2022-2023学年新疆伊犁州奎屯八中九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年新疆伊犁州奎屯八中九年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
B. 天气预报“明天降水概率10%”，是指明天有10%的时间会下雨
C. 一种福利彩票中奖率是千分之一，则买这种彩票1000张，一定会中奖
D. 连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上
3.方程4x2=81化成一元二次方程的一般形式后，其中的二次项系数、一次项系数和常数项分别是( )
A. 4，0，81B. −4，0，81C. 4，0，−81D. −4，0，−81
4.如图，已知C、D在以AB为直径的⊙O上，若∠CAB=30°，则∠D的度数是( )
A. 30°
B. 70°
C. 75°
D. 60°
5.若点A(x1,2)，B(x2,−1)，C(x3,4)都在反比例函数y=8x的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A. x16.用圆心角为90°，半径为16cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(接缝不计)，如图，则这个纸帽的底面半径为( )
A. 8cmB. 4cmC. 16cmD. 2cm
7.一件商品的标价为108元，经过两次降价后的销售价是72元，求平均每次降价的百分率．若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程( )
A. 108x2=72B. 108(1−x2)=72C. 108(1−x)2=72D. 108−2x=72
8.如图，正方形OA、OC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D(3,2)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( )
A. (1,6)
B. (−1,0)
C. (1,6)或(−1,0)
D. (6,1)或(−1,0)
9.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D(−1,3)，与x轴的一个交点在(−3,0)和(−2,0)之间，其部分图象如图，则以下结论：
①b2−4ac>0；②c−a=3；③a+b+c<0；④方程ax2+bx+c=m(m≥2)一定有实数根，其中正确的结论为( )
A. ②③
B. ①③
C. ①②③
D. ①②④
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.若点M(3,a−2)与N(−3,a)关于原点对称，则a=______．
11.在半径为10cm的⊙O中，弦AB的长为16cm，则点O到弦AB的距离是______cm．
12.关于x的方程x2−ax−3a=0的一个根是−2，则它的另一个根是______．
13.布袋中装有4个红球和3个黑球，它们除颜色外没有任何其他区别，小红从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是______．
14.有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了 人．
15. 如图，若反比例函数y1=kxk≠0与一次函数y2=ax+b交于A、B两点，当y1三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.如图，AB为⊙O的直径，弦CD垂直平分OB于点E，点F在AB延长线上，∠AFC=30°．
(1)求证：CF为⊙O的切线．
(2)若半径ON⊥AD于点M，CE= 3，求图中阴影部分的面积．
四、解答题：本题共6小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
解方程：
(1)x2−7x−1=0；
(2)2(x−3)=3x(x−3)．
18.(本小题11分)
如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△AOB的顶点均在格点上，点O为原点，点A，B的坐标分别是A(3,2)，B(1,3)．
(1)若将△AOB向下平移3个单位，则点B的对应点坐标为______；
(2)将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1，请在图中作出△A1OB1，并求出这时点A1的坐标为______；
(3)求旋转过程中，线段OA扫过的图形的弧长．
19.(本小题12分)
根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：90分钟以上；B：60～90分钟；C：30～60分钟；D：30分钟以下．并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题：
(1)接受问卷调查的学生共有______人；
(2)求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；
(3)全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有多少人？
(4)学校从“A”层级的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，则恰好抽到1名男生和1名女生的概率是多少？
20.(本小题10分)
某百货商店服装在销售过程中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件，当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？
