”的个数为1+23+192=385，
考点：图形的变化规律以及数字规律
14. 定义新运算“”，规则：，如，若的两根分别为，，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】先通过因式分解法解方程，求出，，根据新定义的运算规则，的值为和中较大的那个数，由此可解．
【详解】解：方程，
分解因式得：，
解得：或，
则或．
故答案为：3．
【点睛】本题考查新定义运算和解一元二次方程，读懂题意，理解新定义的运算规则是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标原点，边在轴的负半轴上，，顶点的坐标为，反比例函数的图象与菱形对角线交于点，连接，当轴时，的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出OC=5，再利用菱形的性质得到AC=OB=OC=5，AC∥OB则B（-5,0），故而得到点A的坐标为（-8,4），再利用待定系数法确定直线OA的解析式为y=-x，则可确定D（-5,），将点D的坐标代入中可得到k的值.
【详解】过点C作CE⊥x轴于点E，
∵C,
∴OE=-a，CE=4，
∵=，
∴OE=3，OC=5，
∵四边形OBAC是菱形，
∴AC=OB=OC=5，AC∥OB
∴B（-5,0），A（-8,4），
设直线OA的解析式为y=mx，
将点A坐标代入得到-8m=4，解得m=-，
∴直线OA的解析式为y=-x，
当x=-5时，y=，
∴D（-5，），
将点D的坐标代入，
∴k==，
故答案为：.
【点睛】此题考查菱形的性质，锐角三角函数，待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，此题中根据菱形的性质求出点A的坐标是解题的关键.
三．解答题（共7小题）
16. 计算：.
【答案】5.
【解析】
【分析】将60°的正切值代入，再依次计算零次幂，负指数幂，化简二次根式，最后算加减法.
【详解】解：原式=
=
=
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟记特殊角度的三角函数值，掌握零次幂，负指数幂和二次根式的化简是解决本题的关键.
17. 先化简再求值：，其中．
【答案】；1
【解析】
【分析】先把分式化简后，再把的值代入求出分式的值即可．
【详解】原式
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练分解因式是解题的关键．
18. 某校对九年级学生进行一次综合文科中考模拟测试，成绩x分（x为整数）评定为优秀、良好、合格、不合格四个等级（优秀、良好、合格、不合格分别用A、B、C、D表示），A等级：90≤x≤100，B等级：80≤x＜90，C等级：60≤x＜80，D等级：0≤x＜60．该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调查，并绘制成如图不完整的统计图表．
请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：
（1）上表中的a ，b＝ ，m＝ ．
（2）本次调查共抽取了多少名学生？请补全条形图．
（3）若从D等级的4名学生中抽取两名学生进行问卷调查，请用画树状图或列表的方法求抽取的两名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）8，12，30%；（2）40名，补图见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意列式计算即可得到结论；
（2）用D等级人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）a＝16÷40%×20%＝8，b＝16÷40%×（1﹣20%﹣40%﹣10%）＝12，m＝1﹣20%﹣40%﹣10%＝30%；
故答案为：8，12，30%；
（2）本次调查共抽取了4÷10%＝40名学生；
补全条形图如图所示；
（3）将男生分别标记为A，B，女生标记为a，b，
∵共有12种等可能的结果，恰为一男一女的有8种，
∴抽得恰好为“一男一女”的概率为＝．
【点睛】此题考查了树状图法与列表法求概率以及条形统计图、扇形统计图应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19. 在“新冠病毒”防控期间，某益康医疗器械公司分两次购进酒精消毒液与测温枪两种商品进行销售，两次购进同一商品的进价相同，具体情况如下表所示：
（1）求酒精消毒液和测温枪两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）公司决定酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售．为满足市场需求，需购进这两种商品共1000件，且酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍，求该公司销售完上述1000件商品获得的最大利润．
【答案】（1）酒精消毒液的进价为10元，测温枪的进价为200元；
（2）该公司销售完这1000件商品获得的最大利润为元.
【解析】
【分析】（1）设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是，根据第一次购买30件酒精消毒液和40件测温枪的总费用为8300可以列出，根据第二次购买40件酒精消毒液和30件测温枪的总费用为6400可以列出，联立这两个方程即可求解；
（2）设购进酒精消毒液件，则购进测温枪件，销售完这1000件商品获得的利润为，根据酒精消毒液以每件20元出售，测温枪以每件240元出售，可以得到酒精消毒液每件的利润为10元，测温枪每件的利润为40元，由此可以求出利润的表达式；同时结合酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍列出不等式，即可求出的取值范围，从而求出最大利润；
【详解】（1）设酒精消毒液和测温枪每件的进价分别是元，y元
由题意可得：
解得：
酒精消毒液的进价为10元，测温枪的进价为200元
（2）设购进酒精消毒液件，则购进测温枪件，销售完这1000件商品获得的利润为
由题意可得：
酒精消毒液的数量不少于测温枪数量的4倍
解得：
利润是关于的一次函数，同时
随着的增大而减小
当时，有最大值为
该公司销售完这1000件商品获得的最大利润为元
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，同时结合一次函数的性质求最值，充分理解题意列出方程组，以及利润的表达式是求解本题的关键.
