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2023-2024学年福建省福州市鼓楼区教育学院附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）
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这是一份2023-2024学年福建省福州市鼓楼区教育学院附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列事件中，随机事件是( )
A. 6−5=1B. 打开电视机正在播报新闻
C. 水中捞月D. 太阳从西边升起
3.抛物线y=−x2+6x+8的对称轴是( )
A. x=2B. x=3C. x=−3D. x=−4
4.如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，则∠AOB的度数为( )
A. 35°
B. 55°
C. 65°
D. 70°
5.正多边形的中心角为45°，则正多边形的边数是( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
6.已知一圆锥的母线长为6，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为( )
A. 27πB. 36πC. 18πD. 9π
7.点A(−3,y1)、B(−1,y2)、C(2,y3)都在反比例函数y=−12x的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A. y18.如图是二次函数y=−x2+2x+c的部分图象，则关于x的一元二次方程x2−2x−c=0的解是( )
A. x1=1，x2=−3
B. x1=−2，x2=3
C. x1=−1，x2=3
D. x1=3，x2=−3
9.如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC= 3，则△ABC移动的距离是( )
A. 32B. 33C. 62D. 3− 62
10.若点A(−1,y1)、B(5,y2)、C(m,y3)在抛物线y=ax2−2ax+c上，且y2A. −11
C. 3二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知点P(2,−3)关于原点对称的点的坐标是______．
12.将抛物线y=2(x+4)2向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式是 ．
13.只有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中红球与白球共有______ 个.
14.新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2020年某款新能源汽车销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程______．
15.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC=70°，PA，PC是⊙O的切线，∠P= °.
16.在平面直角坐标系xOy中，P，Q是函数y=1x(x>0)图象上异于A(1,1)的点，直线PQ与直线y=x垂直，分别交x轴，y轴于点M，N.现给出以下结论：
①MP=NQ；
②∠PAQ可能是直角；
③MN2−PQ2为定值；
④△MON的面积可能为2．
其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程：x2+6x−1=0．
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，已知AD⋅AC=AB⋅AE，∠DAE=∠BAC.求证：△DAB∽△EAC．
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程m2x2+2(m−1)x+1=0有实数根．
(1)求实数m的范围；
(2)由(1)，该方程的两根能否互为相反数？请证明你的结论．
20.(本小题8分)
有A，B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2，B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字−1，−2和2.小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q的一个坐标为(x,y)．
(1)用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；
(2)求点Q落在直线y=x−3上的概率．
21.(本小题8分)
如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=mx(m≠0)的图象交于A(−1,n)，B(3,−2)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．
22.(本小题10分)
已知：如图，△ABC中，∠A=22.5°，∠B=45°．
(1)求作：⊙O，使得圆心O落在AB边上，且⊙O经过A、C两点．(尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)；
(2)求证：BC是⊙O的切线．
23.(本小题10分)
一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y(件)与售价x(元)成一次函数关系y=−2x+400．
(1)若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元；
(2)若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？
24.(本小题12分)
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将△ABC绕点A逆时针旋一个角度α得到Rt△ADE，连接BD，CE．
(1)如图①，当0°<α<45°时，求证：△ABD∽△ACE；
(2)如图②，当α=45°时，点E在AB的延长线上，延长DB交CE于点F，求∠DFE的度数；
(3)如图③，当45°<α<90°时，延长DB交CE于点F，求证：点F是线段CE的中点．
25.(本小题14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A(4,0)，B(1,4)两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，PD//BO交AB于点D.记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3.判断S1S2+S2S3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形；
故选：B．
一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】B
【解析】解：A.6−5=1，是必然事件，不符合题意；
B.打开电视机正在播报新闻，是随机事件，符合题意；
