2022-2023学年江西省宜春市高安市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江西省宜春市高安市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列成语所描述的事件属于不可能事件的是( )
A. 水落石出B. 水涨船高C. 水滴石穿D. 水中捞月
2.若x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是( )
A. 0，−2B. 0，0C. −2，−2D. −2，0
3.如图，在△AOB中，已知点A的坐标是(2,2 3)，将△AOB绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是( )
A. (4,−2)
B. (2 3,2)
C. (2 3,−2)
D. (−2,2 3)
4.反比例函数y=kx的图象如图所示，以下结论：①常数k>0；②若A(−1,m)，B(2,n)在该图象上，则mA. ①B. ②C. ③D. ④
5.如图，⊙O与正五边形ABCDE的两边AE，CD相切于A，C两点，则∠AOC的度数是( )
A. 144°
B. 130°
C. 129°
D. 108°
6.若P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是抛物线y=a(x−2)2−4a上两点，当|x1−2|>|x2−2|时，则下列结论一定正确的是( )
A. y1+y2>0B. a(y1+y2)>0C. y1−y2>0D. a(y1−y2)>0
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.小勤和小李两个同学玩“石头，剪刀、布”的游戏，他们俩随机同时出手一次是平局的概率是______ ．
8.已知m、n是一元二次方程x2+4x+1=0的两个实数根，则代数式mn+4的值是______ ．
9.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上，则∠B的度数是______．
10.如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线l/​/y轴，且直线l分别与反比例函数y=8x(x>0)和y=kx(x>0)的图象交于P，Q两点，若S△POQ=12，则k的值为______．
11.如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线y=2，与二次函数y=x2和y=ax2分别交于A、B和C、D四个点，若CD=2AB，则a的值是______ ．
12.如图，已知点A(2,0)，⊙A的半径为1，OB切⊙A于点B，点P为⊙A上的动点，当△POB是等腰三角形时，点P的坐标为______ ．
三、解答题：本题共12小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题3分)
解方程：3(x−2)=x2−4．
14.(本小题3分)
如图，已知点A，B，C是⊙O上三点，且OA⊥BC于点D，若半径OA=3，AD=1，求弦BC长．
15.(本小题6分)
已知抛物线y=−x2+2x+8与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C．
(1)求点A、B、C的坐标；
(2)求此抛物线的顶点坐标．
16.(本小题6分)
一张圆桌旁设有4个座位，甲先坐在了如图所示的座位上，A、B、C三人等可能地坐到①、②、③中的3个座位上．
(1)求A坐在①号座位的概率；
(2)用画树状图或列表的方法，求A与B相邻而坐的概率．
17.(本小题6分)
如图，已知直线y1=k1x+b与双曲线y2=k2x交于A、B两点(k1k2≠0).若A(2,3)，B(n,−1)．
(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)根据图象，直接写出y1>y2时，相应x的取值范围．
18.(本小题6分)
请你用无刻度的直尺完成下列作图：(保留作图痕迹，不写作法)
(1)如图1，已知等腰△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，请作出∠ABC的平分线BP；
(2)如图2，已知直角△ABC，以斜边AB为直径作⊙O，D是⊙O上一点，且AD=CD，请作出∠ABC的平分线BP．
19.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−2x−3m2=0．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的两个实数根分别为α，β，且α+2β=5，求m的值．
20.(本小题8分)
小聪在瑞阳湖湿地公园看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，他对此展开探究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离，y(m)是水柱距地面的高度．

(1)求此抛物线的解析式；
(2)若喷水头P喷出的水柱下方有一安全的长廊，小聪的同学小明站在水柱正下方，且距喷水头P的水平距离为3m，身高1.6m的小聪在水柱下方走动，当他的头顶恰好接触到水柱时，求他与同学小明的水平距离．
21.(本小题8分)
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点D落在线段AB上，连接BE．
