2022-2023学年河南省信阳市平桥区龙井乡中心学校等五校九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省信阳市平桥区龙井乡中心学校等五校九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y=3(x+2)2−6的顶点坐标是( )
A. (−2,6)B. (−2,−6)C. (2,6)D. (2,−6)
2.在平面直角坐标系中，以原点为圆心的⊙O半径是4，点P的坐标为(3,4)，则点P与⊙O的位置关系是( )
A. 点P在圆内B. 点P在圆上C. 点P在圆外D. 不能确定
3.图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是( )
A. ①
B. ②
C. ③
D. ④
4.如图，在平面直角坐标系中，将△ABC绕A点逆时针旋转90°后，B点对应点的坐标为( )
A. (1,3)
B. (0,3)
C. (1,2)
D. (0,2)
5.如图随机闭合开关K1、K2、K3中的两个，能让灯泡L1、L2至少一盏发光的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
6.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为( )
A. 35×20−35x−20x+2x2=600B. 35×20−35x−2×20x=600
C. (35−2x)(20−x)=600D. (35−x)(20−2x)=600
7.如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA.若∠P=36°，且PA与⊙O相切，则此时∠B等于
( )
A. 27°B. 32°C. 36°D. 54°
8.如图，函数y=kx+b(k≠0)与y=mx(m≠0)的图象交于点A(−2,3)，B(1,−6)两点，则不等式kx=mx+b>0的解集为( )
A. x>−2
B. −21
C. x>1
D. x<−2或09.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，点P是CD上的任意一点，则∠APB的大小是( )
A. 15°
B. 30°
C. 45°
D. 60°
10.足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间t(单位：s)之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=92；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m.其中正确结论的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2−5x+4=0的两根，则该等腰三角形的周长是______ ．
12.双曲线y=1x有三个点(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)若x1<013.设x1，x2是关于x的方程x2+3x−m=0的两个根，且2x1=x2，则m= ．
14.三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，已知每个方格的边长为1，则图中阴影部分面积为______ ．
15.如图，△OA1B1，△A1A2B2，△A2A3B3，…是分别以A1，A2，A3，…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点C1(x1,y1)，C2(x2,y2)，C3(x3,y3)，…均在反比例函数y=4x(x>0)的图象上，则y1+y2+…+y100的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题9分)
(1)选择适当的方法解方程：x2−6x−18=0；
(2)对于任意实数a，b，定义f(a,b)=a2+5a−b，如f(2,3)=22+5×2−3，若f(x,2)=4，求实数x的值．
17.(本小题9分)
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个㴶位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,4)，B(1,1)，C(3,1)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；
(3)在(2)的条件下，求点B旋转到B2经过的路径长(结果保留π)．
18.(本小题9分)
某校在课后服务中，成立了以下社团：A.计算机，B.围棋，C.篮球，D.书法每人只能加入一个社团，为了解学生参加社团的情况，从参加社团的学生中随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，其中图1中D所占扇形的圆心角为150°．

请结合图中所给信息解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有______ 人；
(2)请你将条形统计图补充完整；
(3)若该校共有1800学生加入了社团，请你估计这1800名学生中有多少人参加了篮球社团；
(4)在书法社团活动中，由于甲、乙、丙、丁四人平时的表现优秀，恰好四位同学中有两名是男同学，两名是女同学.现决定从这四人中任选两名参加全市书法大赛，用画树状图求恰好选中一男一女的概率．