C.水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
D.太阳从西边升起，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
根据随机事件的定义解答即可．
本题主要考查了随机事件，熟练掌握随机事件的定义是解答本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：由题意，抛物线y=−x2+6x+8的对称轴为：直线x=−b2a=−62×(−1)=3，
故选：B．
根据二次函数一般式的对称轴公式：直线x=−b2a计算即可．
本题考查了二次函数的对称轴，解题关键是掌握二次函数与系数的关系．
4.【答案】D
【解析】解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C=35°，
∴∠AOB=2∠C=70°．
故选：D．
由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．
此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5.【答案】C
【解析】解：∵正多边形的中心角为45°，
∴这个多边形的边数是360°÷45°=8，
∴正多边形的边数是8．
故选：C．
根据正多边形的边数=周角÷中心角，计算即可得解．
本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵一圆锥的母线长为6，底面半径为3，
∴该圆锥的侧面积为：π×3×6=18π．
故选C．
圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．圆锥的侧面积：S侧=12⋅2πr⋅l=πrl．
7.【答案】C
【解析】解：∵点A(−3,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)都在反比例函数y=−12x的图象上，
∴y1=−12−3=4，y2=−12−1=12，y3=−122=−6，
∵−6<4<12，
∴y3故选：C．
分别把A、B、C各点的坐标代入到y=−12x中，求出y1、y2、y3的值，再比较大小即可．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由图象可知，
该函数的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是(3,0)，
则该函数与x轴的另一个交点是(−1,0)，
即当y=0时，0=−x2+2x+c时x1=3，x2=−1，
故关于x的一元二次方程x2−2x−c=0的解为x1=3，x2=−1，
故选：C．
根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x的一元二次方程x2−2x−c=0的解．
本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证△ABC与阴影部分为相似三角形．
移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC：BC=1： 2，推出EC的长，利用线段的差求BE的长．
【解答】
解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，
∴AB//DE，
∴△ABC∽△HEC，
∴S△HECS△ABC=(ECBC)2=12，
∴EC：BC=1： 2，
∵BC= 3，
∴EC= 62，
∴BE=BC−EC= 3− 62．
故选D．
10.【答案】C
【解析】解：抛物线y=ax2−2ax+c的对称轴为直线x=−−2a2a=1，
∵A(−1,y1)、B(5,y2)、C(m,y3)在抛物线y=ax2−2ax+c上，
∴根据抛物线对称性可知：
点A(−1,y1)与点A′(3,y1)关于对称轴直线x=1对称，
点B(5,y2)与点B′(−3,y2)关于对称轴直线x=1对称，
∵y2∴当x<1时，函数值y随着x的增大而增大；当x>1时，函数值y随着x的增大而减小；
∴抛物线y=ax2−2ax+c的图象开口向下，
作图如下：
由图可知：要满足y2故选：C．
根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线x=−−2a2a=1，根据抛物线对称性可知：点A(−1,y1)与点A′(3,y1)关于对称轴为x=1对称，点B(5,y2)与点B′(−3,y2)关于对称轴为x=1对称，由y21时，函数值y随着x的增大而减小，即抛物线y=ax2−2ax+c的图象开口向下，画出图形，数形结合即可作答．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的对称性找出点A(−1,y1)与点A′(3,y1)关于对称轴为x=1对称，点B(5,y2)与点B′(−3,y2)关于对称轴为x=1对称．解题时，要注意数形结合的思想．
11.【答案】(−2,3)
【解析】【分析】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】
解：点P(2,−3)关于原点对称的点的坐标是(−2,3)，
故答案为：(−2,3)．
12.【答案】y=2(x+1)2
【解析】解：y=2(x+4)2的顶点坐标为(−4,0)，
∵向右平移3个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为(−1,0)，
∴所得到的新抛物线的表达式是y=2(x+1)2．
故答案为：y=2(x+1)2．
先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
13.【答案】25
【解析】解：设袋中白球有x个，根据题意得：
1515+x=0.6，
解得：x=10，
经检验：x=10是分式方程的解，
故袋中白球有10个，共有25个球．
故答案为：25．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn是解题关键．
14.【答案】15(1+x)2=21.6
【解析】解：依题意得：15(1+x)2=21.6．
故答案为：15(1+x)2=21.6．
利用2022年某款新能源汽车的销售量=2020年某款新能源汽车的销售量×(1+年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】40
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°−∠ABC=20°．
∵PA与⊙O相切，
∴∠BAP=90°，
∴∠PAC=90°−∠BAC=70°．
∵PA，PC是⊙O的切线，
∴PA=PC，
∴∠PCA=∠PAC=70°．
∴∠P=180°−∠PCA−∠PAC=40°．
故答案为：40．
因为AB是⊙O的直径，可知∠ACB=90°，再利用三角形内角和可求∠BAC.根据PA与⊙O相切可知∠BAP=90°，可以求出∠PAC.再根据切线长定理可知PA=PC，进而可知∠PCA=∠PAC，利用三角形内角和求出∠P即可．
本题考查切线的性质和切线长定理，解题关键是结合图形利用切线的性质和切线长定理进行角的转化和计算．
16.【答案】①③
【解析】解：①过点Q作QC⊥y轴于C，过点P作PD⊥x轴于D，
∵直线PQ与直线y=x垂直，
