江西省宜春市丰城第九中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案）

江西省宜春市丰城第九中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ）．

A． B． C． D．

2．某积木配件如图所示，它的左视图是（    ）

A． B．

C． D．

3．在ABC中， ，则ABC一定是（    ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

4．在同一直角坐标系中，函数y=kx-k与（k≠0）的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

5．甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．

乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．

对于两人的观点，下列说法正确的是（    ）

A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对

6．如图，在平面直角坐标系中，的斜边的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接、．若平分，反比例函数的图象经过上的两点、，且，的面积为12，则的值为（    ）

A．－4 B．－8 C．－12 D．－16

二、填空题

7．已知斜坡的坡比，则坡角＝________．

8．在某一时刻，一根长为的竹竿投影在地面上的影长是，此刻测得旗杆投影在地面上的影长是，则旗杆的高度为______．

9．如图，已知矩形与矩形是位似图形，是位似中心，若点的坐标为，点的坐标为，则点P的坐标为____________．

10．由m个相同的正方体组成一个立体图形，下面的图形分别是从正面和上面看它得到的平面图形，则m能取到的最大值是___________．

11．如图，四边形中，，平分，交于点，，那么________．

12．点在反比例函数的图象上，轴，点是轴上的任意一点，的面积是，则的值是___________．

三、解答题

13．（1）计算：．

（2）计算：；

14．如图是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上．

（1）在该网格中画出（的顶点均在格点上），使；

（2）请写出（1）中作图的主要步骤，并说明和相似的依据．

15．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．

求证：．

16．一个几何体的三视图如图所示．求该几何体的表面积．

17．如图，已知点，过点P作轴于点M，轴于点N，反比例函数的图象交于点A，交于点B.若四边形的面积为12.

(1)求k的值；

(2)设直线的解析式为，请直接写出不等式的解集.

18．如图，在平整的地面上，用10个棱长都为的小正方体堆成一个几何体．

(1)画出这个几何体的三视图；

(2)求这个几何体的表面积；

(3)如果现在你还有一些棱长都为的小正方体，要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加        个小正方体．

19．已知：如图，在中，点E在边上，将沿直线折叠，点B恰好落在边上的点D处，点F在线段的延长线上，如果．求：

(1)的值；

(2)求的长．

20．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l：过点；

(1)求直线l的表达式；

(2)直线l与y轴交于B点，点C是双曲线与直线的一个公共点，

①若，点C在第一象限，求的值；

②若，结合图象，直接写出n的取值范围．

21．图（1）是一台实物投影仪，图（2）是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可移动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于桌面，经测量：，，，．

(1)如图（2），，．

①填空：____________度；

②投影探头的端点D到桌面的距离为____________．

(2)如图（3），将图（2）中的向下旋转，当时，求投影探头的端点D到桌面的距离．（参考数据：，，，，结果精确到1）

22．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度（）与时间（）之间的函数关系，其中线段，表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：

(1)求与（）的函数表达式；

(2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？

(3)若大棚内的温度低于时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？

23．如图，中，，，．点为斜边的中点，，交边于点．点为射线上的动点，点为边上的动点，且运动过程中始终保持．

(1)求证：；

(2)设，．求关于的函数解析式，并写出该函数的定义域；

(3)联结，交线段于点，当为等腰三角形时，求线段的长．

参考答案：

1．B

【分析】根据反比例函数的定义逐项进行判断即可．

【详解】解：A、 y与x2成反比例，因此该选项不符合题意；

B、， y是x的反比例函数，因此该选项符合题意；

C、，y是x的正比例函数，因此该选项不符合题意；

D、，即，y是x的正比例函数，因此该选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】本题考查反比例函数的定义，掌握“形如y=（k是常数，且k≠0）的函数是反比例函数”是正确判断的关键．

2．C

【分析】根据从左面看到的图形是左视图进行判断即可．

【详解】解：观察图形，从左面看到的图形是

故选C．

【点睛】本题考查简单几何体的三视图，熟练掌握三视图的概念是解答的关键，注意：可见部分用实线，不可见部分用虚线．

3．D

【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．

【详解】解：∵

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴ABC一定是等腰直角三角形

故选：D．

【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解．

4．D

【分析】根据k的取值范围，分别讨论和时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案．

【详解】解：①当时，一次函数经过一、三、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过一、三象限，没有符合条件的选项，

②当时，一次函数经过一、二、四象限，反比例函数的（k≠0）的图象经过二、四象限，故D选项的图象符合要求．

故选：D．

【点睛】本题考查反比例函数的图象问题；用到的知识点为：反比例函数与一次函数的k值相同，则两个函数图象必有交点；一次函数与y轴的交点与一次函数的常数项相关．

5．C

【分析】甲：根据题意得：，，，即可证得，，可得；

乙：根据题意得：，，则，，则可得，即新矩形与原矩形不相似．

【详解】解：如图,

甲：根据题意得：，，，

∴，，

∴，

∴甲说法正确；

乙：∵根据题意得：，，则，，

∴，，

∴，

∴新矩形与原矩形不相似．

∴乙说法不正确．

故选：C．

【点睛】此题考查了相似三角形以及相似多边形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

6．B

【分析】连接OE，过点E作EF⊥OD于点F，过点C作CG⊥OD于点G，证明CD∥AB，推出S△ACD=S△OCD=12，求得△ODE的面积，再证明DF=FG=OG，得S△OEF＝S△ODE．

