福建省福州市鼓楼区闽江学院附属中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷

这是一份福建省福州市鼓楼区闽江学院附属中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（4分）在实数，，2.02002，中，无理数的是（ ）
A．B．C．2.02002D．
2．（4分）数据214600000用科学记数法可表示为（ ）
A．2146×105B．214.6×106C．2.146×107D．2.146×108
3．（4分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． 赵爽弦图B． 笛卡尔心形线
C． 科克曲线D． 斐波那契螺旋线
4．（4分）如图所示的几何体的左视图为（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
6．（4分）下列命题中真命题是（ ）
A．4的平方根是2
B．数据2，0，3，2，3的方差是
C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
D．对角线相等的四边形是矩形
7．（4分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，OC＝5，则CD的长是（ ）
A．3B．2.5C．2D．1
8．（4分）已知2x+4＝m，用含m的代数式表示2x正确的是（ ）
A．B．C．m﹣4D．4m
9．（4分）老师布置了任务：过直线AB上一点C作AB的垂线．在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
10．（4分）如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是（﹣3，0），（﹣1，0），（3，0），小华认为：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1，y有最小值；③点P（m，﹣m﹣1），符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题。（共24分，6小题）
11．（4分）计算：2﹣1+cs60°＝ ．
12．（4分）因式分解：x2﹣2xy＝ ．
13．（4分）某扇形的半径为10厘米，其弧长为12π厘米，则此扇形的面积是 平方厘米．
14．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C，若∠DAB＝66°，则∠ACD＝ 度．
15．（4分）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．若从2，3，4，5中任取3个数，则这3个数能构成一组勾股数的概率是 ．
16．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，PQ，则AP+PQ的最小值是 ．
三、解答题。（共86分）
17．（8分）（1）计算：；
（2）．
18．（8分）解方程：x2﹣6x+5＝0（两种方法）．
19．（8分）如图，AB＝AE，BC＝ED
（1）求证：AC＝AD．
（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
20．（8分）某初中学校为加强劳动教育，开设了劳动技能培训课程．为了解培训效果，学校对七年级320名学生在培训前和培训后各进行一次劳动技能检测，评委依据同一标准进行现场评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级（比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分）．学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成如图的条形统计图：
（1）这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为 ；（填“合格”、“良好”或“优秀”）
（2）求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？
（3）利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？
21．（8分）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球后，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AD为直径作⊙O与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AD；
（2）若CF＝3，BD＝5，求AC的长．
23．（10分）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，GF为长度固定的支架，支架在A，D（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN）（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cs54°≈0.6）
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（﹣1，3）2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F．