∴OM=ON，
设N(0,a)，则M(a,0)，Q(m,n)，则P(n,m)，
∴NQ= (a−n)2+m2，MP= (a−n)2+m2，
∴NQ=MP，
故①符合题意；
②若∠PAQ=90°，则三角形APQ为等腰直角三角形，
∴ m−12+n−12= n−12+m−12= 22 m−n2+n−m2
整理可得：mn−(m+n)+1=0
∵mn=1
∴m+n=2，
解得：m=n=1，此时P、Q与点A重合，不符合题意，
故②不符合题意；
③MN2−PQ2=a2+a2−2(m−n)2，
由题意可得三角形PDM为等腰直角三角形，故PD=DM，同理可得NC=QC，
∴a=m+n，
∴MN2−PQ2=a2+a2−2(m−n)2=2(m+n)2−2(m−n)2=2(m+n+m−n)(m+n−m+n)=8mn，
∵mn=1，
∴MN2−PQ2=8，
故③符合题意；
④当直线MN经过A点时，OA= 2，
∴NM=2OA=2 2，
∴S△OMN=12× 2×2 2=2，
∵直线MN不能经过A点，
∴△MON的面积一定大于2，
故④不符合题意；
故答案为：①③．
本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
①过点Q作QC⊥y轴于C，过点P作PD⊥x轴于D，设N(0,a)，则M(a,0)，Q(m,n)，则P(n,m)，分别求出NQ、MP即可判断；
②若∠PAQ=90°，则三角形APQ为等腰直角三角形，可得出m=n=1，此时P、Q与A重合，不符合题意；
③由题意得出MN2−PQ2=8mn，再由mn=1，即可判断；
④当直线MN经过A点时，此时△MON的面积等于2，即可判断．
17.【答案】解：方程变形得x2+6x=1，
配方得x2+6x+9=10，即(x+3)2=10，
开方得x+3=± 10，
解得x1=−3+ 10，x2=−3− 10．
【解析】本题考查了解一元二次方程−配方法．
方程常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．
18.【答案】证明：∵AD⋅AC=AB⋅AE，
∴ADAE=ABAC，
∵∠DAE=∠BAC．
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
【解析】根据相似三角形的判定定理即可证明△DAB∽△EAC．
本题考查了相似三角形的判定，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
19.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程m2x2+2(m−1)x+1=0有实数根，
∴m2≠0，且△≥0，即[2(m−1)]2−4m2≥0，4m2−8m+4−4m2≥0，
∴m≤12且m≠0；
(2)如果方程的两根互为相反数，那么−2(m−1)m2=0，
解得m=1，
∵m≤12且m≠0时，方程有实数根，而1>12，
∴该方程的两根不能互为相反数．
【解析】(1)根据一元二次方程的定义及根的判别式的意义得到m2≠0，且△≥0，即[2(m−1)]2−4m2≥0，解不等式组即可得到m≤12且m≠0；
(2)由根与系数的关系求出方程的两根互为相反数时m的值，如果m的值在(1)中所求实数m的范围内，那么该方程的两根能够互为相反数；否则不能互为相反数．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义及根与系数的关系．
20.【答案】解：(1)树状图如下：
∴Q点的所有可能是(1,−1)；(1,2)；(1,−2)；(2,−1)；(2,2)；(2,−2)；
(2)∵只有Q(1,−2)，Q(2,−1)在直线y=x−3上，
∴点Q落在直线y=x−3上的概率为：26=13．
【解析】本题考查的是列表法与树状图法求概率、一次函数图象上点的坐标特征，正确利用树状图得到点Q的所有可能坐标是解题的关键．
(1)根据题意画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果，即可求得点Q的所有可能坐标；
(2)根据(1)中的树状图，求得点Q落在直线y=x−3上的情况，根据概率公式求解即可求得答案．
21.【答案】解：(1)由题意可得：
点B(3,−2)在反比例函数y2=mx图像上，
∴−2=m3，则m=−6，
∴反比例函数的解析式为y2=−6x，
将A(−1,n)代入y2=−6x，
得：n=−6−1=6，即A(−1,6)，
将点A，B代入一次函数解析式中，得
6=−k+b−2=3k+b，解得：k=−2b=4，
∴一次函数解析式为y1=−2x+4；
(2)点P的坐标为(1,0)或(3,0)．
【解析】解：(1)见答案；
(2)∵点P在x轴上，
设点P的坐标为(a,0)，
∵一次函数解析式为y1=−2x+4，令y=0，则x=2，
∴直线AB与x轴交于点(2,0)，
由△ABP的面积为4，可得：
12×(yA−yB)×|a−2|=4，即12×8×|a−2|=4，
解得：a=1或a=3，
∴点P的坐标为(1,0)或(3,0)．
(1)根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将点A，B代入一次函数解析式，即可求解；
(2)设点P的坐标为(a,0)，求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．
本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
22.【答案】(1)解：如图1，⊙O即为所求作的图；
；
(2)证明：如图2，连接OC，
∵OA=OC，∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
又∵∠B=45°，
∴∠BOC+∠B=90°，
∴∠OCB=90°，
∴OC⊥BC，
∵点C在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线．
【解析】本题考查作一条线段的垂直平分线，切线的判定，利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键．
(1)分别以点A、C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于两个点，作出过这两个点的直线交AB于点O，以点O为圆心，OA长为半径画圆；
(2)连接OC，利用已知得出∠OCB=90°，进而即可得出结论．
23.【答案】解：(1)依题意得(x−40)(−2x+400)=5600，
整理得：x2−240x+10800=0，
解得x=60或180，
∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，
∴x=180不合题意舍去，
答：当售价为60元时，利润达到5600元．
(2)设利润为W元，则W=(x−40)(−2x+400)=−2(x−120)2+12800，
∵40×(1+80%)=72，
x≤72，
∵−2<0，
∴当x=72时，W最大=8192，
答：售价定为72元时，月销售利润最大为8192元．
【解析】(1)根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出方程，即可求解；
(2)根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，明确题意，准确列出方程或函数关系式是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋一个角度α得到Rt△ADE，
