2023-2024学年福建省龙岩市上杭三中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省龙岩市上杭三中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. 1x2+x−1=0B. 3x+1=5x+42
C. ax2+bx+c=0D. m2−2m+1=0
2.若关于x的一元二次方程x2+2m=4有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A. m<2B. m≤2C. m≥0D. m<0
3.把抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是( )
A. y=5(x−2)2+3B. y=5(x+2)2−3
C. y=5(x+2)2+3D. y=5(x−2)2−3
4.抛物线y=2(x−3)2+2的顶点坐标是( )
A. (−3,2)B. (3,2)C. (−3,−2)D. (3,−2)
5.已知等腰三角形的两边长分别是方程x2−7x+12=0的两根，则该等腰三角形的底边长为( )
A. 3B. 4C. 7D. 3或4
6.为加快建设“河洛书苑”城市书房，打造15分钟“文化阅读圈”，推动“书香洛阳”建设，洛阳市一座座“河洛书苑”城市书房如雨后春笋般涌现．据统计，某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，进馆人次逐月增加，到第三个月月末累计进馆6080人次，若进馆人次的月平均增长率相同．设进馆人次的月平均增长率为x，则可列方程为( )
A. 1280+1280(1+x)+1280(1+x)2=6080
B. 6080(1+x)+6080(1−x)2=1280
C. 1280(1+x)2=6080
D. 6080(1−x)2=1280
7.已知α、β是方程x2+2x−1=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为( )
A. −1B. −2C. −3D. −4
8.在同一坐标系内，函数y=kx2和y=kx+2(k≠0)的图象大致如图( )
A. B.
C. D.
9.若二次函数y=x2+mx的对称轴是直线x=2，则关于x的方程x2+mx=5的解为( )
A. x1=0，x2=5B. x1=1，x2=5
C. x1=1，x2=−5D. x1=−1，x2=5
10.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且对称轴为直线x=1，点B坐标为(−1,0).则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a−2b+c>0；③abc>0；④当y<0时，x<−1或x>3.其中正确的是( )
A. ①②
B. ①③
C. ①④
D. ②③
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.一元二次方程x(x−2)=0的解是______．
12.某摄影兴趣小组互送相片作纪念，全组共送出相片42张，该摄影小组共有______人.
13.已知函数y=(m−1)xm2+1+5x+3是关于x的二次函数，则m的值为______．
14.二次函数y=x2+4x+6的最小值为______．
15.若关于x的一元二次方程x2+x+4=0的两根是x1、x2，则x12x2+x1x22= ______．
16.已知而成函数y=x2−2(k+1)x+k2−2k−3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值是______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.已知关于x的方程x2−2(k−3)x+k2−4k−1=0
(1)若这个方程有实数根，求k的取值范围；
(2)若此方程有一个根是1，请求出k的值．
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算： 12×(12)−2+(2023−π)0．
19.(本小题8分)
解方程：2x2−4x−3=0．
20.(本小题8分)
先化简，再求值：(2x−1−1x)÷x2−1x2−2x+1，其中x是方程x2−3x+2=0的解．
21.(本小题8分)
已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过A(−1,0)，B(1,−2)两点．
(1)求二次函数解析式．
(2)判断点(3,4)是否在这个二次函数图象上，并说明理由．
22.(本小题10分)
在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．
(1)求证：△BEC≌△DEC；
(2)延长BE交AD于F，当∠BED=120°时，求∠EFD的度数．
23.(本小题10分)
如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米.将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙.若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．

(1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
(2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB．
24.(本小题12分)
为倡导节能环保，降低能源消耗，提倡环保型新能源开发，造福社会．某公司研发生产一种新型智能环保节能灯，成本为每件40元．市场调查发现，该智能环保节能灯每件售价y(元)与每天的销售量为x(件)的关系如图，为推广新产品，公司要求每天的销售量不少于1000件，每件利润不低于5元．
(1)求每件销售单价y(元)与每天的销售量为x(件)的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
(2)设该公司日销售利润为P元，求每天的最大销售利润是多少元？
(3)在试销售过程中，受国家政策扶持，毎销售一件该智能环保节能灯国家给予公司补贴m(m≤40)元．在获得国家每件m元补贴后，公司的日销售利润随日销售量的增大而增大，则m的取值范围是______(直接写出结果)．
