2022-2023学年江西省宜春市高安市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江西省宜春市高安市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列运算中，正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  估计的值应在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

3.  在中，已知，，的对边分别为，，则下列条件中，不能判断为直角三角形的是(    )

A. ，， B. ：：：：
C.  D. ：：：：

4.  如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是(    )

A. 四边形周长不变 B.
C. 四边形面积不变 D.

5.  如图，四边形是菱形，，，于点则(    )

A.
B.
C.
D.

6.  如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短路程是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  若二次根式有意义，则实数的取值范围是______ ．

8.  化简计算： ______ ．

9.  如图，是▱边上一点，连结，并延长与的延长线交于点，若，，则______

10.  如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若，，那么的长为______ ．

11.  如图，在平行四边形中，，，，分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线与交于点，与交于点，连接，，则四边形的周长为______ ．

12.  如图正方形边长为，为边中点，为射线上一点不与重合，若为直角三角形，则______．

三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

13.  本小题分
计算：．

14.  本小题分
如图，在平行四边形中，，分别在，上，且求证：．

15.  本小题分
计算：
；
．

16.  本小题分
高安浮桥位于锦河之上，大观楼耸立在锦河北边，与浮桥相互映衬，形成美丽的文化风景带在浮桥旁边有一艘游船，如图所示，在离水面高度为的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少？假设绳子是直的，结果保留根号

17.  本小题分
如图，菱形的对角线，相交于点，点在上，连接，点为的中点，连接若，，，则线段的长为______ ．

18.  本小题分
如图，四边形是平行四边形，点在上，请仅用无刻度直尺按要求作图保留作图痕迹，不写作法
在图中，过点作直线将四边形的面积平分；
在图中，，作的平分线；

 

19.  本小题分
已知：，，求的值；
若，求代数式的值．

20.  本小题分
如图，在平行四边形中，、交于点，又、分别是、的中点．
求证：；
若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．

21.  本小题分
如图，在矩形中，对角线和相交于点，平分交于点，且．
求证：为等边三角形；
求的度数．

22.  本小题分
如图，在中，，是边上的中线，以，为边作平行四边形，连接，分别与，相交于点，．
当满足什么条件时，四边形为正方形，并说明理由．
在条件下，若，求的长．

23.  本小题分
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是．
直接写出图中线段，的长度；
在图中画线段，使得的长为，请你判断以，，三条线段为边长能否构成直角三角形，并说明理由；
已知的三边长分别为，，，请你根据上述方法，利用图，求此三角形的面积．

 

24.  本小题分
如图，在正方形中，点是对角线上的动点，点在射线上，且，连接，为的中点．
特例感知：如图，当点在线段上时，请你直接写出线段与的关系；
类比迁移：如图，当点在线段上运动时点不与点、重合，请你判断中的结论是否仍然成立，并说明理由；
探索发展：如图，请你猜想线段、、之间有何数量关系，并证明你的结论．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用二次根式的性质化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：原式，
，
，
故选：．
根据二次根式的混合运算的方法计算的值，再根据算术平方根的定义估算的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、设，，，，是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，，，是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、：：：：，，不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理依次判断即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意可知：，，
四边形为平行四边形，
，
故选：．
由条件可知，，可证明四边形为平行四边形，可得到．
本题主要考查平行四边形的判定和性质；证明四边形为平行四边形是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
在中，，
则，
，
，
，
．
故选：．
先根据菱形的性质得，，，再利用勾股定理计算出，然后根据菱形的面积公式得到，再解关于的方程．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
 

6.【答案】 

【解析】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：
长方体的宽为，高为，点离点的距离是，
；
，
蚂蚁爬行的最短距离是．
故选：．
要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
本题考查的是平面展开最短路径问题，根据题意画出长方体的侧面展开图，根据勾股定理求解是解答此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意得，
解得，
即的取值范围为．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件得到，然后解不等式即可．
本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数是非负数．
 

8.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
利用平方差公式，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，
四边形是平行四边形，
，
，．
，
，
．
故答案是：．
利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，利用平行四边形对角相等得出即可．
此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：根据翻折的性质可知：，
又，
，
，
，
设，
，
四边形是矩形，
，
，
，
解得，

故答案为：．
易得，利用勾股定理求得的长．
本题考查了折叠的性质：折叠前后的两个图形全等，即对应线段相等，对应角相等．同时也考查了勾股定理，利用勾股定理得到的长是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，，，
，
由作图可知，是线段的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
同理证得，
四边形的周长，
故答案为：．
根据勾股定理得到，由作图可知，是线段的垂直平分线，求得，，推出，根据平行四边形的性质得到，，，同理证得，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，作图基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质．利用勾股定理列出方程是解题的关键．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：分三种情况：
如图，当时，