(1)求证：DC平分∠ADE；
(2)试判断BE与AB的位置关系，并说明理由．
22.(本小题9分)
如图，直线BC与两坐标轴的正半轴分别交于点B、C(5,0)，与反比例函数y=−6x的图象交于点A(−1,m)，D是反比例函数位于第二象限内的图象上一点．
(1)求m的值及直线BC的解析式．
(2)将点D绕原点O顺时针旋转90°后的对应点D′恰好落在直线BC上，求D点的坐标．
23.(本小题9分)
如图，△ABC内接于⊙O，AD//BC交⊙O于点D，DF/​/AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
(1)求证：AC=AF；
(2)若⊙O的半径为3，∠CAF=30°，求AC的长(结果保留π)．
24.(本小题12分)
已知二次函数y=ax2+bx+4(a≠0,a、b为常数)的图象与x轴交于点A(−1,0)，B(6,0)两点，与y轴的正半轴交于点C，过C点的直线y=−43x+4与x轴交于点D．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)如图1，点P是二次函数图象在第一象限内的一个动点，试探究△CDP的面积是否存在最大值，若存在，请求出点此时点P的坐标，并求出最大面积；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，点M是二次函数图象上一动点，过点M作ME⊥CD于点E，MF/​/x轴交直线CD于点F，是否存在点M，使得△MEF≌△COD，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】
解：A、水落石出，是必然事件，不符合题意；
B、水涨船高，是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿，是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月，是不可能事件，符合题意；
故选：D．
2.【答案】B
【解析】解：设方程的另一根为a，
∵x=−2是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，
∴4−4+m=0，
解得m=0，
则−2a=0，
解得a=0．
故选：B．
设方程的另一根为a，由根与系数的关系可得到a的方程，可求得m的值，即可求得方程的另一根．
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
3.【答案】C
【解析】解：如图，过A作AC⊥x轴于C，连接OA′，过点A′作A′D⊥x轴于D，则∠ACO=∠A′DO=90°，
∵点A绕坐标原点顺时针旋转90°后得到点A′，
∴∠AOA′=90°，OA′=OA，
∴∠AOC+∠A′OD=∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠A′OD=∠OAC，
∴△A′OD≌△OAC(AAS)，
∵点A的坐标是(2,2 3)，
∴A′D=OC=2,OD=AC=2 3，
∵点A′在第四象限，
∴点A′的坐标为(2 3,−2)，
故选：C．
过A作AC⊥x轴于C，连接OA′，过点A′作A′D⊥x轴于D，则∠ACO=∠A′DO=90°，证明△A′OD≌△OAC(AAS)，由点A的坐标是(2,2 3)得到A′D=OC=2,OD=AC=2 3，根据A′在第四象限即可得到点A′的坐标．
本题考查了点绕坐标原点的旋转问题、旋转的性质、全等三角形的判定和性质等知识，掌握旋转的性质是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵反比例函数图象经过第二、四象限，
∴k<0，所以①错误；
在每一象限，y随x的增大而增大，所以③错误；
∵A(−1,m)，B(2,n)在图象上，
∴m=−k，n=k2，
而k<0，
∴m>n，所以②错误；
∵k=xy=(−y)×(−x)，
∴若P(x,y)在该图象上，则P′(−y,−x)也此在图象上，所以④正确．
故选：D．
根据反比例函数的性质得到k<0，则可对①③进行判断；根据反比例函数图象上点的坐标特征对③④进行判断．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx的图象是双曲线，图象上的点(x,y)的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
5.【答案】A
【解析】【分析】
先根据五边形的内角和求出∠E=∠D=108°，由切线的性质得到∠OAE=∠OCD=90°，最后利用五边形的内角和即可得出答案．
本题考查了正五边形的内角和、切线的性质，求出正五边形每个内角的度数是解题的关键．
【解答】
解：∵正五边形的每个内角度数为：(5−2)×180°÷5=108°，
∴∠E=∠D=108°，
∵AE、CD分别与⊙O相切于A、C两点，
∴∠OAE=∠OCD=90°，
∴∠AOC=540°−90°−90°−108°−108°=144°，
故选：A．
6.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=a(x−2)2−4a，
∴该抛物线的对称轴是直线x=2，
∵|x1−2|>|x2−2|，则说明数轴上x1到2的距离比x2到2的距离大，
当a>0时，图象开口向上，图象上横坐标是x1的点比横坐标是x2的点离对称轴远，
∴y1>y2；
则C、D正确，A、B不确定；