∴AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠CAE，
∴ADAE=ABAC，
∴△ABD∽△ACE；
(2)解：如图，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
由旋转的性质可知：AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠1=∠2=67.5°，∠3=∠ACE=67.5°，
∴∠2=∠4=67.5°，
∴∠BFE=180°−∠3−∠4=45°；
(3)证明：如图，过点E作EM⊥DF于点M，过点C作CN⊥DF，交DF的延长线于点N，
∴∠DME=∠EMF=∠BNC=90°，
由旋转的性质可知：DE=BC，AD=AB，∠ADE=∠ABC=90°，
∴∠1=∠2，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=180°−∠ABC=90°，
∴∠3=∠4，
∴△DEM≌△BCN(AAS)，
∴EM=CN，
又∵∠5=∠6，∠EMF=∠CNF=90°，
∴△FEM≌△FCN(AAS)，
∴EF=CF，
即F是CE的中点．
【解析】(1)根据旋转的性质得到AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠CAE，进而得到ADAE=ABAC，问题得证；
(2)如图，根据等腰直角三角形性质得到∠BAC=∠BCA=45°，根据旋转的性质得到AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC=45°，进而得到∠4=∠2=67.5°，即可求出∠BFE=45°；
(3)如图，过点E作EM⊥DF于点M，过点C作CN⊥DF，交DF的延长线于点N，先证明△DEM≌△BCN，由全等三角形的性质得到EM=CN，进而证明△FEM≌△FCN，即可证明EF=CF．
本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意添加辅助线是解题关键．
25.【答案】解：(1)将A(4,0)，B(1,4)代入y=ax2+bx，
∴16a+4b=0a+b=4，
解得a=−43b=163．
∴抛物线的解析式为：y=−43x2+163x；
(2)设直线AB的解析式为：y=kx+t，
将A(4,0)，B(1,4)代入y=kx+t，
∴4k+t=0k+t=4，
解得k=−43t=163，
∴直线AB的解析式为：y=−43x+163．
∵A(4,0)，B(1,4)，
∴S△OAB=12×4×4=8，
∴S△OAB=2S△PAB=8，即S△PAB=4，
过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，
∴S△PAB=S△PNB+S△PNA=12PN×BE+12PN×AM=32PN=4，
∴PN=83，
设点P的横坐标为m，
∴P(m,−43m2+163m)(1∴PN=−43m2+163m−(−43m+163)=83．
解得m=2或m=3；
∴P(2,163)或(3,4)．
(3)S1S2+S2S3存在最大值．
理由：∵PD//OB，
∴∠DPC=∠BOC，∠PDC=∠OBC，
∴△DPC∽△BOC，
∴CP：CO=CD：CB=PD：OB，
∵S1S2=CDCB=PDOB，S2S3=CPCO=PDOB，
∴S1S2+S2S3=2PDOB，
设直线AB：y=−43x+163交y轴于点F.则F(0,163)，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图，
∵∠PDC=∠OBC，
∴∠PDG=∠OBF，
∵PG//OF，
∴∠PGD=∠OFB，
∴△PDG∽△OBF，
∴PD：OB=PG：OF，
设P(n,−43n2+163n)(1由(2)可知，PG=−43n2+203n−163，
∴S1S2+S2S3=2PDOB=2PGOF=38PG=−12(n−52)2+98．
∵1∴当n=52时，S1S2+S2S3的最大值为98．
【解析】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、待定系数法、三角形面积、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值等基础知识，利用待定系数法求函数解析式，熟练掌握运用三角形的面积公式及相似三角形的判定与性质是本题的关键．
(1)将点A，B的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
(2)利用待定系数法求出直线AB的解析式，过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，可分别求出△OAB和△PAB的面积，根据题意列出方程求出PN的长，设点P的横坐标为m，表示出PN的长，列方程求出m，即可得出点P的坐标；
(3)先证明△DPC∽△BOC，得出CP：CO=CD：CB=PD：OB，由S1S2=CDCB=PDOB，S2S3=CPCO=PDOB，可得S1S2+S2S3=CDCB+CPCD，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，设P(n,−43n2+163n)(1
1.随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列事件中，随机事件是( )
A. 6−5=1B. 打开电视机正在播报新闻
C. 水中捞月D. 太阳从西边升起
3.抛物线y=−x2+6x+8的对称轴是( )
A. x=2B. x=3C. x=−3D. x=−4
4.如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，则∠AOB的度数为( )
A. 35°
B. 55°
C. 65°
D. 70°
5.正多边形的中心角为45°，则正多边形的边数是( )
A. 4B. 6C. 8D. 12
6.已知一圆锥的母线长为6，底面半径为3，则该圆锥的侧面积为( )
A. 27πB. 36πC. 18πD. 9π
7.点A(−3,y1)、B(−1,y2)、C(2,y3)都在反比例函数y=−12x的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A. y1
A. x1=1，x2=−3
B. x1=−2，x2=3
C. x1=−1，x2=3
D. x1=3，x2=−3
9.如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC= 3，则△ABC移动的距离是( )
A. 32B. 33C. 62D. 3− 62
10.若点A(−1,y1)、B(5,y2)、C(m,y3)在抛物线y=ax2−2ax+c上，且y2
C. 3
11.已知点P(2,−3)关于原点对称的点的坐标是______．
12.将抛物线y=2(x+4)2向右平移3个单位，得到新抛物线的表达式是 ．
13.只有颜色不同的15个红球和若干个白球装在不透明的袋子里，从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.6，则袋中红球与白球共有______ 个.