（1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，求点Q的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围．
25．（14分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，AG为邻边作矩形AEFG．
（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和；
（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；
（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，连接PA，PC
参考答案与试题解析
一、选择题（共40分，10小题）
1．（4分）在实数，，2.02002，中，无理数的是（ ）
A．B．C．2.02002D．
【解答】解：＝4，
﹣，2.02002，
是无理数．
故选：A．
2．（4分）数据214600000用科学记数法可表示为（ ）
A．2146×105B．214.6×106C．2.146×107D．2.146×108
【解答】解：214600000＝2.146×108．
故选：D．
3．（4分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． 赵爽弦图B． 笛卡尔心形线
C． 科克曲线D． 斐波那契螺旋线
【解答】解：A．是中心对称；不符合题意；
B．是轴对称；不符合题意；
C．既是轴对称；符合题意；
D．既不是轴对称；不符合题意；
故选：C．
4．（4分）如图所示的几何体的左视图为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从几何体的左面看，是上下两个对齐的矩形．
故选：D．
5．（4分）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【解答】解：根据多边形的内角和可得：（n﹣2）180°＝540°，
解得：n＝5，则这个多边形是五边形．
故选：B．
6．（4分）下列命题中真命题是（ ）
A．4的平方根是2
B．数据2，0，3，2，3的方差是
C．数据3，5，4，1，﹣2的中位数是4
D．对角线相等的四边形是矩形
【解答】解：∵4的平方根是±2，
∴选项A不符合题意；
∵（5+0+3+2+3）÷5＝4，
∴数据2，0，5，2，3的方差是：2+（8﹣2）2+（6﹣2）2+（7﹣2）2+（5﹣2）2]＝，
∴选项B符合题意；
∵数据3，3，4，1，﹣3的中位数是3，
∴选项C不符合题意；
∵对角线相等的平行四边形是矩形，
∴选项D不符合题意．
故选：B．
7．（4分）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，OC＝5，则CD的长是（ ）
A．3B．2.5C．2D．1
【解答】解：连接OA，
设CD＝x，
∵OA＝OC＝5，
∴OD＝5﹣x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AD＝4，
由勾股定理可知：52＝22+（5﹣x）5
∴x＝2，
∴CD＝2，
故选：C．
8．（4分）已知2x+4＝m，用含m的代数式表示2x正确的是（ ）
A．B．C．m﹣4D．4m
【解答】解：∵2x+4＝m，
∴8x×24＝m，
则7x＝．
故选：A．
9．（4分）老师布置了任务：过直线AB上一点C作AB的垂线．在没有直角尺的情况下，嘉嘉和淇淇利用手头的学习工具给出了如图所示的两种方案，下列判断正确的是（ ）
A．Ⅰ可行、Ⅱ不可行B．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C．Ⅰ、Ⅱ都可行D．Ⅰ、Ⅱ都不可行
【解答】解：方案Ⅰ：∵CD2+CE2＝307+402＝502＝DE7，
∴△CDE是直角三角形；
故方案Ⅰ可行；
方案Ⅱ：由作图得：Q是SR的中点，且CQ＝0.5AS，
∴∠ACS＝90°，
∴△CDE是直角三角形，
故选：C．
10．（4分）如图，关于x的函数y的图象与x轴有且仅有三个交点，分别是（﹣3，0），（﹣1，0），（3，0），小华认为：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣1，y有最小值；③点P（m，﹣m﹣1），符合要求的点P只有1个；④将函数y的图象向右平移1个或3个单位长度经过原点．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：①当y＞0时，﹣3＜x＜﹣5或x＞3，
∴①不正确．
②由图象可知，当x＞﹣3时，
∴②正确．
③令x＝m，y＝﹣m﹣7，
∴y＝﹣x﹣1，
∴点P（m，﹣m﹣1）在直线y＝﹣x﹣7上．
y＝﹣x﹣1的函数图象为：
由图象可以看出，它们有三个交点，
∴符合要求的点P有3个，
∴③不正确．
④将函数y的图象向右平移3个单位长度时，原图象上坐标为（﹣1；
将函数y的图象向右平移3个单位长度时，原图象上坐标为（﹣2；
∴④正确．
综上，只有②④正确．
故选：C．
二、填空题。（共24分，6小题）
11．（4分）计算：2﹣1+cs60°＝ 1 ．
【解答】解：原式＝+＝1．
故答案为：3．
12．（4分）因式分解：x2﹣2xy＝ x（x﹣2y） ．
【解答】解：原式＝x（x﹣2y）．
故答案为：x（x﹣2y）．
13．（4分）某扇形的半径为10厘米，其弧长为12π厘米，则此扇形的面积是 60π 平方厘米．