19.(本小题9分)
如图，反比例函数y=kx的图象与正比例函数y=14x的图象交于点A和B(4,1)，点P(1,m)在反比例函数y=kx的图象上．
(1)求反比例函数的表达式和点P的坐标；
(2)求△AOP的面积．
20.(本小题9分)
如图，∠PAQ是直角，半径为5的⊙O经过AP上的点T，与AQ相交于B，C两点，且TB平分∠OBA．
(1)求证：AP是⊙O的切线；
(2)已知AT=4，试求BC的长．
21.(本小题9分)
某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销，据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售价单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
(1)写出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2mx+2m2−m的顶点为A．
(1)求顶点A的坐标(用含有字母m的代数式表示)；
(2)若点B(2,yB)，C(5,yC)在抛物线上，且yB>yC，则m的取值范围是______ ；(直接写出结果即可)
(3)当1≤x≤3时，函数y的最小值等于6，求m的值．
23.(本小题11分)
(1)问题发现
如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数.针对此问题，数学王老师给出了下面的思路：如图2，将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′B，连接PP′，得到等边三角形△APP′，在△BPP′中，根据三角形三边关系以及勾股定理……请根据王老师的思路提示，完成本题的解答；
(2)类比延伸
如图3，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD=135°，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：抛物线y=3(x+2)2−6的顶点坐标是(−2,−6)，
故选：B．
根据顶点式y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)求解即可．
本题考查了二次函数顶点式y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵点P的坐标是(3,4)，
∴由勾股定理可得点P到圆心的距离d=OP= 32+42=5，
又⊙O半径r=4，
∴d>r
∴点P在⊙O内外，
故选：C．
先利用勾股定理求出点P到原点的距离d，再判断d与半径r的大小关系，从而得出答案．
本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握点与圆的3种位置关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外⇔d>r，点P在圆上⇔d=r，点P在圆内⇔d3.【答案】C
【解析】解：当正方形放在③的位置，即是中心对称图形．
故选：C．
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案．
此题主要考查了中心对称图形的定义，正确把握定义是解题关键．
4.【答案】D
【解析】解：如图，△ABC绕A点逆时针旋转90°后，B点对应点的坐标为(0,2)．
故选D．
根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小作出图形，然后解答即可．
本题考查了坐标与图形的变化−旋转，作出图形，利用数形结合求解更加简便．
5.【答案】D
【解析】解：画树状图，如图所示：
共有6种等可能的情况数，其中能让灯泡L1、L2至少一盏发光的有4种，
则能让灯泡L1、L2至少一盏发光的概率为46=23．
故选：D．
找出随机闭合开关K1、K2、K3中的两个的情况数以及能让两盏灯泡能让灯泡L1、L2至少一盏发光的情况数，即可求出所求概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为(35−2x)米，宽为(20−x)米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】
解：依题意，得：(35−2x)(20−x)=600，即35×20−35x−40x+2x2=600．
故选：C．
7.【答案】A
【解析】解：∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠AOP=90°−∠P=54°，
∵OB=OC，
∴∠AOP=2∠B，
∴∠B=12∠AOP=27°，
故选：A．
先利用切线的性质求出∠AOP=54°，再利用等腰三角形的性质即可得出结论．
此题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，求出∠AOP是解本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：∵函数y=kx+b(k≠0)与y=mx(m≠0)的图象相交于点A(−2,3)，B(1,−6)两点，
∴不等式kx+b>mx的解集为：x<−2或0故选：D．
结合图象，求出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用．
9.【答案】B
【解析】【分析】