14.新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱．2020年某款新能源汽车销售量为15万辆，销售量逐年增加，2022年预估当年销售量为21.6万辆，求这款新能源汽车的年平均增长率是多少？可设年平均增长率为x，根据题意可列方程______．
15.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠ABC=70°，PA，PC是⊙O的切线，∠P= °.
16.在平面直角坐标系xOy中，P，Q是函数y=1x(x>0)图象上异于A(1,1)的点，直线PQ与直线y=x垂直，分别交x轴，y轴于点M，N.现给出以下结论：
①MP=NQ；
②∠PAQ可能是直角；
③MN2−PQ2为定值；
④△MON的面积可能为2．
其中正确的是 .(写出所有正确结论的序号)
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程：x2+6x−1=0．
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，已知AD⋅AC=AB⋅AE，∠DAE=∠BAC.求证：△DAB∽△EAC．
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程m2x2+2(m−1)x+1=0有实数根．
(1)求实数m的范围；
(2)由(1)，该方程的两根能否互为相反数？请证明你的结论．
20.(本小题8分)
有A，B两个黑布袋，A布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2，B布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字−1，−2和2.小明从A布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为x，再从B布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为y，这样就确定点Q的一个坐标为(x,y)．
(1)用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标；
(2)求点Q落在直线y=x−3上的概率．
21.(本小题8分)
如图，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y2=mx(m≠0)的图象交于A(−1,n)，B(3,−2)两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)点P在x轴上，且满足△ABP的面积等于4，请直接写出点P的坐标．
22.(本小题10分)
已知：如图，△ABC中，∠A=22.5°，∠B=45°．
(1)求作：⊙O，使得圆心O落在AB边上，且⊙O经过A、C两点．(尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)；
(2)求证：BC是⊙O的切线．
23.(本小题10分)
一人一盔安全守规，一人一戴平安常在，某电动自行车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y(件)与售价x(元)成一次函数关系y=−2x+400．
(1)若物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，当售价为多少元时，利润达到5600元；
(2)若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？最大利润是多少元？
24.(本小题12分)
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，将△ABC绕点A逆时针旋一个角度α得到Rt△ADE，连接BD，CE．
(1)如图①，当0°<α<45°时，求证：△ABD∽△ACE；
(2)如图②，当α=45°时，点E在AB的延长线上，延长DB交CE于点F，求∠DFE的度数；
(3)如图③，当45°<α<90°时，延长DB交CE于点F，求证：点F是线段CE的中点．
25.(本小题14分)
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A(4,0)，B(1,4)两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标；
(3)如图，OP交AB于点C，PD//BO交AB于点D.记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为S1，S2，S3.判断S1S2+S2S3是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它们不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以它是中心对称图形；
故选：B．
一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】B
【解析】解：A.6−5=1，是必然事件，不符合题意；
B.打开电视机正在播报新闻，是随机事件，符合题意；
C.水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
D.太阳从西边升起，是不可能事件，不符合题意；
故选：B．
根据随机事件的定义解答即可．
本题主要考查了随机事件，熟练掌握随机事件的定义是解答本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：由题意，抛物线y=−x2+6x+8的对称轴为：直线x=−b2a=−62×(−1)=3，
故选：B．
根据二次函数一般式的对称轴公式：直线x=−b2a计算即可．
本题考查了二次函数的对称轴，解题关键是掌握二次函数与系数的关系．
4.【答案】D
【解析】解：∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠C=35°，
∴∠AOB=2∠C=70°．
故选：D．
由A，B，C是⊙O上的三个点，若∠C=35°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．
