2023-2024学年河南省信阳市平桥区九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省信阳市平桥区九年级（上）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.方程x2=3x的解是( )
A. x=3B. x=0
C. x1=3，x2=0D. x1=−3，x2=0
2.一个不透明的袋子里装有黄球18个和红球若干，小明涌过多次描迪试验后发现摸到红球的频率稳定在0.4左右，则袋子里有红球个．( )
A. 12B. 15C. 18D. 24
3.如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化.电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图2所示.下列结论正确的是( )
A. I=200RB. 当I>10时，R>22
C. 当I=5时，R=40D. 当I>2时，04.如图，在⊙O中，半径OA，OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若∠ABC=20°，则∠BAC=( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 45°
5.将抛物线y=x2+2x−3的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式是( )
A. y=(x−1)2−1B. y=(x−1)2−7C. y=(x+3)2−7D. y=(x+3)2−1
6.如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型.若圆的半径为1，扇形的圆心角等于90°，则扇形的半径是( )
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
7.下列说法：
①有一个角等于30°的两个等腰三角形相似；
②有一个角等于120°的两个等腰三角形相似；
③相似三角形一定不是全等三角形；
④相似三角形对应角平分线的长度比等于面积比．
其中正确的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−2,4)，B(1,1)，则关于x的不等式ax2−bx−c≥0的解集为( )
A. −2≤x≤1
B. x≤−2，或x≥1
C. 1≤x≤4
D. x≤1，或x≥4
9.蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点.若点P，Q的坐标分别为(−2 3,3)，(0,−3)，则点M的坐标为( )
A. (3 3,−2)B. (3 3,2)C. (2,−3 3)D. (−2,−3 3)
10.图1是第七届国际数学教育大会(ICME)的会徽，图2由其主体图案中相邻两个直角三角形组合而成.作菱形CDEF，使点D，E，F分别在边OC，OB，BC上，过点E作EH⊥AB于点H.当AB=BC，∠BOC=30°，DE=2时，EH的长为( )
A. 3B. 32C. 2D. 43
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知关于x的方程kx2−3x+1=0有实数根，则k的取值范围是______．
12.“任意画一个多边形，则这个多边形的外角和为360°”这一事件是______(填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”)．
13.若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为______．
14.如图所示，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=4，点F位于AB的13处且靠近点A的位置．点C、D分别在线段OA、OB上，CD=4，E为CD的中点，连接EF、BE.在CD滑动过程中(CD长度始终保持不变)，当EF取最小值时，阴影部分的周长为______．
15.三角板是我们数学课必备工具之一，小米同学某天上数学拓展课的时候，转动其中一个三角板发现了一个很奇妙的结论：如图1，小米将含有45°角的三角板ABC绕点A顺时针旋转，当∠BAD<90°时，延长线段ED和线段CB使之相交于点F(如图2)，则CF−DF的长始终不变.若AB=5，则CF−DF的值为______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程：
(1)x2+8x−1=0；
(2)x(x−2)+x−2=0．
17.(本小题8分)
如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C作圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
(1)若∠ABC=2∠BCP，求∠P的度数；
(2)在(1)的条件下，若AB=4，求图中阴影部分的面积(结果保留π和根号)．
18.(本小题9分)
某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况，开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：
请根据图表信息解答下列问题：
(1)求a，b，c的值；
(2)补全频数分布直方图；
(3)某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．
19.(本小题10分)
如图，在矩形OABC中，A(3,0)，C(0,2)，F是AB上的一个动点，F不与A、B重合，过点F的反比例函数y=kx的图象与BC边交于点E．
(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式及△EFA的面积；
(2)当△EFA的面积为23时，求F点的坐标．
20.(本小题9分)
如图，△ABC的顶点坐标分别为A(0,1)，B(3,3)，C(1,3)．
(1)画出与△ABC关于点O成中心对称的图形△A1B1C1；
(2)①画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B2C2；
②在①基础上，若点M(a,b)为△ABC边上的任意一点，则旋转后对应点的坐标为______．
21.(本小题10分)
2022年冬奥会在北京顺利召开，冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红．据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是7.2万件．
(1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
(2)市场调查发现，某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1200元，则售价应降低多少元？
22.(本小题10分)
嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包(看成点)抛出，其运动路线为抛物线C1：y=a(x−3)2+2的一部分，淇淇恰在点B(0,c)处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：y=−18x2+n8x+c+1的一部分．
(1)写出C1的最高点坐标，并求a，c的值；
(2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．
23.(本小题11分)
【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O又是正方形A1B1C1D1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形A1B1C1D1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的14.想一想，这是为什么？(此问题不需要作答)
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形ABCD的对角线相交于点O，点P落在线段OC上，PAPC=k(k为常数)．
【特例证明】
(1)如图1，将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边AB，BC相交于点M，N．
①填空：k= ______；
②求证：PM=PN.(提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明△PAM≌△PBN；也可过点P分别作AB，BC的垂线构造全等三角形证明.请选择其中一种方法解答问题②.)