当a<0时，图象开口向下，图象上横坐标是x1的点比横坐标是x2的点离对称轴远，故y1故选：D．
由抛物线的对称轴是直线x=2，由绝对值的几何意义，分a>0和a<0两种情况讨论即可．
此题考查抛物线的性质，绝对值的几何意义，关键是理解绝对值的几何意义．
7.【答案】13
【解析】解：小聪和小明玩“石头、剪刀、布”游戏，所有可能出现的结果列表如下：
∵由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：(石头，石头)、(剪刀，剪刀)、(布，布)．
∴他们俩随机同时出手一次是平局的概率是：39=13．
故答案为：13．
首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两人平局的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8.【答案】5
【解析】解：∵m，n是一元二次方程x2+4x+1=0的两根，
∴mn=1，
∴mn+4=1+4=5．
故答案为：5．
利用一元二次方程根与系数的关系，可得mn=1，再代入即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca是解题的关键．
9.【答案】50°
【解析】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转80°，得到△ADE，
∴AB=AD，∠BAD=80°，
∴∠B=∠ADB=50°，
故答案为：50°．
由旋转的性质可得AB=AD，∠BAD=80°，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
10.【答案】−16
【解析】解：∵S△POQ=S△OMQ+S△OMP，
∴12|k|+12×|8|=12，
∴|k|=16，
而k<0，
∴k=−16．
故答案为：−16．
由于S△POQ=S△OMQ+S△OMP，根据反比例函数比例系数k的几何意义得到12|k|+12×|8|=14，然后结合函数y=kx的图象所在的象限解方程得到满足条件的k的值．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．也考查了反比例函数与一次函数的交点问题．
11.【答案】14
【解析】解：把y=2代入y=x2中得，x2=2，
∴x=± 2
∴A的横坐标为− 2，B横坐标为 2
∴AB=2 2
把y=2代入y=ax2得，ax2=2，
∴x=± 2a=± 2aa
∴C的横坐标为− 2aa，D横坐标为 2aa
∴CD=2 2aa
∵CD=2AB，
∴2 2aa=4 2
∴a=14
故答案为：14．
将y=2分别代入y=x2和y=ax2，即可得出求出AB，CD长度，根据CD=2AB得出2 2aa=4 2，从而得出a的值．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，表示出A、B、C、D的横坐标是解题的关键．
12.【答案】(1,0)或(3,0)或(32, 32)
【解析】解：设⊙A与x轴交于点C，D，
∵点A(2,0)，⊙A的半径为1，
∴OC=1，OD=3，AO=2．
连接AB，过点B作BE⊥x轴于点E，延长BE交⊙A于点F，连接OF，BC，BD，如图，
∵OB切⊙A于点B，
∴AB⊥OB，
∵AB=1=12OA，
∴∠AOB=30°，
∴∠OAB=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴BC=1，
∴CO=CB=1，
∴点P与点C重合时，△POB是等腰三角形，此时点P(1,0)．
∵AE⊥BF，
∴BE=EF，
在等边三角形ABC中，
∵AE⊥BF，
∴CE=AE=12AC=12，
∴OE=OC+CE=32．
∴BE= AB2−AE2= 32，
∴E(32, 32).
∵OA垂直平分BF，
∴OF=OB，
∴点P与点F重合时，△POB是等腰三角形，此时点P(32, 32).
∵OE=32，OD=3，
∴点E为OD的中点，
∴BE垂直平分OD，
∴BO=BD，
∴点P与点D重合时，△POB是等腰三角形，此时点P(3,0)．
综上，点P的坐标为(1,0)或(3,0)或(32, 32).
故答案为：(1,0)或(3,0)或(32, 32).
连接AB，过点B作BE⊥x轴于点E，延长BE交⊙A于点F，连接OF，BC，BD，利用圆的切线的性质定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一的性质，线段垂直平分线的判定与性质解答即可得出结论．
本题考查了切线的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度，连接经过切点的半径是解题的关键．
13.【答案】解：方程移项得3(x−2)−(x+2)(x−2)=0，
分解因式得(x−2)(3−x−2)=0，
可得x−2=0或1−x=0，
解得：x1=2，x2=1．
【解析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．
此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14.【答案】解：连接OB，

∵OA⊥BC，OA为⊙O的半径，
∴BD=CD，
∵OB=OA=3，AD=1，
∴OD=OA−AD=2，
∴BD= OB2−OD2= 5，
∴BC=2BD=2 5．
【解析】连接OB，先由垂径定理得BD=CD，再由勾股定理求出BD= 5，即可得出答案．