20. 如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，连接AD，点E是AD的中点，延长BE至F，使EF=BE，连接AF，CF，BF与AC交于点G，连接DG．
（1）求证：四边形ADCF是矩形．
（2）若AB=5，BC=6，求线段DG的长．
【答案】（1）见解析 （2）DG=
【解析】
【分析】（1）证△AEF≌△DEB（SAS），得AF=DB，∠AFE=∠DBE，证出，再由等腰三角形的性质得DB=DC，AD⊥BC，则AF=DC，∠ADC=90°，即可得出结论；
（2）过G作GH⊥CD于H，由勾股定理得AD=4，再证△AGF∽△CGB，得，则AG=CG，得AG=AC=，CG=AC-AG=，然后证△CGH∽△CAD，求出GH=AD=，CH=CD=2，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵点E是AD中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEB中，
∴△AEF≌△DEB（SAS），
∴AF=DB，∠AFE=∠DBE，
∴，
∵AB=AC，点D是BC中点，
∴DB=DC，AD⊥BC，
∴AF=DC，∠ADC=90°，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCF是矩形；
【小问2详解】
解：过G作GH⊥CD于H，如图所示：
则，
∵AB=AC=5，点D是BC中点，
∴AD⊥BC，BD=CD=BC=3，
∴AD===4，
由（1）得：AF=DC=BD=3=BC，，
∴△AGF∽△CGB，
∴，
∴AG=CG，
∴AG=AC=，
∴CG=AC-AG=，
∵，
∴△CGH∽△CAD，
∴，
∴GH=AD=，CH=CD=2，
∴DH=CD-CH=1，
∴DG==．
【点睛】此题主要考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
21. 如图1，等腰△ABC内接于⊙O，AC＝BC，CD⊥AB于点D，F为弧AB上的一个动点，连接CF交AB于点G，P为射线AB上的一个动点，连接PF，AF．
（1）求证：CF•CG＝CA2；
（2）如图1，若PG＝PF，求证：PF为⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，如图2，连接PC，若∠FAP＝∠PCB，AB＝CD＝4，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先判断出∠CAG＝∠CFA，进而得出△CAG∽△CFA，即可得出结论；
（2）连接OF，先判断出∠OFC＋∠PGF＝90°，再判断出∠PGF＝∠PFG，得出∠PFG＋∠OFC＝90°，即可得出结论；
（3）过点B作BM⊥PC于M，BN⊥FC于N，先判断出BC平分∠PCF，得出BM＝BN，再利用面积法判断出，BG＝x，BP＝y，则DG＝BD−BG＝2−x，DP＝BD＋BP＝2＋y，进而根据勾股定理得，CG2＝x2−4x＋20，CP2＝y2＋4y＋20，进而得出，化简即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵AC＝BC，
∴，
∴∠CAG＝∠CFA，
∵∠ACG＝∠FCA，
∴△CAG∽△CFA，
∴，
∴CA2＝CF•CG；
【小问2详解】
证明：如图1，连接OF，
∵OC＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC；
∵CD⊥AB，
∴∠CDG＝90°，
∴∠OCF+∠CGD＝90°，
∴∠OFC+∠CGD＝90°，
∵∠CGD＝∠PGF，
∴∠OFC+∠PGF＝90°，
∵PG＝PF，
∴∠PGF＝∠PFG，
∴∠PFG+∠OFC＝90°，
∴OF⊥PF，
又OF为半径，
∴PF为为⊙O的切线；
【小问3详解】
解：如图2，过点B作BM⊥PC于M，BN⊥FC于N，
∵∠PCB＝∠FAP＝∠FCB，
∴BC平分∠PCF，
∴BM＝BN，
∴＝，
∵＝，
∴=，
∵CD⊥AB，
∴BD＝AD＝AB＝2，
设BG＝x，BP＝y，
则DG＝BD﹣BG＝2﹣x，DP＝BD+BP＝2+y，
根据勾股定理得，CG2＝CD2+DG2＝42+（2﹣x）2＝x2﹣4x+20，CP2＝CD2+DP2＝42+（2+y）2＝y2+4y+20，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴xy＝5（y﹣x），
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线定理，判断出=是解本题的关键．
22. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上），发现BE=DG且BE⊥DG．小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答：
（1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如若不能，请说明理由：
（2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG．小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值．
【答案】（1）见解析；（2）当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立；理由见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据四边形ABCD和AEFG是正方形的性质证明△EAB≌△GAD即可；
（2）根据菱形AEFG和菱形ABCD的性质以及角的和差证明△EAB≌△GAD即可说明当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立；
（3）如图：连接EB，BD,设BE和GD相交于点H，先根据四边形AEFG和ABCD为矩形的性质说明△EAB∽△GAD，再根据相似的性质得到，最后运用勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD，
∵四边形AEFG为正方形
∴AE=AG，
∴
在△EAB和△GAD中有：
∴△EAB≌△GAD
∴BE=DG；
(2)当∠EAG=∠BAD时，BE=DG成立。
证明：∵四边形ABCD菱形
∴AB=AD
∵四边形AEFG为正方形
∴AE=AG
∵∠EAG=∠BAD
∴
∴
在△EAB和△GAD中有：
∴△EAB≌△GAD
∴BE=DG；
(3)连接EB，BD,设BE和GD相交于点H
∵四边形AEFG和ABCD为矩形
∴
∴
∵
∴△EAB∽△GAD
∴
∴
∴
∴
，
∴．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用所学知识是解答本题的关键．
等级
频数（人数）
频率
A
a
20%
B
16
40%
C
b
m
D
4
10%
A
B
a
b
A
（A，B）
（A，a）
（A，b）
B
（B，A）
（B，a）
（B，b）
a
（a，A）
（a，B）
（a，b）
b
（b，A）
（b，B）
（b，a）
项目
购进数量（件）
购进所需费用（元）
酒精消毒液
测温枪
第一次
30
40
8300
第二次
40
30
6400
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