21.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b(a≠0)的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于C，D两点，DE⊥x轴于点E，点C的坐标为(6,−1)，DE=3．
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)若点P在反比例函数图象上，且△POA的面积等于8，求P点的坐标．
22.(本小题10分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3,0)，B(1,0)两点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求△DBC的周长；
(3)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选A．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数不一定是500次，故原说法错误，不合题意；
B、天气预报“明天降水概率10%”，是指明天下雨的可能性是10%，故原说法错误，不合题意；
C、一种福利彩票中奖率是千分之一，但买这种彩票1000张，也不一定会中奖，故原说法错误，不合题意；
D、连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上，正确．
故选：D．
直接利用概率的意义分别分析得出答案．
此题主要考查了概率的意义，正确掌握概率的实际意义是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：方程整理得：4x2−81=0，
二次项系数为4；一次项系数为0，常数项为−81，
故选：C．
方程整理后为一般形式，找出二次项系数、一次项系数和常数项即可．
此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
4.【答案】D
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=30°，
∴∠B=90°−∠CAB=60°，
∴∠D=∠B=60°．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】解：点A(x1,2)，B(x2,−1)，C(x3,4)都在反比例函数y=8x的图象上，
∴x1=82=4，x2=8−1=−8，x3=84=2．
∴x2故选：B．
根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
本题考查反比例函数图象点的坐标特征，根据函数解析式求出三个点的横坐标是求解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：设这个纸帽的底面半径为r，
根据题意得2πr=90⋅π⋅16180，解得r=4，
所以这个纸帽的底面半径为4cm．
故选B．
设这个纸帽的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=90⋅π⋅16180，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
7.【答案】C
【解析】解：第一次降价后的价格为108×(1−x)，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为：
108×(1−x)×(1−x)，
则列出的方程是108(1−x)2=72．
故选：C．
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×(1−降低的百分率)=72，把相应数值代入即可求解．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
8.【答案】C
【解析】解：分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况(如图所示)：
①顺时针旋转时，点B′与点O重合，
∵点D(3,2)，四边形OABC为正方形，
∴OA=BC=3，BD=1，
∴点D′的坐标为(−1,0)；
②逆时针旋转时，点B′落在y轴正半轴上，
∵OC=BC=3，BD=1，
∴点B′的坐标为(0,6)，点D′的坐标为(1,6)．
故选：C．
分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况考虑：①顺时针旋转时，由点D的坐标利用正方形的性质可得出正方形的边长以及BD的长度，由此可得出点D′的坐标；②逆时针旋转时，找出点B′落在y轴正半轴上，根据正方形的边长以及BD的长度即可得出点D′的坐标．综上即可得出结论．
本题考查了正方形的性质以及坐标与图形变化中的旋转，分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况考虑是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，所以①正确；
∵抛物线的顶点为D(−1,3)，
∴a−b+c=3，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b=2a，
∴a−2a+c=3，即c−a=3，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，
∴当x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，所以③正确；
∵抛物线的顶点为D(−1,3)，
∵当x=−1时，二次函数有最大值为3，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，
∵m≥2，
∴方程ax2+bx+c=m(m>3)一定没有实数根，所以④错误．
故选：C．