本题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型．
15.【答案】解：(1)当y=0时，−x2+2x+8=0，
∴x1=−2，x2=4，
∴A(−2,0)，B(4,0)，
将x=0代入y=−x2+2x+8得：y=8，
∴C(0,8)；
(2)∵y=−x2+2x+8
=−(x2−2x+1−1)+8
=−(x−1)2+9，
∴顶点坐标是：(1,9)．
【解析】(1)当y=0时，解方程−x2+2x+8=0即可得到A、B的坐标，将x=0代入即可得到点C的坐标；
(2)把二次函数的解析式配方成顶点式，然后写出顶点坐标．
本题考查二次函数与坐标轴的交点和配方求顶点，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点的坐标的求法是解题的关键．
16.【答案】解：(1)∵甲坐了一张座位，剩下了3个座位，
∴A坐在①号座位的概率是13；
(2)画树状图得：

∴共有6种等可能的结果，A与B两同学恰好相邻而坐的结果有4种，
∴A与B相邻而坐的概率为46=23．
【解析】(1)甲坐了一张座位，剩下了3个座位，根据概率公式即可求解；
(2)根据题意，画出树状图，进而根据概率公式即可求解．
本题考查了概率公式求概率，画树状图法求概率，熟练掌握求概率的方法是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵直线y1=k1x+b与双曲线y2=k2x交于A(2,3)，B(n,−1)两点，
∴k2=6，n=−6，
∴点B的坐标为(−6,−1)，双曲线的解析式为：y2=6x，
∴2k1+b=3−6k1+b=−1，
∴解之得：k1=12b=2，
∴直线的解析式为：y1=12x+2．
(2)根据图象得：当y1>y2时，x的范围x>2或−6【解析】(1)先把A点坐标代入y2=k2x求出k2=6，得到双曲线的解析式为：y2=6x，再把B(n,−1)代入y2=k2x确定B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式．
(2)观察函数图象得到结论．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数解析式，待定系数法求函数解析式．
18.【答案】解：(1)如图，连接BD，则BD平分∠ABC，说明如下：
∵AB 是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，
又AB=BC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD即为所求BP；

(2)如图，连接DO，延长交⊙O于点P，连接PB，即为所求．
∵AD=CD，
∴弧AD=弧CD，
∵弧PAD=弧PCD，
∴弧AP=弧CP，
∴∠ABP=∠CBP．

【解析】(1)如图，连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，根据等腰三角形三线合一，得∠ABD=∠CBD，所以BD即为所求BP；
(2)如图，连接DO，延长交⊙O于点P，连接PB，可证弧AD=弧CD进而得到弧AP=弧CP，根据同圆中，等弧所对的圆周角相等得∠ABP=∠CBP，故BP为所求．
本题考查直径所对的圆周角是直角，同圆中等弧所对的圆周角相等，等腰三角形三线合一，根据相关定理寻求角之间的关系是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵a=1，b=−2，c=−3m2，
∴Δ=(−2)2−4×1⋅(−3m2)
=4+12m2>0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
(2)解：由题意得：
α+β=2α+2β=5，
解得：α=−1β=3，
∵αβ=−3m2，
∴−3m2=−3，
∴m=±1，
∴m的值为±1．
【解析】(1)利用根的判别式，进行计算即可解答；
(2)利用根与系数的关系和已知可得α+β=2α+2β=5，求出α，β的值，再根据αβ=−3m2，进行计算即可解答．
本题考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握根的判别式，以及根与系数的关系是解题的关键．
20.【答案】解：(1)由题意知，抛物线顶点为(5,3.2)，
设抛物线的表达式为y=a(x−5)2+3.2，将(0,0.7)代入得：
0.7=25a+3.2，
解得a=−110，
∴y=−110(x−5)2+3.2=−110x2+x+710，
答：抛物线的表达式为y=−110x2+x+710；
(2)当y=1.6时，−110x2+x+710=1.6，
解得x=1或x=9，
∴他与小明的水平距离为3−1=2(m)或9−3=6(m)，
答：当他的头顶恰好接触到水柱时，与小明的水平距离是2m或6m．
【解析】(1)由抛物线顶点(5,3.2)，设抛物线的表达式为y=a(x−5)2+3.2，用待定系数法可得抛物线的表达式为y=−110x2+x+710；
(2)当y=1.6时，−110x2+x+710=1.6，解得x=1或x=9，即得他与小明的水平距离为2m或6m．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．
21.【答案】(1)证明：∵△DCE是由△ACB旋转得到，
∴CA=CD，∠A=∠CDE，
∴∠A=∠CDA，
∴∠CDA=∠CDE，
∴CD平分∠ADE；