此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
5.【答案】C
【解析】解：∵正多边形的中心角为45°，
∴这个多边形的边数是360°÷45°=8，
∴正多边形的边数是8．
故选：C．
根据正多边形的边数=周角÷中心角，计算即可得解．
本题考查的是正多边形的中心角的有关计算；熟记正多边形的中心角与边数的关系是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵一圆锥的母线长为6，底面半径为3，
∴该圆锥的侧面积为：π×3×6=18π．
故选C．
圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长，把相应数值代入即可求解．
此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．圆锥的侧面积：S侧=12⋅2πr⋅l=πrl．
7.【答案】C
【解析】解：∵点A(−3,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)都在反比例函数y=−12x的图象上，
∴y1=−12−3=4，y2=−12−1=12，y3=−122=−6，
∵−6<4<12，
∴y3
分别把A、B、C各点的坐标代入到y=−12x中，求出y1、y2、y3的值，再比较大小即可．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由图象可知，
该函数的对称轴是直线x=1，与x轴的一个交点是(3,0)，
则该函数与x轴的另一个交点是(−1,0)，
即当y=0时，0=−x2+2x+c时x1=3，x2=−1，
故关于x的一元二次方程x2−2x−c=0的解为x1=3，x2=−1，
故选：C．
根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与x轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到另一个交点，从而可以得到关于x的一元二次方程x2−2x−c=0的解．
本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质，关键在于证△ABC与阴影部分为相似三角形．
移动的距离可以视为BE或CF的长度，根据题意可知△ABC与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC：BC=1： 2，推出EC的长，利用线段的差求BE的长．
【解答】
解：∵△ABC沿BC边平移到△DEF的位置，
∴AB//DE，
∴△ABC∽△HEC，
∴S△HECS△ABC=(ECBC)2=12，
∴EC：BC=1： 2，
∵BC= 3，
∴EC= 62，
∴BE=BC−EC= 3− 62．
故选D．
10.【答案】C
【解析】解：抛物线y=ax2−2ax+c的对称轴为直线x=−−2a2a=1，
∵A(−1,y1)、B(5,y2)、C(m,y3)在抛物线y=ax2−2ax+c上，
∴根据抛物线对称性可知：
点A(−1,y1)与点A′(3,y1)关于对称轴直线x=1对称，
点B(5,y2)与点B′(−3,y2)关于对称轴直线x=1对称，
∵y2
∴抛物线y=ax2−2ax+c的图象开口向下，
作图如下：
由图可知：要满足y2
根据二次函数的解析式可得出二次函数的对称轴为直线x=−−2a2a=1，根据抛物线对称性可知：点A(−1,y1)与点A′(3,y1)关于对称轴为x=1对称，点B(5,y2)与点B′(−3,y2)关于对称轴为x=1对称，由y2
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，解题的关键是根据二次函数的对称性找出点A(−1,y1)与点A′(3,y1)关于对称轴为x=1对称，点B(5,y2)与点B′(−3,y2)关于对称轴为x=1对称．解题时，要注意数形结合的思想．
11.【答案】(−2,3)
【解析】【分析】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数是解题的关键．
根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】
解：点P(2,−3)关于原点对称的点的坐标是(−2,3)，
故答案为：(−2,3)．
12.【答案】y=2(x+1)2
【解析】解：y=2(x+4)2的顶点坐标为(−4,0)，
∵向右平移3个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为(−1,0)，
∴所得到的新抛物线的表达式是y=2(x+1)2．
故答案为：y=2(x+1)2．
先求出原抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
13.【答案】25
【解析】解：设袋中白球有x个，根据题意得：
1515+x=0.6，
解得：x=10，
经检验：x=10是分式方程的解，
故袋中白球有10个，共有25个球．
故答案为：25．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn是解题关键．
14.【答案】15(1+x)2=21.6
【解析】解：依题意得：15(1+x)2=21.6．
故答案为：15(1+x)2=21.6．
利用2022年某款新能源汽车的销售量=2020年某款新能源汽车的销售量×(1+年平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15.【答案】40
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°−∠ABC=20°．
∵PA与⊙O相切，
∴∠BAP=90°，
∴∠PAC=90°−∠BAC=70°．
∵PA，PC是⊙O的切线，
∴PA=PC，
∴∠PCA=∠PAC=70°．
∴∠P=180°−∠PCA−∠PAC=40°．
故答案为：40．
因为AB是⊙O的直径，可知∠ACB=90°，再利用三角形内角和可求∠BAC.根据PA与⊙O相切可知∠BAP=90°，可以求出∠PAC.再根据切线长定理可知PA=PC，进而可知∠PCA=∠PAC，利用三角形内角和求出∠P即可．