【类比探究】
(2)如图2，将图1中的△PEF沿OC方向平移，判断PM与PN的数量关系(用含k的式子表示)，并说明理由．
【拓展运用】
(3)如图3，点N在边BC上，∠BPN=45°，延长NP交边CD于点E，若EN=kPN，求k的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：x2−3x=0，
x(x−3)=0，
x=0或x−3=0，
所以x1=0，x2=3．
故选C．
先移项得到x2−3x=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先移项把方程右边变为0，然后把方程左边进行因式分解，再根据两个因式乘积为零每个因式都可能为零，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
2.【答案】A
【解析】解：设有红色球x个，
根据题意得：xx+18=0.4，
解得：x=12，
经检验，x=12是分式方程的解且符合题意．
故选：A．
根据“大量重复试验中事件发生的频率逐渐稳定到的常数可以估计概率”直接写出答案即可．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够根据摸到红球的频率求得红球的个数，难度不大．
3.【答案】D
【解析】解：由图象可知，电流I(A)与电阻R(Ω)之间满足反比例函数关系，
设电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系为I=kR，
∵点(50,4.4)在函数I=kR的图象上，
∴k50=4.4，
解得：k=220，
∴电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系为I=220R，故A选项错误，不符合题意；
当I=10时，则10=220R，
∴R=22，
由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小，
∴当I>10时，0当I=5时，则5=220R，
∴R=44，故C选项错误，不符合题意；
当I=2时，则2=220R，
∴R=110时，
由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小，
∴当I>2时，0故选：D．
设电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系为I=kR，根据待定系数法求得I=220R，以此判断A选项；分别将I=10、2代入函数关系中，在根据反比例函数的性质即可判断B、D选项；将I=5代入函数关系式中，求出R即可判断C选项．
本题主要考查反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想
4.【答案】B
【解析】解：连接OC，
∵∠ABC=20°，
∴∠AOC=2∠ABC=40°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOB=90°，
∴∠BOC=90°−40°=50°，
∴∠BAC=12∠BOC=12×50°=25°．
故选：B．
连接OC，先根据圆周角定理得出∠AOC的度数，进而可得出∠BOC的度数，据此得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：函数y=x2+2x−3化为y=(x+1)2−4，图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得y=(x+3)2−1，
故选：D．
根据图象平移规律，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，利用平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：扇形的弧长等于底面圆的周长得出2π．
设扇形的半径是r，则90πr180=2π，
解得：r=4．
故选：B．
利用圆的周长就是扇形的弧长，根据弧长的计算公式即可求得半径的长．
本题主要考查圆锥侧面面积的计算，正确理解圆的周长就是扇形的弧长是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：顶角为30°的等腰三角形与底角为30°的等腰三角形不相似，故①错误；
有一个角等于120°的两个等腰三角形相似，故②正确；
当相似比为1时，相似三角形是全等三角形，故③错误；
相似三角形的面积比等于对应角平分线的长度比的平方，故④错误；
故选：A．
由相似三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质依次判断可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由ax2−bx−c≥0得：ax2≥bx+c，
∴满足不等式的解为抛物线在直线上方的部分，
∴x≤−2或x≥1，
故选：B．
由ax2−bx−c≥0得出ax2≥bx+c，即抛物线在直线上方的部分，根据图象和A，B的坐标即可确定答案．
本题主要考查函数与不等式的关系，关键是要能由ax2−bx−c≥0得出ax2≥bx+c．
9.【答案】A
【解析】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB．
∵点P，Q的坐标分别为(−2 3,3)，(0,−3)，图中是7个全等的正六边形，
∴AB=BC=2 3，OQ=3，
∴OA=OB= 3，
∴OC=3 3，
∵DQ=DB=2OD，