25.(本小题14分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C，B不重合)，过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD，直线BC能否把△BDF分成面积之比为2：3的两部分？若能，请求出点D的坐标；若不能，请说明理由．
(3)若M为抛物线对称轴上一动点，使得△MBC为直角三角形，请直接写出点M的坐标．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C.当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+2m=4即x2+2m−4=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=02−4×1×(2m−4)=16−8m>0，
解得：m<2．
故选：A．
根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出m的范围即可．
此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：将抛物线y=5x2向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到函数解析式是：y=5(x+2)2+3．
故选：C．
按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题．
此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
4.【答案】B
【解析】解：抛物线y=2(x−3)2+2的顶点坐标是(3,2)，
故选：B．
根据y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)可得答案．
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a(x−h)2+k，顶点坐标是(h,k)，对称轴是x=h．
5.【答案】D
【解析】解：∵x2−7x+12=0，
∴(x−3)(x−4)=0，
∴x−3=0或x−4=0，
解得：x1=3，x2=4，
∴等腰三角形的两边长分别3或4；
∴该等腰三角形的底边长为3或4；
故选：D．
先把方程化为(x−3)(x−4)=0，可得x1=3，x2=4，再根据等腰三角形的定义可得答案．
本题考查的是一元二次方程的解法，等腰三角形的定义，熟练的解一元二次方程是解本题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵某“河洛书苑”第一个月进馆1280人次，且进馆人次的月平均增长率为x，
∴第二个月进馆1280(1+x)人次，第二个月进馆1280(1+x)2人次．
根据题意得：1280+1280(1+x)+1280(1+x)2=6080．
故选：A．
根据第一个月的进馆人次数及进馆人次的月平均增长率，可得出第二个月进馆1280(1+x)人次，第二个月进馆1280(1+x)2人次．，结合到第三个月月末累计进馆6080人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可知：α+β=−2，α2+2α−1=0，即：α2+2α=1，
∴原式=α2+2α+α+β=1+(−2)=−1．
故选：A．
根据根与系数的关系可得α+β=−2，α2+2α−1=0，再根据α2+3α+β=α2+2α+α+β即可求出答案．
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
8.【答案】D
【解析】解：由一次函数解析式为：y=kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C错误；
D符合题意；
故选：D．
分别利用函数解析式分析图象得出答案．
此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的图象，得出直线交y轴的正半轴是解题关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵二次函数y=x2+mx的对称轴是直线x=2，
∴−m2=2，解得m=−4，
∴关于x的方程x2+mx=5可化为x2−4x−5=0，即(x+1)(x−5)=0，解得x1=−1，x2=5．
故选：D．
先根据二次函数y=x2+mx的对称轴是直线x=2求出m的值，再把m的值代入方程x2+mx=5，求出x的值即可．
本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵对称轴为x=1，
∴x=−b2a=1，
∴b=−2a，
∴2a+b=0，故选项①正确；
∵点B坐标为(−1,0)，
∴当x=−2时，4a−2b+c<0，故选项②错误；
∵图象开口向下，
∴a<0，
∴b=−2a>0，
∵图象与y轴交于正半轴上，
∴c>0，
∴abc<0，故选项③错误；
∵对称轴为x=1，点B坐标为(−1,0)，
∴A点坐标为：(3,0)，
∴当y<0时，x<−1或x>3.故选项④正确；
故选：C．
根据对称轴为x=1可判断①；当x=−2时，4a−2b+c<0即可判断②；根据开口方向，对称轴以及与y轴交点即可判断③，求出A点坐标，根据图象即可判断④．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为抛物线，当a>0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=−b2a；抛物线与y轴的交点坐标为(0,c)；当b2−4ac>0，抛物线与x轴有两个交点；当b2−4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2−4ac<0，抛物线与x轴没有交点．
11.【答案】x1=0，x2=2
【解析】解：x=0或x−2=0，
所以x1=0，x2=2．
故答案为：x1=0，x2=2．
利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
12.【答案】7
【解析】解：设该小组有x个人，
∴x(x−1)=42，整理得，x2−x−42=0，
∴(x+6)(x−7)=42，
∴x1=−6(不符合题意，舍去)，x2=7，
∴该组有7人，