【详解】解：连接OE，过点E作EF⊥OD于点F，过点C作CG⊥OD于点G，则EF∥CG，

∵CE=DE，

∴DF=FG，EF=CG，

∵反比例函数的图象经过CD上的两点C、E，

∴S△OCG＝S△OEF＝|k|，

∴OG•CG=OF•EF，

∴OF=2FG，

∴DF=FG=OG，

∴S△OEF＝S△ODE，

∵Rt△ABC的斜边AB的中点与坐标原点重合，

∴OC=OB，

∴∠OBC=∠OCB，

∵CB平分∠OCD，

∴∠OCB=∠DCB，

∴∠OBC=∠DCB，

∴CD∥OB，

∴S△OCD=S△ACD=12，

∵CE=DE，

∴S△ODE＝S△OCD=6，

∴S△OEF＝S△ODE＝×6＝4，

∴|k|=4，

∵k＜0，

∴k=-8．

故选：B．

【点睛】本题考查反比例函数的性质，平行线的判断和性质，等高模型等知识，解题的关键是证明BD∥AE，利用等高模型解决问题，属于中考选择题中的压轴题．

7．##30度

【分析】根据坡度与坡角的关系及特殊角正切的值可得解答．

【详解】解：∵斜坡的坡角为α，则有，

∵，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查锐角三角函数值的应用，正确理解坡度与坡角的意义及特殊角的三角函数值是解题关键 ．

8．18

【分析】利用在同一时刻竹竿与影长成比例得出比例式，即可得出结果．

【详解】解：设旗杆的高度为．

根据在同一时刻物高与影长成比例可得：，

解得：．

故答案为：．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用；根据同一时刻竹竿与影长成比例得出比例式是解决问题的关键．

9．

【分析】根据位似变换的性质得，则，然后写出点坐标．

【详解】解：∵点B的坐标为，点E的坐标为，

∴，

∵矩形与矩形是位似图形，P是位似中心，

∴，

∴，

∴点坐标为，

故答案为：．

【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似图形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．

10．5

【分析】根据主视图和俯视图分析每行每列小正方体最多的情况，即可得出答案．

【详解】由题中所给出的主视图知物体共两列，且左侧一列高两层，右侧一列最高一层；

由俯视图可知左侧两行，右侧一行，于是，可确定右侧只有一个小正方体，而左侧可能是一行单层一行两层，可能两行都是两层．

最多的情况如图所示，

所以图中的小正方体最多5块．

故答案为：5．

【点睛】本题考查根据三视图判断小正方体个数，需要一定空间想象力，熟练掌握主视图与俯视图的定义是解题的关键．

11．1

【分析】延长交于点，根据平分，，得出，，设，根据，求得，进而求得，证明，得出，即可求解．

【详解】解：如图，延长交于点，

∵平分，，

∴，，

设

∵，，

∴

∴

∴

∵

∴

∵

∴，

∴

∴

在与中，

，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了正弦，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．

12．

【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义可知，即可求出的值．

【详解】解：由题意可知：，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义，根据题目得出是解答本题的关键．

13．（1）6； （2）2024

【分析】（1）先求出特殊角的三角函数值，在进行混合运算即可；

（2）先求出特殊角的三角函数值，在进行混合运算即可．

【详解】解：（1）

；

（2）

．

【点睛】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．

14．（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可；

（2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出角的度数，再依据相似三角形的判定求解可得．

【详解】（1）如图所示，即为所求：

（2）先取一格点，在水平方向上取，再在网格中取一格点，使，且，

则，

，

，

．

【点睛】本题主要考查作图−相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理．

15．见解析

【分析】根据平行四边形的性质得到，，得到△DFG∽△BFC，△DFC∽△BFE，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，，

∴△DFG∽△BFC，△DFC∽△BFE

∴，，

∴，

即．

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

16．该几何体的表面积是

【分析】由已知中的三视图，可得：该几何体是一个长方体挖去一个圆柱所得的组合体，分别计算出长方体的表面积，圆柱的底面积和侧面积，用长方体的表面积减两个圆柱的底面面积，再加圆柱的侧面积可得答案．

【详解】由已知中的三视图，可得：该几何体是一个长方体挖去一个圆柱所得的组合体，

长方体的长为：，宽为：，高为：1.5，

该几何体的表面积为：

．

故该几何体的表面积是．

【点睛】解决三视图的题目，关键是由三视图判断出几何体的形状及度量长度，然后利用几何体的面积及体积公式解决．

17．(1)