∴OD=1，QD=DB=CM=2，
∴M(3 3,−2)，
故选：A．
设中间正六边形的中心为D，连接DB.判断出OC，CM的长，可得结论．
本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形CDEF是菱形，DE=2，
∴CD=DE=CF=EF=2，CF/​/DE，CD/​/EF，
∵∠CBO=90°，∠BOC=30°，
∴OD=2DE=4，OE= 3DE=2 3，
∴CO=CD+DO=6，
∴BC=AB=12CD=3，OB= 3BC=3 3，
∵∠A=90°，
∴AO= OB2−AB2= 27−9=3 2，
∵EF/​/CD，
∴∠BEF=∠BOC=30°，
∴BE= 32EF= 3，
∵EH⊥AB，
∴EH//OA，
∴△BHE∽△BAO，
∴EHOA=BEOB，
∴EH3 2= 33 3，
∴EH= 2，
故选：C．
根据菱形的性质得到CD=DE=CF=EF=2，CF/​/DE，CD/​/EF，根据直角三角形的性质得到OD=2DE=4，OE= 3DE=2 3，求得CO=CD+DO=6，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
11.【答案】k≤94
【解析】解：当k=0时，方程化为−3x+1=0，解得x=13；
当k≠0时，Δ=(−3)2−4k×1≥0，解得k≤94且k≠0，
综上所述，k的范围为k≤94．
故答案为：k≤94．
讨论：当k=0时，方程化为−3x+1=0，方程有实数解；当k≠0时，根据根的判别式的意义得到Δ=(−3)2−4k×1≥0，解得k≤94且k≠0，然后综合两种情况得到k的范围．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
12.【答案】必然事件
【解析】解：“任意画一个多边形，则这个多边形的外角和为360°”这一事件是必然事件．
故答案为：必然事件．
根据多边形外角和等于360°进行判断即可得出结论．
本题主要考查了随机事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
13.【答案】1：3
【解析】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：9，
∴两个相似三角形的相似之比为1：3，
∴它们的对应边上的中线之比为1：3．
故答案为：1：3．
根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方、相似三角形的对应线段(对应中线、对应角平分线、对应边上的高)的比也等于相似比是解题的关键．
14.【答案】2+2 3+43π
【解析】【分析】
本题考查弧长的计算，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，注意：已知圆的半径为r，那么n°的圆心角所对的弧的长度为nπr180．
连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT.证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF−OE=2，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，FT，BF的长即可．
【解答】
解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．
∵∠AOB=90°，AF=13AB，
∴∠BOF=60°，
∴BF的长=60π⋅4180=43π，
∵CE=DE，
∴OE=12CD=2，
∵OF=4，
∴EF≥OF−OE=2，
∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，
∴此时EF=2，
∵OF=OB，∠BOF=60°，
∴△BOF是等边三角形，
∵OT=TF，
∴BT⊥OF，
∴BE=BT= OB2−OT2= 42−22=2 3，
∴此时阴影部分的周长为2+2 3+43π.
15.【答案】10
【解析】解：如图，在FC上截取FG=FD，连接AG，AF，
由题意得：∠ABF=∠AEF=90°，AB=AE，
在Rt△ABF和Rt△AEF中，
AF=AFAB=AE，
∴Rt△ABF≌Rt△AEF(HL)，
∴BF=EF，
∴CF−DF=BC+EF−DF=BC+DE+DF−DF=2BC，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC=5，
∴CF−DF=2×5=10，
故答案为：10．
利用HL证明Rt△ABF≌Rt△AEF，得BF=EF，从而CF−DF=BC+EF−DF=BC+DE+DF−DF=2BC．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】解：(1)x2+8x−1=0，
x2+8x=1，
x2+8x+16=1+16，
(x+4)2=17，
x+4=± 17，
x1=−4+ 17，x2=−4− 17；
(2)x(x−2)+x−2=0，
(x−2)(x+1)=0，
x−2=0或x+1=0，
x1=2，x2=−1．
【解析】(1)先利用配方法得到(x+4)2=17，然后利用直接开平方法解方程．
(2)利用因式分解法把原方程转化为x−2=0或x+1=0，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
17.【答案】解：(1)∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CP是半圆O的切线，