故答案为：7．
设该小组有x个人，根据互送照片的方法，每个人要送出(x−1)张，由此列式解一元二次方程即可求解．
本题主要考查一元二次方程的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握一元二次方程的解决实际问题的方法是解题的关键．
13.【答案】−1
【解析】解：根据题意得：m2+1=2m−1≠0，
解得：m=−1．
故答案是：−1．
根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
本题考查二次函数的定义，注意到m−1≠0是关键．
14.【答案】2
【解析】解：∵y=x2+4x+6=(x+2)2+2，
∴当x=−2时，y=2为最小值，
故答案为：2．
将二次函数解析式化为顶点式求解．
本题考查二次函数的最值问题，解题关键是掌握配方法求二次函数的最值．
15.【答案】−4
【解析】解：由题意知，x1+x2=−1，x1x2=4，
∴x12x2+x1x22=x1x2(x1+x2)=4×(−1)=−4．
故答案为：−4．
由题意知，x1+x2=−1，x1x2=4，代入求解即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1和x2，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
16.【答案】1或134
【解析】解：∵函数y=x2−2(k+1)x+k2−2k−3与x轴有两个交点，
∴△=[−2(k+1)]2−4×1×(k2−2k−3)>0，
解得k>−1，
当k取最小整数时，k=0，
∴抛物线为y=x2−2x−3，
将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象的解析式为y1=(x−1)2−4(x≤−1或x≥3)y1=−(x−1)2+4(−1≤x≤3)．
①因为y2=x+m的k>0，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有3个交点时它一定过(−1,0)把(−1,0)代入y2=x+m得−1+m=0所以m=1，
②y1=−(x−1)2+4(−1≤x≤3)与y=x+m相切时，图象有三个交点，
−(x−1)2+4=x+m，
△=1−4(m−3)=0，
解得m=134．
故答案为：1或134．
根据题意求得k=0，得到解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，可求出其顶点坐标；令抛物线的解析式中，y=0，可求出它函数图象与x轴的交点坐标．画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：
①过交点(−1,0)，根据待定系数法，可得m的值；②不过点(−1,0)，直线与y1=−(x−1)2+4(−1≤x≤3)相切，根据判别式，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题关键，利用了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线相切时判别式等于零是解题关键．
17.【答案】解：(1)∵x2−2(k−3)x+k2−4k−1=0有实数根，
∴△=4(k−3)2−4(k2−4k−1)=4k2−24k+36−4k2+16k+4=40−8k≥0，
解得：k≤5；
(2)将x=1代入方程得：12−2(k−3)+k2−4k−1=0，即k2−6k+6=0，
△=(−6)2−4×6=12，
解得k=6±2 32=3± 3，
所以，k=3+ 3或k=3− 3．
【解析】(1)由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；
(2)将x=1代入方程中，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0时，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0时，方程无实数根．
18.【答案】解：原式=2 3×4+1
=8 3+1．
【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
本题主要考查了负整数指数幂、零指数幂、二次根式的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键．
19.【答案】解：∵a=2，b=−4，c=−3，
∴△=16−4×2×(−3)=40>0，
则x=4±2 104=2± 102．
【解析】公式法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20.【答案】解：原式=[2xx(x−1)−x−1x(x−1)]⋅(x−1)2(x+1)(x−1)
=x+1x(x−1)⋅x−1x+1
=1x，
解方程x2−3x+2=0，得x1=1，x2=2，
由题意得：x≠±1且x≠0，
当x=2时，原式=12．
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，解一元二次方程求出x，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件、一元二次方程的解法，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21.【答案】解：(1)将A(−1,0)，B(1,−2)代入y=x2+bx+c中，
得：1−b+c=01+b+c=−2，解得：b=−1c=−2，
∴该二次函数的解析式为y=x2−x−2．
(2)点(3,4)在这个二次函数的图象上；
理由：当x=3时，y=32−3−2=4，
∴点(3,4)在这个二次函数的图象上．
【解析】(1)根据点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出该二次函数的解析式；
(2)将x=3代入二次函数解析式中求出y值，结合二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标特征利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ECB=∠ECD=45°．
∴在△BEC与△DEC中，
BC=CD∠ECB=∠ECDEC=EC
∴△BEC≌△DEC(SAS)．