是的中点，且，
，
四边形是正方形，
，，
，
；
如图，当时，

同理可得；
如图，当时，

，，，
≌，
，
，
综上，的长是或或；
故答案为：或或．
分三种情况：如图，当时，在正方形的内部，先根据直角三角形斜边中线的性质得的长，利用勾股定理得的长，从而可解答；如图，当时，在正方形的外部，同理可解答；如图，当时，证明≌，可得，从而可解答．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是运用分类讨论的思想解决问题，并正确画图，不要丢解．
 

13.【答案】解：原式
． 

【解析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键．
 

14.【答案】证明：四边形是平行四边形
，



四边形是平行四边形
． 

【解析】因为是平行四边形，所以，，已知，从而可得到，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出是平行四边形，从而不难得到结论．
此题主要考查学生对平行四边形的性质及判定的理解及运用．
 

15.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，再把括号内合并，然后进行二次根式的除法运算；
先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
 

16.【答案】解：在中，，，，
，
此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，
，
在中，
，
．
答：船向岸边移动了． 

【解析】在中，利用勾股定理计算出长，再根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长．
此题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，
在中，由勾股定理得，
，
，
在中，由勾股定理得，
点为的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
先由菱形的性质得到，，进而利用勾股定理求出，则，利用勾股定理求出，证明是的中位线，则．
本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，直线即为所求；

如图，射线即为所求．
 

【解析】作▱的对角线、，交于点，作直线交于点，直线即为所求；
作射线即可得．
本题主要考查作图基本作图，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

19.【答案】解：，，
，，
则



；
，
，
则



． 

【解析】根据二次根式的加法法则求出，根据二次根式的乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可；
根据完全平方公式把原式变形，把的值代入计算即可
本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
、分别是、的中点，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
；

若，四边形为矩形，
证明：，，，
，
，
四边形为矩形． 

【解析】直接利用平行四边形的性质得出，，再利用平行四边形的判定方法得出答案；
结合平行四边形的性质以及矩形的判定方法得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质与判定和矩形的判定，正确掌握相关性质与判定是解题关键．
 

21.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，，，
，，
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
解：是等边三角形，
，，
，
，
，
． 

【解析】由矩形，得到，根据平分，得到等边三角形，
由等边三角形的性质，推出，求出、的度数，根据平行线的性质和等角对等边得到，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解此题的关键是求出的度数和求．
 

22.【答案】解：当满足时，四边形为正方形，理由如下：
，，是边上的中线，
，，
四边形是平行四边形，且，
平行四边形是菱形，
，
四边形为正方形；
由得，，
，，
，
四边形为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
． 

【解析】根据直角三角形斜边上中线的性质可得，，然后由正方形的判定可得结论；
由得，，然后由正方形的性质可得，，再通过全等三角形的判定与性质可得的长，最后根据勾股定理可得答案．
此题考查的是正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．
 

23.【答案】解：，；
如图，为所求，

，
以，，三条线段为边长的三角形是直角三角形；
如图，三角形三边分别是，，，

． 

【解析】根据勾股定理计算即可；
根据要求作图，再根据勾股定理的逆定理判断即可；
依要求作图，利用矩形面积求出三角形面积．
本题考查了设计作图的应用，勾股定理的应用是解题关键．
 

24.【答案】解：且，理由如下：
如图，正方形中，是对角线，
，，
又，
≌．
，，
又，
，，
．
．
由四边形内角和为，
，
，
，
且；
仍然成立，理由如下：
四边形是正方形，为对角线，
，，
，
≌，
，
又，
，
当点与点重合时，点恰好在中点处，此时，，
当点在的延长线上时，如图，

≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，，仍然成立．
，理由如下：
如图，连接，

由可得，，
，
四边形是正方形，
，，
在中，，
，
又，
． 

【解析】根据点在线段上时，利用三角形的全等判定可以得出，；
利用三角形全等得出，，由，得出，要证；从三方面分析，当点在线段上与、不重合时，当点与点重合时，点恰好在中点处，当点在的延长线上时，分别分析即可得出；
连接，由知，，得，由四边形是正方形知，，根据知，结合得．
本题是四边形的综合问题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边对等角的性质等知识，熟练运用正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理并作出合理的辅助线是解题的关键．