∴∠OCP=90°，
∴∠ACB=∠OCP，
∴∠ACO=∠BCP；
∵∠ABC=2∠BCP，
∴∠ABC=2∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠A，
∴∠ABC=2∠A，
∵∠ABC+∠A=90°，
∴∠A=30°，∠ABC=60°，
∴∠ACO=∠BCP=30°，
∴∠P=∠ABC−∠BCP=60°−30°=30°，
答：∠P的度数是30°；
(2)由(1)知∠A=30°，
∵∠ACB=90°，
∴BC=12AB=2，AC= 3BC=2 3，
∴S△ABC=12BC⋅AC=12×2×2 3=2 3，
∴阴影部分的面积是12π×(AB2)2−2 3=2π−2 3，
答：阴影部分的面积是2π−2 3．
【解析】(1)由AB是半圆O的直径，CP是半圆O的切线，可得∠ACB=∠OCP，即得∠ACO=∠BCP，可得∠ABC=2∠A，从而∠A=30°，∠ABC=60°，可得∠P的度数；
(2)∠A=30°，可得BC=12AB=2，AC= 3BC=2 3，即得S△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆减去S△ABC即可解题．
本题考查圆的切线性质，直角三角形性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18.【答案】解：(1)调查人数为：10÷0.1=100(人)，b=15÷100=0.15，a=0.35×100=35，c=40÷100=0.4，
答：a=35，b=0.15，c=0.4；
(2)由各组频数补全频数分布直方图如下：
(3)用树状图法表示所有等可能出现的结果如下：
共有6种等可能出现的结果，其中1男1女的有4种，
所以抽取的2名学生恰好为1男1女的概率是46=23．
【解析】(1)成绩在60≤x<70的有10人，占调查人数的10%，由频率=频数总数可求出调查人数，进而求出a、b、c的值；
(2)根据频数分布表中的频数补全频数分布直方图；
(3)从2男1女三人中随机选取2人，用树状图法列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查频数分布表、频数分布直方图以及列表法或树状图法，掌握频率=频数总数以及列举所有等可能出现的结果是正确解答的前提．
19.【答案】解：(1)∵点F是AB的中点，A(3,0)，C(0,2)，
∴F(3,1)，AF=1，
∴k=3×1=3，
∴y=3x，
∴E(32,2)，
∴BE=32，
∴S△AEF=12×1×32=34．
(2)设点F(3,k3)，则AF=k3，
∵点E的纵坐标为2，
∴E(k2,2)，
∴BE=3−k2，
∴S△AEF=12×k3×(3−k2)=23，
解得：k1=4，k2=2，
∴F1(3,43)，F2(3,23).
【解析】(1)先写出点F的坐标，再求k，得到反比例函数解析式，将y=2代入求出点E的坐标，从而求出△EFA的面积；
(2)先求点F的坐标为(3,k3)，再求点E，表示出△EFA的面积，最后求出点F的坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义、反比例函数解析式求解和三角形的面积计算，第1问的关键是抓住点F是AB的中点，第2问的关键是利用现有的坐标用含有k的式子表达出点F和点E的坐标．
20.【答案】(−b,a)．
【解析】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)①画如图，△A2B2C2为所作；
②M(a,b)绕原点O逆时针旋转90°后，旋转后对应点坐标的横坐标为M的M点纵坐标的负值，纵坐标为M的横坐标，
∴旋转后对应点的坐标为(−b,a)，
故答案为：(−b,a)．
(1)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)①利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可；
②利用所画图形写出C2点的坐标．
本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
21.【答案】解：(1)设月平均增长率是x，
依题意得：5(1+x)2=7.2，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)．
答：月平均增长率是20%．
(2)设售价应降低y元，则每件的销售利润为(100−y−60)元，每天的销售量为(20+2y)件，
依题意得：(100−y−60)(20+2y)=1200，
整理得：y2−30y+200=0，
解得：y1=10，y2=20．
又∵要尽量减少库存，
∴y=20．
答：售价应降低20元．
【解析】(1)设月平均增长率是x，利用3月份的销售量=1月份的销售量×(1+月平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)设售价应降低y元，则每件的销售利润为(100−y−60)元，每天的销售量为(20+2y)件，利用每天销售该公仔获得的利润=每件的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出y的值，再结合要尽量减少库存，即可得出售价应降低20元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵抛物线C1：y=a(x−3)2+2，
∴C1的最高点坐标为(3,2)，
∵点A(6,1)在抛物线C1：y=a(x−3)2+2上，