本题考查切线的性质和切线长定理，解题关键是结合图形利用切线的性质和切线长定理进行角的转化和计算．
16.【答案】①③
【解析】解：①过点Q作QC⊥y轴于C，过点P作PD⊥x轴于D，
∵直线PQ与直线y=x垂直，
∴OM=ON，
设N(0,a)，则M(a,0)，Q(m,n)，则P(n,m)，
∴NQ= (a−n)2+m2，MP= (a−n)2+m2，
∴NQ=MP，
故①符合题意；
②若∠PAQ=90°，则三角形APQ为等腰直角三角形，
∴ m−12+n−12= n−12+m−12= 22 m−n2+n−m2
整理可得：mn−(m+n)+1=0
∵mn=1
∴m+n=2，
解得：m=n=1，此时P、Q与点A重合，不符合题意，
故②不符合题意；
③MN2−PQ2=a2+a2−2(m−n)2，
由题意可得三角形PDM为等腰直角三角形，故PD=DM，同理可得NC=QC，
∴a=m+n，
∴MN2−PQ2=a2+a2−2(m−n)2=2(m+n)2−2(m−n)2=2(m+n+m−n)(m+n−m+n)=8mn，
∵mn=1，
∴MN2−PQ2=8，
故③符合题意；
④当直线MN经过A点时，OA= 2，
∴NM=2OA=2 2，
∴S△OMN=12× 2×2 2=2，
∵直线MN不能经过A点，
∴△MON的面积一定大于2，
故④不符合题意；
故答案为：①③．
本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
①过点Q作QC⊥y轴于C，过点P作PD⊥x轴于D，设N(0,a)，则M(a,0)，Q(m,n)，则P(n,m)，分别求出NQ、MP即可判断；
②若∠PAQ=90°，则三角形APQ为等腰直角三角形，可得出m=n=1，此时P、Q与A重合，不符合题意；
③由题意得出MN2−PQ2=8mn，再由mn=1，即可判断；
④当直线MN经过A点时，此时△MON的面积等于2，即可判断．
17.【答案】解：方程变形得x2+6x=1，
配方得x2+6x+9=10，即(x+3)2=10，
开方得x+3=± 10，
解得x1=−3+ 10，x2=−3− 10．
【解析】本题考查了解一元二次方程−配方法．
方程常数项移到右边，两边加上9，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．
18.【答案】证明：∵AD⋅AC=AB⋅AE，
∴ADAE=ABAC，
∵∠DAE=∠BAC．
∴∠DAE−∠BAE=∠BAC−∠BAE，
∴∠DAB=∠EAC，
∴△DAB∽△EAC．
【解析】根据相似三角形的判定定理即可证明△DAB∽△EAC．
本题考查了相似三角形的判定，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
19.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程m2x2+2(m−1)x+1=0有实数根，
∴m2≠0，且△≥0，即[2(m−1)]2−4m2≥0，4m2−8m+4−4m2≥0，
∴m≤12且m≠0；
(2)如果方程的两根互为相反数，那么−2(m−1)m2=0，
解得m=1，
∵m≤12且m≠0时，方程有实数根，而1>12，
∴该方程的两根不能互为相反数．
【解析】(1)根据一元二次方程的定义及根的判别式的意义得到m2≠0，且△≥0，即[2(m−1)]2−4m2≥0，解不等式组即可得到m≤12且m≠0；
(2)由根与系数的关系求出方程的两根互为相反数时m的值，如果m的值在(1)中所求实数m的范围内，那么该方程的两根能够互为相反数；否则不能互为相反数．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义及根与系数的关系．
20.【答案】解：(1)树状图如下：
∴Q点的所有可能是(1,−1)；(1,2)；(1,−2)；(2,−1)；(2,2)；(2,−2)；
(2)∵只有Q(1,−2)，Q(2,−1)在直线y=x−3上，
∴点Q落在直线y=x−3上的概率为：26=13．
【解析】本题考查的是列表法与树状图法求概率、一次函数图象上点的坐标特征，正确利用树状图得到点Q的所有可能坐标是解题的关键．
(1)根据题意画树状图，然后根据树状图求得所有等可能的结果，即可求得点Q的所有可能坐标；
(2)根据(1)中的树状图，求得点Q落在直线y=x−3上的情况，根据概率公式求解即可求得答案．
21.【答案】解：(1)由题意可得：
点B(3,−2)在反比例函数y2=mx图像上，
∴−2=m3，则m=−6，
∴反比例函数的解析式为y2=−6x，
将A(−1,n)代入y2=−6x，
得：n=−6−1=6，即A(−1,6)，
将点A，B代入一次函数解析式中，得
6=−k+b−2=3k+b，解得：k=−2b=4，
∴一次函数解析式为y1=−2x+4；
(2)点P的坐标为(1,0)或(3,0)．
【解析】解：(1)见答案；
(2)∵点P在x轴上，
设点P的坐标为(a,0)，
∵一次函数解析式为y1=−2x+4，令y=0，则x=2，
∴直线AB与x轴交于点(2,0)，
由△ABP的面积为4，可得：
12×(yA−yB)×|a−2|=4，即12×8×|a−2|=4，
解得：a=1或a=3，
∴点P的坐标为(1,0)或(3,0)．
(1)根据点B坐标求出m，得到反比例函数解析式，据此求出点A坐标，再将点A，B代入一次函数解析式，即可求解；
(2)设点P的坐标为(a,0)，求出直线AB与x轴交点，再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程，解之即可．
本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
22.【答案】(1)解：如图1，⊙O即为所求作的图；
；
(2)证明：如图2，连接OC，
∵OA=OC，∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
又∵∠B=45°，
∴∠BOC+∠B=90°，
∴∠OCB=90°，
∴OC⊥BC，
∵点C在⊙O上，
∴BC是⊙O的切线．
【解析】本题考查作一条线段的垂直平分线，切线的判定，利用线段垂直平分线的性质得出圆心是解题关键．
(1)分别以点A、C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧交于两个点，作出过这两个点的直线交AB于点O，以点O为圆心，OA长为半径画圆；