(2)解：∵△BEC≌△DEC，
∴∠BEC=∠DEC=12∠BED．
∵∠BED=120°，∴∠BEC=60°=∠AEF．
∴∠EFD=60°+45°=105°．
【解析】(1)在证明△BEC≌△DEC时，根据题意知，运用SAS公理就行；
(2)根据全等三角形的性质知对应角相等，即∠BEC=∠DEC=12∠BED，又由对顶角相等、三角形的一个内角的补角是另外两个内角的和求得∠EFD=∠BEC+∠CAD．
解答本题要充分利用正方形的特殊性质、全等三角形的判定与性质、以及对顶角相等等知识．
23.【答案】解：(1)设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y=a(x−20)2+10，
把(0,0)代入，得400a+10=0，
解得a=−140，
∴y=−140(x−20)2+10．
即y=−140x2+x．
(2)石块能飞越防御墙AB，理由如下：
把x=30代入y=−140x2+x，得y=−140×900+30=7.5，
∵7.5>3+3，
∴石块能飞越防御墙AB．
【解析】(1)设石块运行的函数关系式为y=a(x−20)2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案．
(2)把x=30代入y=−140x2+x，求得y的值，与6作比较即可．
本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24.【答案】解：(1)设每件销售单价y(元)与每天的销售量为x(件)的函数关系式为y=kx+b，
把(1500,55)与(2000,50)代入y=kx+b得，
1500k+b=552000k+b=50，
解得：k=−1100b=70，
∴每件销售单价y(元)与每天的销售量为x(件)的函数关系式为y=−1100x+70，
当y≥45时，−1100x+70≥45，解得：x≤2500，
∴自变量x的取值范围1000≤x≤2500；
(2)根据题意得，P=(y−40)x=(−1100x+70−40)x=−1100x2+30x=−1100(x−1500)2+22500，
∵−1100<0，P有最大值，
当x<1500时，P随x的增大而增大，
∴当x=1500时，P的最大值为22500元，
答：每天的最大销售利润是22500元；
(3)20≤m≤40
【解析】解：(3)由题意得，P=(−1100x+70−40+m)x=−1100x2+(30+m)x，
∵对称轴为x=50(30+m)，
∵1000≤x≤2500，
∴x的取值范围在对称轴的左侧时P随x的增大而增大，
50(30+m)≥2500，
解得：m≥20，
∴m的取值范围是：20≤m≤40．
故答案为：20≤m≤40．
(1)利用待定系数法即可解决问题；
(2)构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
(3)构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；
本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、待定系数法等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决实际问题．
25.【答案】解：(1)将A(−1,0)，B(5,0)代入y=ax2+bx+5，
得：a−b+5=525a+5b+5=0，
解得a=−1b=4，
则抛物线解析式为y=−x2+4x+5；
(2)能．
设直线BC的解析式为y=kx+c，
把C(0,5)，B(5,0)代入得c=55k+c=0,
解得k=−1c=5,
所以直线BC的解析式为y=−x+5，
设D(x,−x2+4x+5)，则E(x,−x+5)，F(x,0)，(0∴DE=−x2+4x+5−(−x+5)=−x2+5x，EF=−x+5，
当DE：EF=2：3时，S△BDE：S△BEF=2：3，即(−x2+5x)：(−x+5)=2：3，
整理得3x2−17x+10=0，
解得x1=23，x2=5(舍去)，此时D点坐标为(23,659)；
当DE：EF=3：2时，S△BDE：S△BEF=3：2，即(−x2+5x)：(−x+5)=3：2，
整理得2x2−13x+15=0，
解得x1=32，x2=5(舍去)，此时D点坐标为(32,354)；
综上所述，当点D的坐标为(23,659)或(32,354)时，直线BC把△BDF分成面积之比为2：3的两部分；
(3)抛物线的对称轴为直线x=2，如图，
设M(2,t)，
∵B(5,0)，C(0,5)，
∴BC2=52+52=50，MC2=22+(t−5)2=t2−10t+29，MB2=(2−5)2+t2=t2+9，
当BC2+MC2=MB2时，△BCM为直角三角形，∠BCM=90°，即50+t2−10t+29=t2+9，解得t=7，此时M点的坐标为(2,7)；
当BC2+MB2=MC2时，△BCM为直角三角形，∠CBM=90°，即50+t2+9=t2−10t+29，解得t=−3，此时M点的坐标为(2,−3)；
当MC2+MB2=BC2时，△BCM为直角三角形，∠CMB=90°，即t2−10t+29+t2+9=50，解得t1=6，t2=−1，此时M点的坐标为(2,6)或(2,−1)，
综上所述，满足条件的M点的坐标为(2,7)，(2,−3)，(2,6)，(2,−1)．
【解析】(1)利用待定系数法求解可得；
(2)利用待定系数法确定直线BC的解析式为y=−x+5，设D(x,−x2+4x+5)，则E(x,−x+5)，F(x,0)，(0(3)先确定抛物线的对称轴，如图，设M(2,t)，利用两点间的距离公式得到BC2=50，MC2=t2−10t+29，MB2=t2+9，利用勾股定理的逆定理分类讨论：当BC2+MC2=MB2时，△BCM为直角三角形，则50+t2−10t+29=t2+9；当BC2+MB2=MC2时，△BCM为直角三角形，则50+t2+9=t2−10t+29；当MC2+MB2=BC2时，△BCM为直角三角形，则t2−10t+29+t2+9=50，然后分别解关于t的方程，从而可得到满足条件的M点坐标．
本题是二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求直线和抛物线的解析式，会求抛物线与x轴的交点坐标；能运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；学会运用分类讨论的数学思想解决数学问题．