∴1=a(6−3)2+2，
∴a=−19，
∴抛物线C1：y=−19(x−3)2+2，
当x=0时，c=1；
(2)∵嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，
∴此时，点A的坐标范围是(5,1)～(7,1)，
当经过(5,1)时，1=−18×25+n8×5+1+1，
解得：n=175，
当经过(7,1)时，1=−18×49+n8×7+1+1，
解得：n=417，
∴175≤n≤417，
∵n为整数，
∴符合条件的n的整数值为4和5．
【解析】(1)将点A坐标代入解析式可求a，即可求解；
(2)根据点A的取值范围代入解析式可求解．
本题考查了二次函数的应用，读懂题意，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
23.【答案】解：(1)①1；
②证明：
方法一：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠APB=∠MPN=90°，∠PAB=∠PBC=45°，PA=PB，
∴∠APB−∠BPM=∠MPN−∠BPM，
即∠APM=∠BPN，
在△PAM和△PBN中
∠PAB=∠PBCPA=PB∠APM=∠BPN
∴△PAM≌△PBN(ASA)，
∴PM=PN．
方法二：过点P分别作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，如图1，
则∠PGM=∠PHN=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
∴PG=PH，∠HPG=90°，
∴∠MPN−∠GPN=∠GPH−∠GPN，
即∠MPG=∠NPH，
在△PMG和△PNH中
∠PGM=∠PHNPG=PH∠MPG=∠NPH
∴△PMG≌△PNH(ASA)，
∴PM=PN．
(2)解：PMPN=k.理由如下：
方法一：过点P作PG/​/BD交BC于G，如图2(i)，
∴∠AOB=∠APG，∠PGC=∠OBC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAM=∠OCB=∠OBC=45°，∠AOB=90°，
∴∠APG=∠MPN=∠AOB=90°，∠PGC=∠PCG=∠PAM，
∴PG=PC，
∠APG−∠MPG=∠MPN−∠MPG，
即∠APM=∠GPN，
∴△PAM∽△PGN，
∴PMPN=PAPC=k．
方法二：过点P分别作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，如图2(ii)，
则∠PGM=∠PGB=∠PHN=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°，
∵∠PGA=∠CHP=90°，
∴△APG∽△CPH，
∴PGPH=PAPC，
∵∠GPH=∠MPN=90°，
∴∠MPN−∠GPN=∠GPH−∠GPN，
即∠MPG=∠NPH，
∴△PMG∽△PNH，
∴PMPN=PGPH=PAPC=k．
(3)过点P作PM⊥PN交AB于M，作PH⊥BC于H，作PG⊥AB于G，如图3，
则∠MPN=∠GPH=∠PGM=∠ECN=90°，
∴∠MPN−∠GPN=∠GPH−∠GPN，
即∠MPG=∠NPH，
∴∠PMG=∠PNH，
由(2)和已知条件可得：PM=kPN，EN=kPN，
∴PM=EN，
在△PGM和△ECN中
∠PGM=∠ECN∠PMG=∠PNHPM=EN
∴△PGM≌△ECN(AAS)，
∴GM=CN，PG=EC，
∵∠BPN=∠PCB=45°，∠PBN=∠CBP，
∴△BPN∽△BCP，
∴PBBC=BNPB，
∴PB2=BC⋅BN，
同理可得：PB2=BA⋅BM，
∵BC=BA，
∴BM=BN，
∴AM=CN，
∴AG=2CN，
∵∠PAB=45°，
∴PG=AG，
∴EC=2CN，
∴tan∠ENC=PHHN=ECCN=2，
令HN=a，则PH=2a，CN=3a，EC=6a，
∴EN= (3a)2+(6a)2=3 5a，
PN= a2+(2a)2= 5a，
∴k=ENPN=3 5a 5a=3．
【解析】(1)①解：∵将Rt△PEF的直角顶点P与点O重合，
∴k=PAPC=OAOC=1，
故答案为：1；
②见答案．
(2)见答案．
(3)见答案．
(1)①利用正方形性质即可得出答案；
②方法一：利用ASA证明△PAM≌△PBN即可；方法二：过点P分别作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，利用ASA证明△PMG≌△PNH即可；
(2)方法一：过点P作PG/​/BD交BC于G，证明△PAM∽△PGN，利用相似三角形性质即可得出答案；方法二：过点P分别作PG⊥AB于G，PH⊥BC于H，证明△APG∽△CPH，可得PGPH=PAPC，再证得△PMG∽△PNH，即证得结论；
(3)过点P作PM⊥PN交AB于M，作PH⊥BC于H，作PG⊥AB于G，利用AAS证得△PGM≌△ECN，可得：GM=CN，PG=EC，再证得△BPN∽△BCP，可得PB2=BC⋅BN，同理可得：PB2=BA⋅BM，推出EC=2CN，进而可得tan∠ENC=PHHN=ECCN=2，令HN=a，则PH=2a，CN=3a，EC=6a，利用勾股定理即可求得答案．
此题是相似三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键．成绩/分
频数/人
频率
60≤x<70
10
0.1
70≤x<80
15
b
80≤x<90
a
0.35
90≤x≤100
40
c