由正六边形的性质得出∠AOB=60°，由圆周角定理求出∠APB=30°．
本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出∠AOB=60°是解决问题的关键．
【解答】
解：连接OA、OB、如图所示：
∵∠AOB=360°6=60°，
∴∠APB=12∠AOB=30°，
故选B．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查二次函数的应用．由题意，抛物线经过(0,0)，(9,0)，所以可以假设抛物线的解析式为h=at(t−9)，把(1,8)代入可得a=−1，可得h=−t2+9t=−(t−4.5)2+20.25，由此即可一一判断．
【解答】
解：根据抛物线的对称性可得抛物线经过(9,0)，设抛物线的解析式为h=at(t−9)，把(1,8)代入可得a=−1，
∴h=−t2+9t=−(t−4.5)2+20.25，
∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误，
∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确，
∵t=9时，h=0，
∴足球被踢出9s时落地，故③正确，
∵t=1.5时，h=11.25，故④错误．
∴正确的有②③．
11.【答案】9
【解析】解：x2−5x+4=0，
(x−1)(x−4)=0，
所以x1=1，x2=4，
当1是腰时，三角形的三边分别为1、1、4，不能组成三角形；
当4是腰时，三角形的三边分别为4、4、1，能组成三角形，周长为4+4+1=9．
故答案是：9．
利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解．
本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论求解．
12.【答案】y1【解析】解：∵双曲线y=1x中k=1>0，
∴此函数的图象在一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵x1<0∴y1<0，y2>y3>0，
∴y1故答案为：y1根据双曲线y=1x中k=1>0，可判断出此函数的图象在一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，结合x1<0本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的图象与系数的关系以及反比例函数的增减性是解此题的关键．
13.【答案】−2
【解析】【分析】
本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握相关等式是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系，列方程即可解答．
【解答】
解：∵x1，x2是关于x的方程x2+3x−m=0的两个根，
∴x1+x2=−3，x1⋅x2=−m，
∵2x1=x2，
∴x1+2x1=−3，解得x1=−1，
∴x2=−2，
∴m=−x1⋅x2=−2
故答案为：−2．
14.【答案】5π−104
【解析】解：连接OC，在Rt△OBC中，由勾股定理得OC= BC2+OB2= 12+32= 10，
由正方形的性质得∠AOB=45°，
∴S扇形OEF=45π( 10)2360=5π4，S梯形OBCA=2+32=52，
∴S阴影=S扇形OEF−S梯形OBCA=5π4−52=5π−104．
故答案为5π−104．
连接OC，先求出OC长和∠AOB的度数，再根据扇形的面积公式和梯形的面积公式求出即可．
本题考查了扇形的面积，勾股定理和正方形的性质，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
15.【答案】20
【解析】【分析】
考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
根据反比例函数关系式，可求点C1的坐标，确定y1，由点C1是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到OA1的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定y2，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定y3，……，然后再求和．
【解答】
解：过C1、C2、C3…分别作x轴的垂线，垂足分别为D1、D2、D3…，
则∠OD1C1=∠OD2C2=∠OD3C3=90°，
∵三角形OA1B1是等腰直角三角形，
∴∠A1OB1=45°，
∴∠OC1D1=45°，
∴OD1=C1D1，
其斜边的中点C1在反比例函数y=4x，
∴C1(2,2)，即y1=2，
∴OD1=D1A1=2，
∴OA1=2OD1=4，
设A1D2=a，则C2D2=a，此时C2(4+a,a)，代入y=4x得：a(4+a)=4，
解得：a=2 2−2，即：y2=2 2−2，
同理：y3=2 3−2 2，
y4=2 4−2 3，
……
y100=2 100−2 99，
∴y1+y2+…+y100
=2+2 2−2+2 3−2 2+2 4−2 3+…+2 100−2 99
=2 100
=20，
故答案为20．
16.【答案】解；(1)x2−6x−18=0，
x2−6x=18，
x2−6x+9=27，
(x−3)2=27，
x−3=±3 3，
所以x1=3+3 3，x2=3−3 3；