由抛物线与x轴有两个交点得到b2−4ac>0；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=−1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间，所以当x=1时，y<0，则a+b+c<0；由抛物线的顶点为D(−1,3)，得a−b+c=3，由抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−1，得b=2a，所以c−a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=−1时，二次函数有最大值为3，即ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，而当m>3时，方程ax2+bx+c=m没有实数根．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−b2a；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)；当b2−4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2−4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
10.【答案】1
【解析】解：由题意得：a−2+a=0，
解得：a=1，
故答案为：1．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a−2+a=0，再解即可．
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标关于原点对称的点的坐标特点．
11.【答案】6
【解析】解：连接OA，作OC⊥AB于C，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=12AB=8，
在Rt△AOC中，OC= OA2−AC2= 102−82=6，
即点O到弦AB的距离为6cm．
故答案为6．
连接OA，作OC⊥AB于C，如图，根据垂径定理得到AC=BC=12AB=8，然后根据勾股定理计算OC的长即可．
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
12.【答案】6
【解析】解：设方程的两根为x1，x2，
由题意知x1+x2=−2+x2=a，x1x2=−2x2=−3a，
解得：a=4，x2=6，
∴另一根为6．
故填空答案：6．
首先根据根与系数的关系建立另一根和a的方程，然后解方程求出另一根．
此题主要利用了根与系数的关系，一元二次方程根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1x2=ca，要正确记住其形式．
13.【答案】47
【解析】解：∵布袋中装有4个红球和3个黑球，
∴从中任意摸出一个球，则摸出红球的概率是44+3=47，
故答案为47．
让红球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．
14.【答案】12
【解析】解：设平均一人传染了x人，
x+1+(x+1)x=169
x=12或x=−14(舍去)．
平均一人传染12人．
故答案为：12．
设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有169人患了流感，列方程求解．
本题考查一元二次方程的应用，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解．
15.【答案】−12
【解析】解：观察图象可知，当y12．
故答案为：−12．
写出反比例函数的图象在一次函数的图象下方的自变量的取值范围即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
16.【答案】(1)证明：∵CD垂直平分OB，∴OE=12OB，∠CEO=90°，
∵OB=OC，
∴OE=12OC，
在Rt△COE中，sin∠ECO=EOOC=12，
∴∠ECO=30°，
∴∠EOC=60°，
∵∠CFO=30°，
∴∠OCF=90°，又OC是⊙O的半径，
∴CF是⊙O的切线；
(2)解：由(1)可得∠COF=60°，
由圆的轴对称性可得∠EOD=60°，∴∠DOA=120°，
∵OM⊥AD，OA=OD，∴∠DOM=60°．
在Rt△COE中，CE= 3，∠ECO=30°，cs∠ECO=ECOC，
∴OC=2，
在Rt△ODM中，OD=2，∠ADO=30°，
∴OM=ODsin30°=1，MD=ODcs30°= 3，
∴S扇形OND=60π×22360=23π，
∴S△OMD=12OM⋅DM= 32，
∴S阴影=S扇形OND−S△OMD=23π− 32．
【解析】(1)由CD垂直平分OB，得到E为OB的中点，且CD与OB垂直，又OB=OC，可得OE等于OC的一半，在直角三角形OEC中，根据锐角三角函数的定义，得到sin∠ECO的值为12，可得∠ECO为30°，进而得到∠EOC为60°，又∠CFO为30°，可得∠OCF为直角，由OC为圆O的半径，可得CF为圆的切线；
(2)由(1)得出的∠COF=60°，根据对称性可得∠EOD为60°，进而得到∠DOA=120°，由OA=OD，且OM与AD垂直，根据“三线合一”得到∠DOM为60°，在直角三角形OCE中，由CE的长及∠ECO=30°，可求出半径OC的长，又在直角三角形OMD中，由∠MDO=30°，半径OD=2，可求出MD及OM的长，然后利用扇形ODN的面积减去三角形ODM的面积即可求出阴影部分的面积．
此题考查了切线的判定，直角三角形的性质，锐角三角形函数定义，等腰三角形的性质，以及直角三角形和扇形面积的公式，切线的判定方法为：有点连接证垂直；无点作垂线，证明垂线段长等于半径．对于不规则图形的面积的求法，可利用转化的思想，把不规则图形的面积化为规则图形来求，例如本题就是用扇形的面积减去直角三角形的面积得到阴影部分面积的．
17.【答案】解：(1)x2−7x−1=0，
∴a=1，b=−7，c=−1，