(2)连接OC，利用已知得出∠OCB=90°，进而即可得出结论．
23.【答案】解：(1)依题意得(x−40)(−2x+400)=5600，
整理得：x2−240x+10800=0，
解得x=60或180，
∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过100元，
∴x=180不合题意舍去，
答：当售价为60元时，利润达到5600元．
(2)设利润为W元，则W=(x−40)(−2x+400)=−2(x−120)2+12800，
∵40×(1+80%)=72，
x≤72，
∵−2<0，
∴当x=72时，W最大=8192，
答：售价定为72元时，月销售利润最大为8192元．
【解析】(1)根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出方程，即可求解；
(2)根据利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，再根据二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，一次函数的实际应用，明确题意，准确列出方程或函数关系式是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵将△ABC绕点A逆时针旋一个角度α得到Rt△ADE，
∴AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠CAE，
∴ADAE=ABAC，
∴△ABD∽△ACE；
(2)解：如图，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA=45°，
由旋转的性质可知：AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC=45°，
∴∠1=∠2=67.5°，∠3=∠ACE=67.5°，
∴∠2=∠4=67.5°，
∴∠BFE=180°−∠3−∠4=45°；
(3)证明：如图，过点E作EM⊥DF于点M，过点C作CN⊥DF，交DF的延长线于点N，
∴∠DME=∠EMF=∠BNC=90°，
由旋转的性质可知：DE=BC，AD=AB，∠ADE=∠ABC=90°，
∴∠1=∠2，∠1+∠4=90°，∠2+∠3=180°−∠ABC=90°，
∴∠3=∠4，
∴△DEM≌△BCN(AAS)，
∴EM=CN，
又∵∠5=∠6，∠EMF=∠CNF=90°，
∴△FEM≌△FCN(AAS)，
∴EF=CF，
即F是CE的中点．
【解析】(1)根据旋转的性质得到AD=AB，AE=AC，∠BAD=∠CAE，进而得到ADAE=ABAC，问题得证；
(2)如图，根据等腰直角三角形性质得到∠BAC=∠BCA=45°，根据旋转的性质得到AD=AB，AE=AC，∠DAE=∠BAC=45°，进而得到∠4=∠2=67.5°，即可求出∠BFE=45°；
(3)如图，过点E作EM⊥DF于点M，过点C作CN⊥DF，交DF的延长线于点N，先证明△DEM≌△BCN，由全等三角形的性质得到EM=CN，进而证明△FEM≌△FCN，即可证明EF=CF．
本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意添加辅助线是解题关键．
25.【答案】解：(1)将A(4,0)，B(1,4)代入y=ax2+bx，
∴16a+4b=0a+b=4，
解得a=−43b=163．
∴抛物线的解析式为：y=−43x2+163x；
(2)设直线AB的解析式为：y=kx+t，
将A(4,0)，B(1,4)代入y=kx+t，
∴4k+t=0k+t=4，
解得k=−43t=163，
∴直线AB的解析式为：y=−43x+163．
∵A(4,0)，B(1,4)，
∴S△OAB=12×4×4=8，
∴S△OAB=2S△PAB=8，即S△PAB=4，
过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，如图，
∴S△PAB=S△PNB+S△PNA=12PN×BE+12PN×AM=32PN=4，
∴PN=83，
设点P的横坐标为m，
∴P(m,−43m2+163m)(1
解得m=2或m=3；
∴P(2,163)或(3,4)．
(3)S1S2+S2S3存在最大值．
理由：∵PD//OB，
∴∠DPC=∠BOC，∠PDC=∠OBC，
∴△DPC∽△BOC，
∴CP：CO=CD：CB=PD：OB，
∵S1S2=CDCB=PDOB，S2S3=CPCO=PDOB，
∴S1S2+S2S3=2PDOB，
设直线AB：y=−43x+163交y轴于点F.则F(0,163)，
过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，如图，
∵∠PDC=∠OBC，
∴∠PDG=∠OBF，
∵PG//OF，
∴∠PGD=∠OFB，
∴△PDG∽△OBF，
∴PD：OB=PG：OF，
设P(n,−43n2+163n)(1
∴S1S2+S2S3=2PDOB=2PGOF=38PG=−12(n−52)2+98．
∵1
【解析】本题考查一次函数和二次函数的图象与性质、待定系数法、三角形面积、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值等基础知识，利用待定系数法求函数解析式，熟练掌握运用三角形的面积公式及相似三角形的判定与性质是本题的关键．
(1)将点A，B的坐标代入二次函数的解析式，利用待定系数法求解即可；
(2)利用待定系数法求出直线AB的解析式，过点P作PM⊥x轴于点M，PM与AB交于点N，过点B作BE⊥PM于点E，可分别求出△OAB和△PAB的面积，根据题意列出方程求出PN的长，设点P的横坐标为m，表示出PN的长，列方程求出m，即可得出点P的坐标；
(3)先证明△DPC∽△BOC，得出CP：CO=CD：CB=PD：OB，由S1S2=CDCB=PDOB，S2S3=CPCO=PDOB，可得S1S2+S2S3=CDCB+CPCD，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH交AB于点G，设P(n,−43n2+163n)(1
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