(2)∵f(x,2)=4，
∴x2+5x−2=4，
x2+5x=6，
x2+5x+254=494，
(x+52)2=494，
x+52=±72，
所以x1=1，x2=−6．
【解析】(1)利用配方法得到(x−3)2=27，然后利用直接开平方法解方程；
(2)先根据新定义得到x2+5x−2=4，再利用配方法得到(x+52)2=494，，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程−配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
17.【答案】解：(1)△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如下图所示；

(2)△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2如上图所示；
(3)如上图，扇形OBB2的半径OB= 12+12= 2，
则扇形OBB2的弧长为：90π 2180= 22π，
即B点旋转到B2经过的路径长为 22π．
【解析】(1)利用轴对称的性质画出图形即可；
(2)利用旋转变换的性质画出图形即可；
(3)点B旋转到B2经过的路径长即为圆弧长，根据弧长公式计算即可．
本题考查了利用轴对称和旋转变换作图，扇形弧长公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
18.【答案】360
【解析】解：(1)∵D所占扇形的圆心角为150°，
∴这次被调查的学生共有：150÷150360=360(人)；
故答案为：360．
(2)C组人数为：360−120−30−150=60(人)，
故补充条形统计图如下图：
(3)1800×60360=300(人)，
答：这1800名学生中有300人参加了篮球社团，
(4)设甲乙为男同学，丙丁为女同学，画树状图如下：
∵一共有12种可能的情况，恰好选择一男一女有8种，
∴P(一男一女)=812=23．
(1)由D的人数除以所占比例即可；
(2)求出C的人数，即可解决问题；
(3)由该校共有学生人数除以参加篮球社团的学生所占的比例即可；
(4)画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好选中一男一女的结果有8种再由概率公式求解即可．
此题考查了用树状图法求概率、扇形统计图、条形统计图以及用样本估计总体，画树状图法求概率，根据条形统计图和扇形统计图获取信息和数据与正确画树状图是解题的关键．
19.【答案】解．(1)把点B(4,1)代入y=kx，得k=4，
∴反比例函数的表达式为y=4x，
∵把P(1,m)代入y=4x得：m=41=4，
∴点P坐标为(1,4)；
(2)∵点A与点B关于原点对称，点B(4,1)，
∴点A(−4,−1)，
设AP与y轴交于点C，直线AP的函数关系式为y=ax+b，
把点A(−4,−1)、P(1,4)分别代入得，−4a+b=−1a+b=4，解得a=1b=3，
∴直线AP的函数关系式为y=x+3，
∴点C的坐标(0,3)，
∴S△AOP=S△AOC+S△POC=12×3×4+12×3×1=152．
【解析】(1)根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式，然后把P(1,m)代入到求得的解析式，即可求得m的值；
(2)根据函数的对称性求得A的坐标，即可根据待定系数法求得直线AP的解析式，从而求得直线AP与y轴的交点C的坐标，然后根据S△AOP=S△AOC+S△POC求得即可．
本题考查了反比例函数的图象和性质，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：连接OT，
∵OT=OB，
∴∠OTB=∠OBT．
∵TB平分∠OBA，
∴∠OBT=∠TBA，
∴∠OTB=∠TBA，
∴AB//OT，
∵∠PAB是直角，即AQ⊥AP，
∴OT⊥AP，
∵OT是⊙O的半径，
∴AP是切线；
(2)解：过点O作OM⊥BC于点M，则四边形OMAT是矩形，
∴OM=AT=4，BM=CM，
在Rt△OBM中，OB=5，OM=AT=4，
BM= OB2−OM2 52−42=3，
∴BC=6．
【解析】(1)连接OT，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义证得∠OTB=∠TBA，进而得到AB//OT，即可证得结论；
(2)过点O作OM⊥BC于点M，在Rt△OBM中，利用OB=5，OM=AT=4，根据勾股定理求出BM，即可求出BC．
本题主要考查了切线的性质定理，垂径定理，等腰直角三角形，正确作出辅助线是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)根据题意可得：
y=(x−50)[50+5×(100−x)]
=(x−50)(−5x+550)
=−5x2+800x−27500，
∵每件的成本是50元，销售单价是100元，降价后的销售单价不得低于成本，
∴50≤x≤100，
∴y与x之间的函数关系式为：y=−5x2+800x−27500(50≤x≤100)；
(2)y=−5x2+800x−27500=−5(x−80)2+4500，
∵a=−5<0，
∴抛物线开口向下，
∵50≤x≤100，对称轴为直线x=80，
∴当x=80时，y取最大值，最大值为4500，
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元；
(3)当销售利润等于4000元时，−5(x−80)2+4500=4000，