(2)解：结论：BE⊥AB，理由如下：
由旋转的性质可知，∠ACD=∠BCE，
∵CA=CD，CB=CE，
∴∠CAD=∠CDA=∠CBE=∠CEB，
∵∠ABC+∠CAB+∠ACD+∠DCB=180°，
∴∠ABC+∠CBE+∠DCB+∠BCE=180°，
∴∠DCE+∠DBE=180°，
∵∠DCE=90°，
∴∠DBE=90°，
∴BE⊥AB．
【解析】(1)利用等腰三角形的性质以及旋转不变性解决问题即可；
(2)结论：AB⊥BE.证明∠DBE+∠DCE=180°，即可解决问题．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握旋转的性质是解本题的关键．
22.【答案】解：(1)直线BC与函数y=−6x的图象交于点A(−1,m)，
∴m=−6−1=6，
∴A(−1,6)，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把A(−1,6)，C(5,0)代人得−k+b=65k+b=0，
解得k=−1b=5，
∴直线BC的解析式为y=−x+5；
(2)如图，设点D落在D′处，连接OD、OD′，过点D、D′分别作x轴的垂线，垂足为E、F，
∵∠DOD′=90°，
∴∠DOE+∠D′OF=90°，
又∵∠DOE+∠ODE=90°，
∴∠DOF=∠ODE，
又∵OD=OD′，∠DFO=∠D′FO=90°，
∴△DEO≌△OFD′(AAS)，
∴DE=OF，OE=D′F，
设D点的坐标为(x,−6x)，则D′点的坐标为(−6x,−x)，
∵对应点D′恰好落在直线BC上，
∴6x+5=−x，
解得x=−2或x=−3，
当x=−2时，y=−6x=3；当x=−3时，y=−6x=2，
∴D点的坐标为(−2,3)或(−3,2)．
【解析】(1)先求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线BC的解析式；
(2)设点D落在D′处，连接OD、OD′，过点D、D′分别作x轴的垂线，垂足为E、F，易证得△DEO≌△OFD′，得到DE=OF，OE=D′F，设D点的坐标为(x,−6x)，则D′点的坐标为(−6x,−x)，把D′的坐标代入BC的解析式，求得x的值，即可求得D的坐标．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．
23.【答案】证明：(1)∵AD/​/BC，DF/​/AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠AFC=∠B，∠ACF=∠D，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AC=AF．
(2)连接AO，CO，
由(1)得∠AFC=∠ACF，
∵∠AFC=180°−30°2=75°，
∴∠AOC=2∠AFC=150°，
∴AC的长l=150×π×3180=5π2．
【解析】(1)根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠B=∠D，等量代换可得∠AFC=∠ACF，即可得出答案；
(2)连接AO，CO，由(1)中结论可计算出∠AFC的度数，根据圆周角定理可计算出∠AOC的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，圆周角定理与弧长公式，考查化归与转化思想，推理能力，几何直观等数学素养．
24.【答案】解：(1)把A(−1,0)，B(6,0)代入yy=ax2+bx+4得：
a−b+4=036a+6b+4=0，
解得：a=−23b=103，
∴y=−23x2+103x+4；
(2)△CDP的面积存在最大值；理由如下：
过点P作PG⊥x轴交直线CD于点G，

设P(t,−23t2+103t+4)，则G(t,−43t+4)，
∴GP=−23t2+143t，
令y=0，则x=3，
∴D(3,0)，
∵S△CDP=S△PCG−S△PDG=12×PG×t−12×PG×(t−3)
=12×PG×3
=32×(−23t2+143t)
=−t2+7t
=−(t−72)2+494，
当t=72时，S△CDP有最大值494，
此时P(72,152)；
(3)存在点M，使得△MEF≌△COD，理由如下：
∵ME⊥CD，
∴∠MEF=90°，
∵MF//x轴，
∴∠FME=∠CDO，
∵△MEF≌△COD，
∴MF=CD，
∵OC=4，OD=3，
∴CD=5，
∴FM=5，
设M(m,−23m2+103m+4)，则F(m−5,−23m2+103m+4)，
∵F点在直线CD上，
∴−23m2+103m+4=−43(m−5)+4，
∴m=2或m=5，
∴M(2,8)或M(5,4)．
【解析】(1)将A(−1,0)，B(6,0)代入y=ax2+bx+4，即可求解；
(2)过点P作PG⊥x轴交直线CD于点G，设P(t,−23t2+103t+4)，则G(t,−43t+4)，由S△CDP=S△PCG−S△PDG=12×PG×3=−(t−72)2+494，即可求解；
(3)由题意可得FM=5，设M(m,−23m2+103m+4)，则F(m−5,−23m2+103m+4)，再由FF点在直线CD上，即可求m的值，进而确定M点的坐标．
本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，全等三角形的性质是解题的关键．石头
剪刀
布
石头
(石头，石头)
(石头，剪刀)
(石头，布)
剪刀
(剪刀，石头)
(剪刀，剪刀)
(剪刀，布)
布
(布，石头)
(布，剪刀)
(布，布)