∴Δ=(−7)2−4×1×(−1)=53>0；
∴x=7± 532，
∴x1=7+ 532，x2=7− 532；
(2)2(x−3)=3x(x−3)，
∴2(x−3)−3x(x−3)=0，
∴(2−3x)(x−3)=0，
∴x−3=0或2−3x=0，
∴x1=3，x2=23．
【解析】(1)公式法解一元二次方程；
(2)因式分解法解一元二次方程．
本题考查解一元二次方程．解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，注意使用公式法的时候，要先检验判别式．
18.【答案】(1,0) (−2,3)
【解析】解：(1)点B的对应点坐标为(1,0)，
故答案为：(1,0)；
(2)如图，△A1OB1即为所求，这时点A1的坐标为(−2,3)，
故答案为：(−2,3)；
(3)∵OA= 22+32= 13，
∴线段OA扫过的图形的弧长=90π⋅ 13180= 13π2．
(1)利用平移变换的性质解决问题即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点A1，B1即可；
(3)利用勾股定理求出OA，利用弧长公式求解即可．
本题考查作图−旋转变换，平移变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
19.【答案】40
【解析】解：(1)接受问卷调查的学生共有：16÷40%=40(人)，
故答案为：40；
(2)扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为：360°×840=72°，
“B”层级的人数为：40−6−16−8=10(人)，
补全条形统计图如下：
(3)估计“A”层级的学生约有：1500×640=225(人)；
(4)画树状图得：
共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，
∴恰好抽到1个男生和1个女生的概率为1220=35，
(1)由“C”等级的人数除以所占百分比即可；
(2)由360°乘以“D”等级的人数所占的比例得出扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，再求出B”层级的人数，补全条形统计图即可；
(3)由全校共有学生人数乘以“A”层级的学生所占的比例即可；
(4)画树状图，共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图、扇形统计图等知识．
20.【答案】解：设每件童装降价x元，利润为y元，
由题意，得：y=(40−x)(20+2x)=−2(x−15)2+1250，
∴当x=15时，y取得最大值，此时y=1250元，
答：每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元．
【解析】根据题意可以得到利润与所将价格的关系式，根据二次函数的性质求最值即可．
本题考查的是二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出二次函数的解析式，根据二次函数的性质求最值．
21.【答案】解：(1)∵点C(6,−1)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，
∴k=6×(−1)=−6，
∴反比例函数的关系式为y=−6x，
∵点D在反比例函数y=−6x上，且DE=3，
∴y=3，代入求得：x=−2，
∴点D的坐标为(−2,3)．
∵C、D两点在直线y=ax+b上，则6a+b=−1−2a+b=3，解得a=−12b=2，
∴一次函数的关系式为y=−12x+2；
(2)设点P的坐标是(m,n)．
把y=0代入y=−12x+2，解得x=4，
即A(4,0)，则OA=4，
∵△POA的面积等于8，
∴12×OA×|n|=8，
解得：|n|=4，
∴n1=4，n2=−4，
∴点P的坐标是(−32,4)，(32,−4)．
【解析】(1)用待定系数法求出反比例函数表达式，进而求出点D的坐标，再利用待定系数法求出一次函数表达式即可求解；
(2)设点P的坐标是(m,n)，根据三角形面积公式求得即可．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)把A(−3,0)，B(1,0)代入解析式得，
9a−3b+3=0a+b+3=0，
解得a=−1b=−2，
∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+3；
(2)过点C作CE⊥DH于点E，
∵抛物线的解析式为y=−x2−2x+3，
∴顶点坐标D(−1,4)，C(0,3)，
∴DE=1，CE=1，
∴CD= 2，
∵DH=4，BH=2，
∴BD=2 5，
∵OB=1，OC=3，
∴BC= 10，
∴△DBC的周长=CD+BC+BD= 2+ 10+2 5；
(3)△PBC的周长为：PB+PC+BC，且BC是定值，
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，
∵点A、B关于直线l对称，
∴连接AC交直线l于点P，此时PB+PC值最小，
∵AP=BP，
∴△PBC的周长最小值为：PB+PC+BC=AC+BC，
∵A(−3,0)，B(1,0)，C(0,3)，
∴OA=3，OB=1，OC=3，
∴AC=3 2，BC= 10，
∴△PBC的周长最小值是：3 2+ 10．

【解析】(1)代入A、B两点坐标，求出a、b的值即可；
(2)过点C作CE⊥DH于点E，利用B、C、D三点坐标求出CD、BC和BD的长即可求出△DBC的周长；
(3)先利用对称性找出△PBC周长最小时点P的位置，此时AP=BP，△PBC的周长最小值为：PB+PC+BC=AC+BC，根据勾股定理求出AC、BC的长即可求出△PBC最小值．
本题主要考查利用待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象中三角形周长最值问题，解题的关键是能够确定△PBC的周长最小时点P的位置．