解得x1=70，x2=90，
∴70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元，
∵企业每天的总成本不超过7000元，
∴50×[50+5×(100−x)]≤7000，
解得x≥82，
∴82≤x≤90，
∵50≤x≤100，
∴82≤x≤90，
∵抛物线的对称轴为直线x=80，且a=−5<0，
∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x增大而减小．
∴当x=82时，y有最大值，最大值为−5×(82−80)2+4500=4480，
即销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元．
【解析】(1)根据“利润=(售价−成本)×销售量”列出二次函数解析式即可；
(2)将二次函数一般式变为顶点式，结合自变量取值范围即可求出最值；
(3)每天的销售利润不低于4000元，根据二次函数与不等式的关系求出x的取值范围，再根据每天的总成本不超过7000元，50≤x≤100，求出x的取值范围，进而求二次函数的最值即可．
本题考查二次函数的实际应用，二次函数与一元二次方程的关系，求二次函数的最值等，解题的关键是根据销量、售价、成本、利润之间的关系正确列出二次函数关系式．
22.【答案】解：(1)解法一：
y=x2+2mx+2m2−m
=(x+m)2−m2+2m2−m
=(x+m)2+m2−m，
∴顶点A(−m,m2−m)，
解法二：
∵x=−2m2×1=−m，
∴代入关系式得，y=(−m)2+2m(−m)+2m2−m=m2−m，
∴顶点A(−m,m2−m)，
(2)m<−3.5；
(3)分三种情况讨论：
①当对称轴x=−m≤1即m≥−1时，如图，
当x=1时，y=6，
∴6=1+2m+2m2−m，
整理得，2m2+m−5=0，
解得，m1= 41−14，m2=− 41−14(舍去)，
∴m= 41−14，
②当1<−m≤3即−3≤m<−1时，如图，
当x=−m，y=6，
∴6=m2−m，
整理得，m2−m−6=0，
解得，m1=−2，m2=3(舍)，
∴m=−2，
③当−m>3即m<−3时，如图，
当x=3时，y=6，
∴6=9+6m+2m2−m，
整理得，2m2+5m+3=0，
解得，m1=−1,m2=−32(两个都舍去)，
综上所述：m=−2或m= 41−14．

【解析】解：(1)见答案
(2)∵2+52=3.5，a=1开口向上，如图，
∴当对称轴大于3.5时满足题意，
∴−m>3.5，
∴m<−3.5，
故答案为：m<−3.5；
(3)见答案
(1)利用配方法或者利用对称轴公式求解即可，
(2)根据题意可得，当对称轴大于3.5时满足题意，即可得到答案，
(3)分三种情况进行讨论，对称轴在1左侧，在1和3之间，在3右侧，然后求出m的值进行取舍即可得到答案．
本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数图像上点的坐标特点，二次函数的最值，熟练掌握配方法和公式法是解第(1)问的关键，熟练掌握二次函数的性质进行分类讨论是本题的难点．
23.【答案】解：(1)如图2，将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，
则△APP′为等边三角形，P′B=PC=5，
∴∠APP′=60°，PP′=PA=3，
∵PB=4，
∴P′P2+PB2=P′B2．
∴△BPP′为直角三角形．
∴∠APB=∠BPP′+∠APP′=90°+60°=150°．
即∠APB的度数为150°；
(2)2PA2+PD2=PB2.理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
如图3，把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′，连接PP′．
则P′B=PD，P′A=PA，∠PAP′=90°，∠AP′B=∠APD=135°，
∴△APP′是等腰直角三角形，
∴PP′2=PA2+P′A2=2PA2，∠PP′A=45°，
∵∠APD=135°，
∴∠AP′B=∠APD=135°，
∴∠PP′B=∠AP′B−∠PP′A=135°−45°=90°，
在Rt△PP′B中，由勾股定理得：PP′2+P′B2=PB2，
∴2PA2+PD2=PB2．
【解析】(1)将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形，P′B=PC=5，则∠APP′=60°，PP′=PA=3，再由勾股定理的逆定理证明△BPP′为直角三角形，且∠BPP′=90°，即可得到∠APB的度数；
(2)把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′，连接PP′.由旋转的性质得P′B=PD，P′A=PA，∠PAP′=90°，∠AP′B=∠APD=135°，再证△APP′是等腰直角三角形，得PP′2=2PA2，∠PP′A=45°，然后证∠PP′B=90°，利用勾股定理即可解决问题．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理和勾股定理的逆定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质以及旋转的性质是解题的关键，属于中考常考题型． t
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