【解答】解：∵扇形的半径为10厘米，弧长为12π厘米，
∴扇形的面积＝×12π×10＝60π（平方厘米）．
故答案为：60π．
14．（4分）如图，AB是⊙O的直径，点C，若∠DAB＝66°，则∠ACD＝ 24 度．
【解答】解：如图，连接OD，
∵OA＝OD，∠DAB＝66°，
∴∠ODA＝∠OAD＝66°，
∴∠AOD＝180°﹣66°﹣66°＝48°，
∴∠ACD＝∠AOD＝24°，
故答案为：24．
15．（4分）能够成为直角三角形三条边长的三个正整数称为勾股数．若从2，3，4，5中任取3个数，则这3个数能构成一组勾股数的概率是 ．
【解答】解：从2，3，7，5中任取3个不同的数，5，4），3，2），4，5），2，5）共4种，
其中只有（7，4，5）为勾股数，
所以这8个数构成一组勾股数的概率＝，
故答案为：．
16．（4分）如图，正方形ABCD中，AB＝4，以CM为直径的圆与BM相交于点Q，P为CD上另一个动点，PQ，则AP+PQ的最小值是 2﹣2 ．
【解答】解：连接CQ，以CD为一条边在右侧作正方形CDEF，
∴∠BQC＝90°，
∴点Q在以BC为直径的圆上运动，
∵AD＝DE，∠ADP＝∠EDP，
∴△ADP≌△EDP（SAS），
∴AP＝EP，
∴AP+PQ＝EP+PQ≥EQ≥EO﹣ON＝﹣5＝，
∴AP+PQ的最小值为，
故答案为：．
三、解答题。（共86分）
17．（8分）（1）计算：；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝（2﹣）
＝
＝1；
（2）原式＝+2
＝a﹣3+2
＝a．
18．（8分）解方程：x2﹣6x+5＝0（两种方法）．
【解答】解：方法一：（x﹣5）（x﹣1）＝5，
x﹣5＝或x﹣1＝8，
所以x1＝5，x8＝1；
方法二：x2﹣7x＝﹣5，
x2﹣3x+9＝4，
（x﹣7）2＝4，
x﹣7＝±2，
所以x1＝5，x2＝1．
19．（8分）如图，AB＝AE，BC＝ED
（1）求证：AC＝AD．
（2）用直尺和圆规作图：过点A作AF⊥CD，垂足为F．（不写作法，保留作图痕迹）
【解答】（1）证明：在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴AC＝AD；
（2）解：如图AF即为所求．
20．（8分）某初中学校为加强劳动教育，开设了劳动技能培训课程．为了解培训效果，学校对七年级320名学生在培训前和培训后各进行一次劳动技能检测，评委依据同一标准进行现场评估，分成“合格”、“良好”、“优秀”3个等级（比如，某同学检测等级为“优秀”，即得8分）．学校随机抽取32名学生的2次检测等级作为样本，绘制成如图的条形统计图：
（1）这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为 合格 ；（填“合格”、“良好”或“优秀”）
（2）求这32名学生培训后比培训前的平均分提高了多少？
（3）利用样本估计该校七年级学生中，培训后检测等级为“良好”与“优秀”的学生人数之和是多少？
【解答】解：（1）由题意得，这32名学生在培训前得分的中位数对应等级应为合格，
故答案为：合格；
（2）培训前的平均分为：（25×2+5×5+2×8）÷32＝6（分），
培调后的平均分为：（8×2+16×7+8×8）÷32＝2.5（分），
培训后比培训前的平均分提高2.3分；
（3）解法示例：
样本中培训后“良好”的比例为：＝4.50，
样本中培训后“优秀”的比例为：＝＝0.25，
∴培训后考分等级为“良好”与“优秀”的学生共有320×75%＝240（名）．
21．（8分）一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球后，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法
【解答】解：画树状图如下：
一共有6种等可能的结果，其中2次都摸到红球有6种可能的结果，
∴P（2次都摸到红球）＝．
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AD为直径作⊙O与BC相切于点E，连接DE并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：AF＝AD；
（2）若CF＝3，BD＝5，求AC的长．
【解答】（1）证明：连接OE，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∵BC是⊙O的切线，
∴OE⊥BC，
∵∠ACB＝90°，
∴AC∥OE，
∴∠AFD＝∠OED＝∠ODE，
∴AF＝AD；
（2）解：如图，
∵AC∥OE，
∴△OBE∽△ABC，
∴＝，
设⊙O的半径为r，
∴OB＝BD+OD＝BD+r，AB＝BD+AD＝BD+AF＝BD+AC+CF，
∵CF＝3，BD＝5，
∴OB＝6+r，AB＝5+AC+3＝AC+7，
∴＝，
∴r＝AC，
∵AC∥OE，OA＝OD，
∴OE是△ADF的中位线，
∴OE＝r＝AF＝（AC+3）＝，
∴AC＝，
∴AC＝12．
23．（10分）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，GF为长度固定的支架，支架在A，D（AH垂直于MN，垂足为H），在B，C处与篮板连接（BC所在直线垂直于MN）（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD＝BC，DH＝208cm，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将∠GAE由60°调节为54°（或降低）了多少？（参考数据：sin54°≈0.8，cs54°≈0.6）