(2)或

【分析】（1）根据题意及反比例函数得出，，结合图象得，代入求解即可；

（2）根据（1）中结论确定，结合函数图象即可得出不等式的解集．

【详解】（1）解：点，

点A的横坐标为6，点B的纵坐标为3，

代入反比例函数得，

点A的纵坐标为，点B的横坐标为，即，，

，即，

，

解得：；

（2）由（1）得，

∴反比例函数的解析式为，

∴，

连接并双向延长，

根据图象得不等式的解集为或．

【点睛】题目主要考查反比例函数的几何意义，确定反比例函数的解析式及与一次函数的交点与不等式问题，理解题意，确定反比例函数的解析式是解题关键．

18．(1)见解析

(2)

(3)5

【分析】（1）根据三视图的定义画出图形即可；

（2）判断出表面正方形的个数，可得结论；

（3）利用俯视图，左视图解决问题即可．

【详解】（1）解：三视图如图所示：

（2）解：这个几何体的表面积为：；

（3）解：要求保持俯视图和左视图都不变，最多可以再添加（个）正方形．

故答案为：5．

【点睛】本题主要考查作图-三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解三视图的定义，属于中考常考题型．

19．(1)

(2)

【分析】（1）根据折叠的性质可得，从而得到，，再由，可得，从而得到，可证得，即可求解；

（2）根据，可得，从而得到，进而得到，可得到，再根据，，可得，从而得到，即可求解．

【详解】（1）解：∵将沿直线折叠，点B恰好落在边上的点D处，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，即，

∴；

（2）解：∵，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

【点睛】本题考查了轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质等知识，综合性较强，有一定难度．

20．(1)

(2)①，②或

【分析】（1）把点代入中计算可得结论；

（2）①先作辅助线，构建平行线，先根据方程的解可得点C的坐标，根据坐标和图形的性质可得的长，根据平行线分线段成比例定理可得的值；②分别计算当或3时，n的值，从而得结论．

【详解】（1）把点代入中得：，

解得：，

则直线l的表达式为：；

（2）①如图1，过点C作轴交x轴于D，过点B作轴，交于E，

当时，，

∴，

，

解得：，，

∴，

∵，

∴，即；

②∵，，

∴，

∵，

∴是等腰直角三角形，

分两种情况：

当时，若时，，

∴，

∴，

∴；

若时，，

∴，

∴，

∴

当时，，

，

，

，

同理，当，可求得

此时n=-3

∴当，n的取值范围是或．

【点睛】本题主要考查直线和双曲线的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式和平行线分线段成比例定理是解题的关键．

21．(1)①；②；

(2)

【分析】（1）①延长交于，由三角形的外角定理即可求解；②先解直角三角形求出，进而计算即可求解；

（2）过作，过作于，先求出的长，然后再由（1）中②的结果即可求解．

【详解】（1）①如下图所示：

如图，延长交于，

∵，

∴，且，

在中，由三角形的外角定理可知：

，

故答案为：

②∵，

∴，，

∵，

∴到的距离为．

故答案为：

（2）如图，过作，过作于，

由题意得：，

∴，

由（1）中②知，点至的距离为，

∴至的距离为：．

【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．

22．(1)

(2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间为

(3)恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害

【分析】（1）当时，设双曲线的解析式为，把的坐标代入，得出，解出即可得出答案；

（2）根据待定系数法求出线段解析式，再根据题意：大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，结合图象，把代入线段的解析式，得出时间，再把代入（1）中双曲线，得出时间，两时间相减，即可得出答案；

（3）先求解时，对应的双曲线函数图象上点的横坐标，再利用坐标含义可得答案．

【详解】（1）解：当时，设双曲线的解析式为，

∵过双曲线，

∴把的坐标代入，

可得：，

解得：，

∴函数表达式为：；

（2）解：设线段解析式为，

∵线段过点，，

代入得，

解得：，

∴解析式为：，

∵大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，

当时，代入，

可得：，

解得：，

当，代入，

可得：，

解得：，

经检验：是原方程的解，且符合题意，

∵（），

∴这种蔬菜一天内最适合生长的时间为；

（3）解：当时，可得：，

解得：，

经检验：是原方程的解，且符合题意，

∴（），

∴恒温系统最多可以关闭，才能使蔬菜避免受到伤害．

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式和一次函数解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数图象上的点的坐标含义是解本题的关键．

23．(1)见详解

(2)

(3)或

【分析】（1）证，，即可得出；

（2）证，求出，，由（1）得：，得，解得：，进而得出结论；

（3）证，得，再证，得为等腰三角形时，也为等腰三角形，再分三种情况：①，②，③，分别求解即可．

【详解】（1）证明：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

（2）解：∵，，，

∴，

∵点D为斜边的中点，

∴，

∵，，

∴，

∴，

即，

解得：，，

由（1）得：，

∴，

即，

解得：，

∴，

即，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）由（1）得：，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴为等腰三角形时，也为等腰三角形，

在（2）中，，．有，

①若，过Q作于G，

如图所示：

∵，

则，

∵，

∴，

解得：，

即；

②若，则，

解得：，

即；

③若，则，

此时，点Q与点C重合

∴此种情况不存在，舍去；

综上所述，当为等腰三角形时，线段的长为或．

【点睛】本题是三角形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．