【解答】解：点C离地面的高度升高了，
理由：如图，当∠GAE＝60°时，交HA的延长线于点K，
∵BC⊥MN，AH⊥MN，
∴BC∥AH，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC＝∠GAE＝60°，
∵点C离地面的高度为288cm，DH＝208cm，
∴DK＝288﹣208＝80（cm），
在Rt△CDK中，CD＝＝，
如图，当∠GAE＝54°，交HA的延长线于点Q，
在Rt△CDQ中，CD＝160cm，
∴DQ＝CD•cs54°≈160×2.6＝96（cm），
∴96﹣80＝16（cm），
∴点C离地面的高度升高约16cm．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A，B在x轴上，C（2，3），D（﹣1，3）2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于点E（﹣2，0）和点F．
（1）如图1，若抛物线过点C，求抛物线的表达式和点F的坐标；
（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，平移线段CF，使点C的对应点P落在直线CE上，求点Q的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）与正方形ABCD恰有两个交点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵抛物线 y＝ax2﹣2ax+c 过点C（5，3），0），
得 ，
解得，
∴抛物线表达式为 ，
当 y＝5 时，，
解得 x1＝﹣4 （舍去），x2＝4，
∴F（7，0）；
（2）设直线CE的表达式为 y＝kx+b，
∵直线过点C（2，4），0），
得 ，
解得 ，
∴直线CE的表达式为 ，
设点 ，则点Q向左平移2个单位，
将 代入 ，
解得 t7＝﹣4，t2＝2 （舍去），
∴Q点坐标为（﹣4，﹣6）；
（3）将 E（﹣4，0）代入 y＝ax2﹣8ax+c 得c＝﹣8a，
∴y＝ax2﹣2ax﹣8a＝a（x﹣1）4﹣9a，
∴顶点坐标为 （1，﹣5a），
①当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，
∴0＜﹣9a＜2，
解得 ，
②当抛物线与直线BC交点在点C上方，且与直线AD交点在点D下方时，
，
解得
综上所述，a的取值范围为 ．
25．（14分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，将射线AE绕点A逆时针旋转90°，交CD延长线于点G，AG为邻边作矩形AEFG．
（1）如图1，连接BD，求∠BDC的度数和；
（2）如图2，当点F在射线BD上时，求线段BE的长；
（3）如图3，当EA＝EC时，在平面内有一动点P，连接PA，PC
【解答】解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝2，，
∴∠C＝90°，CD＝AB＝2，，
∴，
∴∠BDC＝60°，
∵∠ABE＝∠BAD＝∠EAG＝∠ADG＝90°，
∴∠EAG﹣∠EAD＝∠BAD﹣∠EAD，
即∠DAG＝∠BAE，
∴△ADG∽△ABE，
∴；
（2）如图7，过点F作FM⊥CG于点M，
∵∠ABE＝∠AGF＝∠ADG＝90°，AE＝GF，
∴∠BAE＝∠DAG＝∠CGF，∠ABE＝∠GMF＝90°，
∴△ABE≌△GMF（AAS），
∴BE＝MF，AB＝GM＝2，
∴∠MDF＝∠BDC＝60°，FM⊥CG，
∴，
∴，
设 DM＝x，则 ，
∴DG＝GM+MD＝2+x，
由（1）可知：，
∴，
解得 x＝1，
∴；
（3）如图3，连接AC，EA与EC重合，连接PP'，
矩形ABCD中，AD＝BC＝，
∴tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°，
∴AC＝2AB＝4，
∵EA＝EC，
∴∠EAC＝∠ACE＝30°，∠AEC＝120°，
∴∠ACG＝∠GAC＝90°﹣30°＝60°，
∴△AGC 是等边三角形，AG＝AC＝4，
∴PE＝EF＝AG＝5，
∵将△AEP绕点E顺时针旋转 120°，EA与EC重合，
∴PA＝P'C，∠PEP'＝120°，
∴，
∴当点P，C，P′三点共线时，
此时为 ．方案Ⅰ
①利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm．
②分别以D，C为圆心，以50cm和40cm为半径画圆弧
③作直线CE，CE即为所求的垂线．
方案Ⅱ
取一根笔直的木棒，在木棒上标出M，N两点
①使点M与点C重合，点N对应的位置标记为点Q．
②保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上
③将RO延长，在延长线上截取线段OS＝MN，得到点S．
④作直线SC，SC即为所求直线．
方案Ⅰ
①利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm．
②分别以D，C为圆心，以50cm和40cm为半径画圆弧
③作直线CE，CE即为所求的垂线．
方案Ⅱ
取一根笔直的木棒，在木棒上标出M，N两点
①使点M与点C重合，点N对应的位置标记为点Q．
②保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上
③将RO延长，在延长线上截取线段OS＝MN，得到点S．
④作直线SC，SC即为所求直线．